河南省洛阳市2020年中考数学一模试卷(解析版)

2020年河南省洛阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中比﹣小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．02．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（）A．9.015×1010 B．9.015×103 C．9.015×102 D．9.02×10103．（3分）下列几何体中，左视图和其他三个不同的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算中，错误的是（）A．5a3﹣2a3＝3a3 B．（﹣a）2•a3＝a5 C．a﹣3•a2＝a﹣6 D．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）55．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥EG，EF＝EG，∠1＝18°，则∠2＝（）A．25° B．27° C．32° D．42°6．（3分）如图是我国2019年5月到12月天然气进口的统计图，这组数据的中位数是（）A．827.5万吨 B．821.5万吨 C．821万吨 D．805万吨7．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字5，6，7，8．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时重转），记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为（）A． B． C． D．9．（3分）已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交x轴于点G，则点G的横坐标是（）A．3 B． C． D．410．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（）A．△DEF是等腰直角三角形 B．m＝1 C．△CEF的周长可以等于6 D．四边形CEDF的面积为2二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：2﹣2﹣＝．12．（3分）写出一个经过第一象限，y随x增大而减小的函数．13．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P，Q分别是边BC，AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．14．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，∠A＝75°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，当点D落在AC上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A，B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为．三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．17．（9分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（min），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．组别频数统计A（t＜20）8B（20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有人，a＝，b＝，m＝；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1h的人数．18．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于D，延长BE到F，使BF＝AC，连接FC．（1）若AD＝BC，求证：FC＝CD，FC⊥CD；（2）连接OD，OE，若四边形OECD是平行四边形，则：①∠ACB＝°；②当AB＝4时，四边形OECD的面积为．19．（9分）如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2m，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6m到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7m，灯杆PE的高为2.25m，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（1，m），与x轴交于A，与y轴交于C，且AC＝3BC．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出不等式：≥x+b的解集；（3）P是y轴上一动点，直接写出|PA﹣PB|的最大值和此时点P的坐标．21．（10分）某单位需购买甲、乙两种消毒剂，经了解，这两种消毒剂的价格都有零售价和批发价（若按批发价，则每种消毒剂购买的数量不少于50桶），零售时甲种消毒剂每桶比乙种消毒剂多8元，已知购买两种消毒剂各m（m＜50）桶所需费用分别是960元，720元．（1）求甲、乙两种消毒剂的零售价；（2）该单位预计批发这两种消毒剂500桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，甲、乙两种消毒剂的批发价分别为20元/桶，16元/桶．设甲种消毒剂批发数量为x桶，购买资金总额为y（元），请写出y与x的函数关系式，并求出y的最小值和此时的购买方案．22．（10分）已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）观察猜想如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系：，位置关系：；（2）类比探究如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）解决问题如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．23．（11分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，过点B，C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．

2020年河南省洛阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．【解答】解：A.∵|﹣2|＝2，|﹣|＝，由2＞，∴﹣2＜﹣，故此选项正确；B.∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，由1＜，∴﹣1＞﹣，故此选项错误；C.∵|﹣|＝，|﹣|＝，由＜，∴﹣＞﹣，故此选项错误；D.0＞﹣，故此选项错误；故选：A．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：901.5＝9.015×102．故选：C．3．【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【解答】解：A，B，C选项的左视图都是；D选项的左视图是．故选：D．4．【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【解答】解：A.5a3﹣2a3＝3a3，故本选项不合题意；B．（﹣a）2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．a﹣3•a2＝a﹣1，故本选项符合题意；D．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5，故本选项不合题意．故选：C．5．【分析】根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∵EF＝EG，∴△FEG是等腰直角三角形，∴∠EGF＝45°，过G作GH∥AB，∴∠1＝∠EGH＝18°，∴∠FGH＝45°﹣18°＝27°，∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠2＝∠FGH＝27°，故选：B．6．【分析】将数据重新排列后，根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为652，752，756，789，821，834，946，951，则这组数据的中位数是（789+821）÷2＝805（万吨）．故选：D．7．【分析】利用判别式的意义得到△＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝12﹣4（﹣k）＞0，解得k＞﹣．故选：B．8．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与记录的数字是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16个等可能的结果，记录的数字是偶数的结果有8个，∴记录的数字是偶数的概率为＝；故选：D．9．【分析】过G作GH⊥AC于H，设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，依据勾股定理可得，Rt△CGH中GH2+CH2＝CG2，进而得出x2+82＝（12﹣x）2，解方程即可得到x的值，即可得出点G的横坐标．【解答】解：如图所示，过G作GH⊥AC于H，由题可得，AF平分∠CAO，GO⊥AO，∴OG＝HG，∴Rt△AOG≌Rt△AHG（HL），∵A（0，5），AC＝13，∴OC＝＝12，AO＝AH＝5，CH＝8，设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，∵Rt△CGH中，GH2+CH2＝CG2，∴x2+82＝（12﹣x）2，解得x＝，∴点G的横坐标为，故选：B．10．【分析】A．证明△ADE≌△CDF（SAS），则∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，DE＝DF，即可求解；B．S△CFE＝×CE×CF＝x（a﹣x），当x＝a＝时，S△CFE有最大值××（2﹣）＝1，即可求解；C．△CEF的周长＝EC+CF+EF＝CE+CF＝2+EF＜4＜6，即可求解；D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△AED＝S△ACD＝S△ABC＝××2×2＝2．【解答】解：A．连接CD，∵△ABC为等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∠DCF＝∠A＝45°而AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DF＝DE，∠CDF＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，CE＝BF，∴△DEF是等腰直角三角形，故A正确；B．设AC＝BC＝a，CE＝BF＝a﹣x，S△CFE＝×CE×CF＝x（a﹣x），当x＝a＝时，S△CFE有最大值＝××（2﹣）＝1，故m＝1，此时a＝4，故B正确；C．△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2+EF，而EF＜CE+CF＝2，即△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2+EF＜4＜6，故C错误；D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△AED＝S△ACD＝S△ABC＝××2×2＝2．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣3＝﹣．故答案为：﹣．12．【分析】根据增减性确定函数的类型即可．【解答】解：由于经过第一象限，y随x增大而减小的函数；则一次函数的解析式为：y＝﹣x+3．故答案为：y＝﹣x+3（答案不唯一）．13．【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案为：．14．【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质求得∠CBE＝ABD＝30°，根据平行线的性质求得∠ACB＝∠CBE＝30°，进而求得AB＝AC＝6，解直角三角形求得BM，MC，即可求得AD，由图形可知阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．【解答】解：∵∠A＝75°，AB＝BD，∴∠ADB＝∠A＝75°，∴∠ABD＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠CBE＝ABD＝30°，∵BE∥AC，∴∠ACB＝∠CBE＝30°，∴∠ABC＝75°，∴BC＝AC＝6，作BM⊥AC于M，则AM＝DM，∴BM＝BC＝3，MC＝BC＝3，∴AM＝AC﹣MC＝6﹣3，∵AD＝12﹣6，由图形可知，阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形BCE的面积﹣△ABD的面积＝﹣＝3π﹣18+9，故答案为3π﹣18+9．15．【分析】分两种情况，当∠BCF＝90°时，点F落在AC的延长线上，当∠CBF＝90°时，画出图形，由直角三角形的性质可求出答案【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，∴BC＝AB＝，∴AC＝3，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC•tan30°＝＝1，∴BD＝AD＝2，如图1，当∠BCF＝90°时，点F落在AC的延长线上，∴∠ADE＝90°，∴AE＝．如图2，当∠CBF＝90°，DF＝DA＝DB，∵∠ACB＝∠CBF＝90°，∴BF∥AC，∴∠DFB＝∠DBF＝∠ADF＝∠BDC＝60°，∵∠ADE＝∠EDF，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE，过点E作EM⊥AD于点M，∵AD＝2，∴AM＝1，∴AE＝．故答案为：或．三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝1．17．【分析】（1）B组的频数为12，占总体的20%，可求出调查人数，再根据D组频数为15，可求出D组所占的圆心角的度数，确定m的值，根据C组所在扇形的圆心角为108°，求出C组所占的百分比，进而求出C组的人数a，最后求出E组人数b；（2）求出E组所占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；（3）从频数统计表中可知每天健身时间不少于1小时的人数占调查人数的，因此估计总体1200人的是每天健身时间不少于1小时的人数．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，∵C组所在扇形的圆心角为108°，∴C组的人数a＝60×＝18（人），b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），故答案为：60，18，7，25；（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝42°，答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；（3）每天健身时间不少于1小时的人数是1200×＝440（人），答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．18．【分析】（1）证明△ADC≌△BCF（SAS）可得结论．（2）①证明△ABC是等边三角形即可解决问题．②由题意△CDE，△AEO，△ODB，△EOD都是等边三角形，而且是全等三角形，推出S平行四边形CEOD＝S△ABC，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BF＝AC，∠CBF＝∠CAD，BC＝AD，∴△ADC≌△BCF（SAS），∴CD＝CF，∠ADC＝∠BCF，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠BCF＝90°，∴FC⊥CD．（2）解：①连接OD，OE，DE．∵四边形OECD是平行四边形，∴OD∥AC，OE∥BC，∵AO＝OB，∴CD＝BD，AE＝EC，∴AC＝2OD，BC＝2OE，∵OD＝OE，AB＝2OD，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，故答案为60．②∵△ABC是等边三角形，AO＝OB，AE＝EC，CD＝DB，∴△CDE，△AEO，△ODB，△EOD都是等边三角形，而且是全等三角形，∴S平行四边形CEOD＝S△ABC＝•×42＝2，故答案为2．19．【分析】设直线DH交EG于M，交AC于N，设AN＝x，则PM＝x+2.25，解直角三角形得出关于x的方程，解方程即可求得AN，进而求得AC．【解答】解：由题意：DH＝BF＝6m，DB＝HF＝1.7m，PE＝2.25m，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（m），故广告牌的高度为17m．20．【分析】（1）作BD⊥y轴，证明△BCD∽△ACO，根据相似三角形的性质求出OA，根据函数图象上点的坐标特征分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）利用待定系数法写出不等式≥x+b的解集；（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′并延长交y轴于点P，利用待定系数法求出直线AB′的解析式，求出点P的坐标，根据勾股定理计算，求出|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：（1）过点B作BD⊥y轴于点D，则BD∥x轴，∴△BCD∽△ACO，∴＝，即＝，解得，OA＝3，∴点A的坐标为（﹣3，0），把A（﹣3，0）代入y＝x+b，得b＝3，∴直线AB的解析式为y＝x+3，∵点B的横坐标为1，∴m＝1+3＝4，即点B的坐标为（1，4），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（1，4），∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为：y＝；（2）由图象可知，当≥x+b时，0＜x≤1；（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′并延长交y轴于点P，此时|PA﹣PB|的值最大，∵点B′与点B关于y轴对称，B（1，4），∴点B′的坐标为（﹣1，4），设直线AB′的解析式为y＝mx+n，则，解得，，∴直线AB′的解析式为y＝2x+6，∴点P的坐标为（0，6），即OP＝6，由勾股定理得，AP＝＝3，PB′＝＝，∴AB′＝2，∴|PA﹣PB|的最大值为2，此时点P的坐标为（0，6）．21．【分析】（1）根据购买两种消毒剂各m（m＜50）桶所需费用分别是960元、720元，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；（2）根据题意可以得到y与x的函数关系式，然后根据该单位预计批发这两种消毒剂500桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最小值和此时的购买方案．【解答】解：（1）设甲种消毒剂的零售价是a元/桶，则乙种消毒剂的零售价是（a﹣8）元/桶，，解得，a＝32经检验，a＝32是原分式方程的解，∴a﹣8＝24，答：甲、乙两种消毒剂的零售价分别为32元/桶，24元/桶；（2）由题意可得，y＝20x+16（500﹣x）＝4x+8000，∵甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，∴x≥（500﹣x），解得，x≥125，∴当x＝125时，y取得最小值，此时y＝8500，500﹣x＝375，答：y与x的函数关系式是y＝4x+8000，y的最小值是8200，此时的购买方案是购买甲种消毒剂125瓶，乙种消毒剂375瓶．22．【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由余角的性质可证BE⊥CD；（2）如图2，结论：GM＝FH．GM⊥FH．利用全等三角形的性质证明四边形FGHM是菱形即可解决问题．（3）证明四边形FGHM是菱形，S＝GH2•sinα，求出GH的取值范围即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，设CD与AB交于点N，与BE交于点O，∵∠CAB＝∠DAE＝90°∴∠DAC＝∠EAB，又∵AC＝AB，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵∠ANC＝∠BNO，∴∠CAN＝∠BON＝90°，∴BE⊥CD，故答案为：BE＝CD，BE⊥CD；（2）如图2，结论：GM＝FH．GM⊥FH．理由：连接CD，BE，CD交BE于O，连接FG，GH，HM，MF．∵∠CAB＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC＝AB，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∴∠BOC＝∠CAB＝60°，∵F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，∴GF∥BE，HM∥BE，FM∥CD，GH∥CD，GF＝HM＝BE，FM＝GH＝CD，∴∠FGH＝60°，GF＝FM＝MH＝HG，∴四边形FGHM是菱形，△GFH是等边三角形，∴FH⊥GM，∠GFH＝60°，∴tan∠GFH＝＝，∴GM＝FH．（3）如图3中，连接CD，BE，CD交BE于J，交AB于O，过点F作FT⊥GH于T，BE交GH于K．∵∠CAB＝∠