2021年浙江省高考数学模拟试卷（一）

2021年浙江省高考数学模拟试卷（一）（3月份）

一.选择题（共io小题）.

1.设集合S={1,3,5,7,9),集合A={3,5,9},B={1,3,7,9},则(CsA)CB=

()

A.{1,7}B.{3,9}C.{1,5,7}D.{1.7,9}

2.若z=l+2i,则z・z-l=()

4i

A.iB.-iC.1D.-1

'2x-y40

3.若x,y满足，x+y<3，则2x+y的最大值为（)

x》0

A.0B.3C.4D.5

4.一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）

A.B.nC.D.

5.函数y言人，x€（-今，O）U（O,5）的大致图象是（）

6.若机，"是两条不同的直线，a,P是两个不同的平面，且"i_La,nep,则“山〃〃"是

“a邛”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设（小｝是等差数列，下列结论中正确的是（)

A.若41+。2>0,则〃2+。3>0

B.若3V0,贝|J2Vo

C.若0Vai<a2,则/1

D.若m〈0,则(42-43)>0

8.已知双曲线用-勺l（a>0,b>0）的右焦点为尸（c,0）,右顶点为A,过产作AF

abz

的垂线与双曲线交于3、C两点，过8、。分别作AC、A8的垂线，两垂线交于点。，若

。到直线8c的距离小于〃+c,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-8,-V2)U(V2»Q)D.(-72，0)U(0,&)

9.已知m/?GR,且abWO,若Unx-a)(x-b)(x-a-b)与0在x>0上恒成立，则

()

A.4V0,b<0B.a<Ofb>0C.a>0,b<0D.a>0,b>0

10.设集合S,T中至少有两个元素，且S,T满足：①对任意x,y&S,若xWy,则x+yeT；

②对任意x,yET,若xWy,则x-y€S.下列说法正确的是（）

A.若S有2个元素，则SU7有4个元素

B.若S有2个元素，则SUT有3个元素

C.存在3个元素的集合S,满足SUT有5个元素

D.存在3个元素的集合S,满足SUT有4个元素

二、填空题：本大题共7小题，共36分.

11.《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳

马”这种几何体三视图如图所示，则体积为,最长棱长为

壬视图侧视图

3

俯视图

12.若(x+a)(七一的展开式的常数项为2,则。=_____,所有项系数的绝对值之

Vx

和是・

13.在△ABC中，角A,B,。的对应边分别为。，b,c,若伊=bb=2V3>c=2,

sinAcosB

贝B=,S/\ABC~

14.设直线/：mx+ny+\=0(,”>-1,n>-1),圆C：(x-1)2+(y-1)2—1,若直线

/与圆相切，则m+3n的最小值为.

15.六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法

有.

16.甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2

个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的

个数为亭则P9=2)=,E(p=.

•.•、、、1]]、,.

17.已知外,a2，1是空间单位向量，©1*e2=e2*e3=e3，，el若空间向量a满

足a=x%+ye2(M)WR),|al=2,则la，叼的最大值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.已知函数f(x):sin(x兀-*)+ir，将(幻的图象横坐标变为原来的1《，纵坐标不

62

变，再向左平移二jI个单位后得到g(X)的图象，且y=gJ)在区间[；11,答11]内的

643

最大值为返.

2

(1)求机的值；

(2)在锐角△ABC中，若求tanA+tanB的取值范围.

19.如图，已知多面体ABC。-AiBiGQi,AAi,BBi,CG,均垂直于平面ABC£>,AD

//BC,AB=BC=CD=AAi=CCi=2,=AD=DDi=4.

(I)证明：4G，平面CDDiCl;

(II)求直线BG与平面所成角的正弦值.

20.已知正项数列,｛/>„｝满足｛如｝是首项为1,公差为d的等差数歹U,

111n厂*

ft7+…7=----n€N

bjb；b；an+l

(I)求｛为｝的通项公式；

(II)若数列｛♦｝满足c=l+/l+d，(&-0-1)J7^=bn-bn_i，n>2,n€N*,证

匕41

21.已知椭圆％：工亍鼻=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为《，一动圆C2过椭圆

1/2

G右焦点凡且与直线x=-l相切.

(1)求椭圆G的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；

(2)过厂作两条互相垂直的直线，分别交椭圆Ci于P,。两点，交曲线C2于M,N两

点，求四边形尸MQN面积的最小值.

22.设函数f(x)=lnx-a(x-1)ev,其中aER.

(I)若aWO,讨论了(x)的单调性；

(II)若OVoV工，

e

(i)证明/(x)恰有两个零点；

(ii)设xo为/(x)的极值点，xi为f(x)的零点，且箱>xo,证明3xo-xi>2.

参考答案

一.选择题（共10小题）.

1.设集合S={1,3,5,7,9},集合A={3,5,9},8={1,3,7,9},则(Cs^)CB=

A.{1,7}B.{3,9}C.{1,5,7)D.{1,7,9}

解：；S={1,3,5,7,9},A={3,5,9},B={1,3,7,9},

，CsA={l,7},(CsA)CB={1,7}.

故选：A.

2.若z=l+2i,则z・z-l=()

解：z=l+2i,

22

z・Z=14-2=5,

则正1=等3_i,

4i4ii

故选：B.

’2x-y40

3.若x,y满足<x+y<3，则2x+y的最大值为（）

A.0B.3C.4D.f

’2x-y<0

解：作出不等式组曰<3对应的平面区域如图：（阴影部分）.

x>0

设z=2x+y得y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大,

此时z最大.

由［2x-y=0,解得卜=1,即A（1,2）,

（x+y=3（y=2

代入目标函数z=2x+y得z=1义2+2=4.

即目标函数z=2x+y的最大值为4.

故选：C,

4.一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）

A.B.ITC.5/2^D.

设圆锥的母线为/,底面圆半径为广，

因为/ABO=60°,所以工•=sin60°,解得r=1/,

12

所以底面圆的周长为2m,

所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为

o2兀r2冗乂堂1二

0=——=2~V31T.

11

故选：D.

5.函数y言人，x€（-今，O）U（O,5）的大致图象是（）

解：f（-x）=tan（-xj=tan^=/Q）,则/。）是偶函数，排除A,C,

-xX

tanxsinx1

XXcosx

当x-0,包工邑一1,二一--1,则/（x）-1,排除5,

Xcosx

故选：D.

6.若加，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，且机_La,〃u0,则“〃2〃〃”是

“卬”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：若m_La,m//n,则〃_La,又所以a_L0,即“〃是"a_L0"的充分条

件；

若a±p,则m〃B或"?u0,又〃u0,所以相，及的关系不确定，

即“加〃是"a_LB”的不必要条件；

所以am//n^是“a_L|T的充分不必要条件.

故选：A.

7.设｛〃〃｝是等差数列，下列结论中正确的是（）

A.若Ql+〃2>0,则。2+。3>0

B.若m+a3V0,贝（Jai+a2Vo

C.若OVaiV〃2,则ai>Ja[1

D.若a】V0,则（02-ai）（。2-。3）>0

解：若。|+〃2>0,则2〃i+d>0,〃2+〃3=20+3d>2d,d>0时,结论成立，即A不正确；

若。1+〃3<0,则ai+a2=2m+dV0,az+ay=2a।+3d<2d,dVO时，结论成立，即8不正

确；

{a〃}是等差数列，OVaiVaz,2ai=a\+ci3>2a।a3,/.a2>^aja3,即C正确;

若ai<0,则(42-41)(。2-43)=-即。不正确.

故选：C.

22

8.已知双曲线¥-31心>0,b>0)的右焦点为尸(c,0),右顶点为4,过尸作AF

abz

的垂线与双曲线交于3、。两点，过以。分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点。，若

。到直线BC的距离小于4+c,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是()

A.(-8,-1)u(1,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

c.(-8,-&)U(近，Q)D.(-V2，0)U(0,V2)

,2,2

解：由题意，A(〃，0),B(c,——),C(c,-——),

aa

由双曲线的对称性知。在x轴上，设。(-0),

22

bb,4

则由3O_LA8,得&•一a=一1，:*c~x=~^-------，

—7^7a2(c-a)

b4

到直线BC的距离小于a+c,：.\c-x\=\-......\<a+c,

a^(c-a)

,4,2

-亥~。2=匕2,0V——<c1,

aa

・・・双曲线的渐近线斜率的取值范围是(-1,0)U(0,1).

Qx-a-b)20在x>0上恒成立，则

()

A.“VO,h<0B.QVO,Z?>0C.〃>0,h<0D.a>0,b>0

解：令/“x-a=O,得x=Q,

假设b〈0时，则(Inx-a)(x-b)(x-a-b)20,

所以(/nx-a)(x-a-b)20,

当x>/时，Inx-a>0,e">a,故x-a-%>0,在x>所成立，

当0<x<e"时，/nx-aVO,此时需成立x-a-6W0,即xWa+8,

而xWa+b对xe(0,e0)恒成立，所以/W〃+〃，

又已知人<0,故e"Va与e^Ca矛盾，故6>0不成立，

因为Inx-a的正负性与x-e"的正负性一致，

所以任意x>0,(Inx-a)(x-b)(x-a-b)20u>任意x>0,(x-e0)(x-b)(x

-a-b)20,

假设a>0,则次b,a+b均大于0,且a+b>b,

下证当a>0,匕>0时，任意x>0,(x-e")(x-b)(x-a-h)20恒成立，

①非》4+方，令1=旦，贝!](--e11')(--b)(―-a-b)<0,

2222

a

@b^e«<a+b,令x=a+b+ea,则("竺之_/)(a+b+e.h)(a+b+e；

2222

-b)<0,

@ea<b,令x=b+上,(-^)(b+--b~)(b+—-a-b)<0>

2222

综上，可知a>0不成立，故aVO,

所以“<0,b>0,

故选：B.

10.设集合S,T中至少有两个元素，且S,T满足：①对任意x,yeS,若x#y,则x+yCT；

②对任意x,yeT,若xWy,则x-y€S.下列说法正确的是()

A.若5有2个元素，则SU7有4个元素

B.若S有2个元素，则SUT有3个元素

C.存在3个元素的集合S,满足SU7有5个元素

D.存在3个元素的集合S,满足SUT有4个元素

解：由条件②可知集合S中的元素必成对出现，他们互为相反数，

若S有2个元素，不妨设S={m-a}(aWO),由条件①可知集合T中必含有元素0,

若T的另一个元素为。(或-“)，显然符合条件②，

若T的另一个元素不是。或-a,不妨设为c(cN±”)，

则由条件②可知c,-C也是S的元素，与S只有.2个元素矛盾,

.•.SUT={〃，-a,0）,故A错误，B正确；

若S有3个元素，则0必然是S的元素，设5={“，0,-a},则由条件①可知SUT,

再由条件②可知2a€S,-2aeS,与S有3个元素矛盾，

故不存在3个元素的集合S,满足条件①，②，故C错误，。错误.

故选：B.

二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题6分

11.《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳

马”这种几何体三视图如图所示，则体积为10,最长棱长为

正视图侧也图

俯视图

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体;

如图所示：

所以：3X4X5=20,

BE=732+42+52=5近，

故答案为：20；572.

12.若（x+a）（y-）4的展开式的常数项为2,则〃=1,所有项系数的绝对值之和

是32・

i4

解：・・,(仁十)的通项公式为7ki=

4的展开式的常数项为C：x(-1)+妙q=2,贝

4

的各项系数和,

(1+〃)・24=32,

故答案为：1;32.

13.在AABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若伊=bb=2«，c=2,

sinAcosB

TT

贝！1S^ABC=_2依

o

解：因为1巴一^,又由正弦定理可得:=b

sinAcosBsinAsinB

可得sinB=J§:os8,即tanB=

因为氏(0,IT),

所以B=2，

3

又b=2«，c-2,

近i

所以孤=W2r，可得sinC=±，

---sinC2

2

兀JT

由cVb,可得。为锐角，可得C=：9,可得A=ir-8-C=」，

62

所以Szx4BC=_"^C=-^-X2X2y

故答案为：»2小^.

O

14.设直线/：mx+ny+\=Q(m>-1,-1),圆C：(x-1)2+(y-1)2=1,若直线

/与圆相切，则m+3n的最小值为、64.

解：圆C：(x-1)2+0-1)2=1的圆心坐标为C(1,1),半径为1,

|m+n+l|“

,/直线/与圆C相切，；.-r^==尸=1,

Vm+n

—1

整理得，2，〃〃+2，〃+2"+1=0,BPm=

2n+2

-2n~2+l

"+3〃==卯一」+3n=

2n+22n+2

1

=3(n+1)+--4-

2(n+l)

V/n>-1,n>-1,>0,

1

贝！J/〃+3〃=3(H+1)+=

2(n+l)7＞砧(n+1)，2&；1厂4^

-1+逅，加=_1二痣时等号成立.

当且仅当(n+l)24，即〃=

62

m+3n的最小值为-4.

故答案为：J^-4.

15.六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有

96.

解：将除甲、乙、丙的三人全排列，再将甲乙丙插入所成的空中,

因为甲、乙和丙的顺序有A33=6种，其中在甲、乙在丙的同一侧的顺序4种,

故不同的排法有当3”43=96种,

6

故答案为：96.

16.甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2

个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的

个数为"则P«=2)_5,E

~~12—⑴=4-

解：由题意可得：？=0,1,2,3,

2c；c；c，c犯也

p«=0)—,P(^=1)=—,P(《=2)=

1212

2l1

C犯;+c；c；c；c；rrbr

今，P(£=3)l31

r2r2

“4喙厂五’

可得其分布列:

0123

p(J)1551

72121212

1RR

E=0X」■4IX上—2X上—3义13

s121212

故答案为：-^-9W

122

•••1.

17.己知e1，e»eq是空间单位向量，巴•e广es>■QQ•21若空间向量a满

，乙?。144JJ126=R"

足a=x%(%，)€R)，1；1=2，则Ia•叼的最大值是_三3—.

解：空间向量a满足a=x日［+ye2(乂ywR),外♦巳尹卜•巳？二上•=-^~,

JL乙乙O。，，

由I［=2，

整理得|Z|2Q•24，

即x2+y2+xy=4,

又Ia，e3l=I(xei+ye2)，e3l=/|x+yI，

由于炉+俨22盯，

所以由x2+y2+xy=4,整理得3xy^4,

即xy<U，

O

416

W|x+y|2=x1+y1+2xy—x^y^+xy+xy44+

3T

故|x+yI(若，

所以l^lx+yl<-^-=^^

/Voo

故答案为：

3

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

JT1

18.已知函数f(x)=sin(x—)E，将y=F(x)的图象横坐标变为原来的《，纵坐标不

62

TTTTTT

变，再向左平移二，个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间［个,冬］内的

643

最大值为返.

2

(1)求相的值；

(2)在锐角△ABC中，若g(Q=^,求tanA+tanB的取值范围.

JT1

解：(1)f(x)=sin(x/)tir的图象横坐标变为原来的《，纵坐标不变，

62

n

再向左平移;个单位后得到g(尤)的图象，

6

贝加（x）=sin⑵啥）E，VX€[-y,-y].，2x哈€笞，个],

•••当2x+~^即x=2•时，名⑴最大值堂^+^二胃二,斤。.

⑵•「g（»sin（C吟）考.・<€S，专），•,•€：哈，

人「sinAsinBsinAcosB+sinBcosAsin(A+B)

.tanA+tanB=-----------

cosACOSDcosAcosB

cosAcosk-7--A)

6

_________sinC__________2__________2________

=V321sin2A-V3cos2A-V3八・小人冗、l，

z-cosA+r-sinAcosA2sin(2A-)-v3

NNJ

•.♦△ABC是锐角三角形，

.4<A<5,*2A4〈好,^-<sin(2A^)<l

OCaO00^O

tanA+tanB>4+2百，

即tarbA+tanB的取值范围为(4+2百，+°°).

19.如图，已知多面体ABC。-AiBiGOi,AAi,BBi,CCi,ODi均垂直于平面ABC£>,AD

//BC,AB=BC=CD=AAi=CCi=2,BB\=\,AD=DDi=4.

(I)证明：4C|_L平面CD。|C1；

(ID求直线BG与平面4BiG所成角的正弦值.

【解答】（I）证明：如图，连接AC,

'：AA\//CC\,且A4=CG,

四边形ACG4为平行四边形，即AG〃AC.

又底面A8C£>为等腰梯形，且AB=BC=CZ）=2,AD=4,：.AC±CD.

'：CG_L平面ABCD,ACu平面ABCD,

；.CCi_LAC.

又C£>CCG=C,；.AC，平面CDDiCi,

...AiG_L平面CDDiCi；

(II)解：法一、由题意得BCi=2五,延长。C,D\C\,AB,4囱交于点G,取CG中

点M,连接8M,AC.

'：BM//AC//A\C\,8也，平面AiBiCi,AiGu平面AiBCi,

.•.BM〃平面43G,

.•.点B到平面A^ICI的距离和点M到平面A山Ci的距离相等.

由(I)知AC」平面CWJiCi,

又ACiu平面A\B\C\,

，平面平面CDD\C\.

过点M作MHLGDi于点H,则平面AiBiG,

即点M到平面AifiiG的距离为平.

设直线BC\与平面A山Ci所成的角为。，

叵

贝I.a21,

Sine=BC；W^

即直线BG与平面A^iCi所成角的正弦值为1；

解法二、以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点。且垂直于平面AOUAi的直线为

y轴，DD\所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(3,V3)0)，A/4,0,2),g，1),C/l,声，2),

函=(-2,0,2),A[C；=(-3,V3，0),B[C；=(-2,0,1).

设平面AiBCi的法向量n=(x,y,z)，

n,AiC[=-3x+gy=0一

由，---------►，令x=l,得n=(l,V3-2).

n,B[Ci=-2x+z=0

设直线BCx与平面AiBG所成的角为6,

则sin。=|cos<BC,三〉|二21

12近“2近-4,

即直线BCi与平面48cl所成角的正弦值为

4

/>

w

必

<;

20.已知正项数列｛a.｝,｛瓦｝满足｛扇｝是首项为1公差为d的等差数列，

…~^~=丁，n€N*

a

bjbfb：n+l

(I)求｛/M的通项公式；

(H)若数列｛Cn｝满足Cl=l+，l+d，(Cn-C"-l)=l>n-bn_pn>2,n€N*,证

1111<*

明aQ：u+入+,,,+,<一,n€N-

blclb2c2bncnd

1.11n

解：(I).2+,2+,,'+,2-,①

aa

b]b2bnn+l

•--1--二--1-

bj2a2,

1.1.1n-1

当心2时，1)...•2=a，②

bl2b22bn-l、

①…②…作差得，门1_nna-1ja“a1"n》\2n,

检验b\也符合，又｛为｝为正项数列，

故LWanan+iNll+lnT)d](ltnd)；

证明：(II)S(cn-crrl^\/^n=^n-^n-l=Vanan+l-Vanan-r

得%一不1=在高一m3,n>2,n€N*,

.,.c2-c।-^ag

c3一。2二一F鼻

cn-crr-l_7an^l~Van-l*

cc=a+-

累加得n-1Vn+lV^nV^-2"n》2,

•：ci=l+J1+力

故Cn=再3+府]n>2,ci也符合，

则——__L______=立之£』』」一

[Cn«3/i+五?dVan+lV®iid再iVarH-l

又｛斯｝为正项数列，故d>0,

111

441

21.已知椭圆Cj3三=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为《，一动圆C2过椭圆

azbz2

Ci右焦点F,且与直线工=-1相切.

(1)求椭圆G的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；

(2)过尸作两条互相垂直的直线，分别交椭圆Ci于P,。两点，交曲线C2于M,N两

点，求四边形PMQV面积的最小值.

'2a=4

解：(1)由已知可得，c1=

/节

22

则所求椭圆方程C/'天=「由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线c的

焦点为(1,0),准线方程为X=-1,则动圆圆心轨迹方程为C2：y2=4x.

(2)当直线MN的斜率不存在时，|加=4,

此时PQ的长即为椭圆长轴长，『。|=4,

从而-|PQ|^-X4X4=8.

设直线MN的斜率为鼠则AW0,直线MN的方程为：y