2021年浙江省绍兴市中考数学真题

浙江省2021年初中毕业生学业考试绍兴市试卷

数学试题卷

考生须知：

1.本试题卷共6页，有三个大题，24个小题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效。

3.答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。本次考试不能使用计算器。

参考公式：抛物线y=a?+hx+c（a^0）的顶点坐标是（-一,------）.

2a4a

卷I（选择题）

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、

错选，均不给分）

1.实数2,0,—3,正中，最小的数是

A.2B.0C.-3D.&

2.第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人这个数字5270000用科学记数法可表示

为

A.0.527xlO7B.5.27xlO6C.52.7xlO5D.5.27xlO7

3.如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是

___///

主视方向

A.B.C.D.

4.在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个

球，是白球的概率为

5.如图，正方形48co内接于一。，点尸在上，则的度数为

C.60°D.90°

6.关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

7.如图，树在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高PO=5m,树影AC=3m,树A8与路灯。的

水平距离AP=4.5m,则树的高度A8长是

310

C.—mD.—m

23

8.如图，菱形ABCO中，ZB=60°，点P从点B出发，沿折线8C—CD方向移动，移动到点D停止.在

形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形分直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

9.如图，RtZ\ABC中，N84C=90。，358=',点0是边8。的中点，以为底边在其右侧作等腰三

4

CE

角形ADE,使连结CE,则——的值为

AD

35厉c

A.—B.C.-----D.2

22

E

C

10.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2,用

2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是

图1图2

A.用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

卷II（非选择题）

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11.分解因式：x2+2x+l=A

12.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9

两，则差8两，银子共有▲两.

13.图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在

矩形48。对角线的交点。上.若45=30cm,则BC长为▲cm（结果保留根号）.

14.如图，在八46c中，AB=AC,ZS=70°,以点C为圆心，。长为半径作弧，交直线BC于点P,连

结AP,则NE4P的度数是▲.

A

BC

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8CO的顶点A在x轴正半轴上，顶点B,C在第一象限，顶点。的

5k

坐标(二,2).反比例函数y=-(常数％>0,x>0)的图象恰好经过正方形48。的两个顶点，则人的值

2x

16.已知八46。与△A3。在同一平面内，点C,。不重合，ZABC=ZABD=30°,AB=4,

AC=AD=20,则CD长为▲.

三、解答题(本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22,23小题每小题12分,

第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)

17.(1)计算：4sin600-712+(2-73)°.

(2)解不等式：5x+3..2(x+3).

18.绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺.为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：

非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的

一项，并将抽查结果绘制成如下不完整的统计图.

某校部分学生对''莲花落”了解程度某校部分学生对“莲花落”了解程度

(1)本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数.

(2)全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人.

19.1号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升,II号无人机从海拔30m处同时出发，以

的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b(m).无人机海拔高度y(m)与时间x(min)

的关系如图.两架无人机都上升了15min.

(1)求b的值及II号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式.

(2)问无人机上升了多少时间，I号无人机比n号无人机高28米.

20.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为I,底座A8固定，高为50cm,连杆8c长度

为70cm,手臂CO长度为60cm.点B,C是转动点，且43,8c与8始终在同一平面内，

(1)转动连杆8C,手臂C£>,使NABC=143。，CD//1,如图2,求手臂端点。离操作台/的高度。E的

长(精确到1cm,参考数据：sin53°«0.8,cos53°®0.6).

(2)物品在操作台/上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC,手臂CZ),手臂端点。能否碰到点

M?请说明理由.

21.如图，在"66^,NA=40°,点。，E分别在边AB,AC上，BD=BC=CE,连结CO,BE.

(1)若NABC=80°,求N8£>C,N4BE的度数.

(2)写出NBEC与N8DC之间的关系，并说明理由.

22.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1,杯体ACB是抛

物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径4?=4,且点4,8关于y轴对称，杯脚高CO=4,

杯高00=8,杯底MN在x轴上.

(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).

(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案，如图2,杯体A'CB'所在抛物线形状不变，杯口直径46'〃A6,

杯脚高CO不变，杯深CD'与杯高之比为0.6,求48'的长.

23.问题：如图，在0ABe。中，AB=8,AD=5,ZDAB,NA6C的平分线AE,BF分别与直线C£>交

于点E,F,求EF的长.

答案：EF=2.

探究：(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求)的长.

(2)把“问题”中的条件“A8=8,A£>=5”去掉，其余条件不变，当点C,D,E,尸相邻两点间的距离

An

相等时，求出的值.

AB

24.如图，矩形A8C。中，A3=4,点E是边的中点，点尸是对角线8。上一动点，//应8=30°.连结

EF,作点D关于直线EF的对称点P.

(1)若EFLBD,求OF的长.

(2)若PELBD,求。尸的长.

（3）直线PE交BO于点Q,若△OEQ是锐角三角形，求。尸长的取值范围.

浙江省2021年初中毕业生学业考试绍兴市试卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题有10小题，共4（）分）

1.C2.B3.D4.A5.B

6.D7.A8.C9.D10.B

二、填空题（本大题有6小题，共30分）

11.（x+1）212.4613.3073

14.15°或75°15.5或22.516.273±2,4,276

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22,23小题每小题12分,

第24小题14分，共80分）

17.（本题满分8分）

解：（1）原式=26-26+1

=1.

（2）5x+3..2x+6,

5x—2x..6—3,

3x..3,

x.A.

18.（本题满分8分）

解：（1）90+45%=200,

本次接受问卷调查的学生有200人.

70

—X360°=126°,

200

二“了解”的扇形圆心角的度数是126°.

（2）“非常了解”与“了解”的百分比和为35%+15%=50%,

1200x50%=600,

二估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人.

19.（本题满分8分）

解：⑴0=10+10x5=60.

^y=kx+b,将（0,30）,（5,60）代入得:y=6x+30（嘴I15）.

（2）（10x+10）-（6%+30）=28,

x=12<15,

无人机上升12min,I号无人机比II号无人机高28米.

20.（本题满分8分）

解：（1）过点C作CPLAE于点P,

过点8作8QJ_CP于点Q,如图1,

NABC=143°,

:.ZCBQ=53°,

图1

在RtABC(2中，CQ-BC-sin53°«70x0.8=56cm.

CD//I,

.•.r)E=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.

(2)当点B,C,。共线时，如图2,

60=60+70=130cm,AB=50cm,

在RtAAB。中，AB2+AD2=BD1,

AD=120cm>110cm.

手臂端点D能碰到点M.

21.(本题满分10分)

(1)ZABC=80°,BD=BC,

NBDC=/BCD=50。.

在△ABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

■,ZA=40°,

ZACB=60°,

CE=BC,

:.ZEBC=60°.

ZABE=ZABC-ZEBC=20°.

B

(2)NBEC,NBDC的关系:NBEC+NBDC=110。.

理由如下：设ZB£C=c,4BDC二。.

在AABE中，a=ZA+ZABE=40°+ZAB£,

CE=BC,

Z.CBE=ABEC-a.

：.ZABC=ZABE+ZCBE=ZA+2ZABE=40°+2ZABE,

在△BDC中，BD=BC,

：.ZBDC+/BCD+NDBC=2/3+40°+2ZABE=180°.

.-./?=70°-ZAfiE.

a+尸=40。+ZABE+70°-NABE=110°.

;.NBEC+ZBDC=110。.

22.(本题满分12分)

解：(1)设丁=0^+4,

将x=2,y=8代入，得a=1,

y=x2+4.

CD'

(2)=0.6,

OD,

CD'

=0.6,

4+CD'

：,CD'=6,OD'=10,

当y=10时，10=f+4,

=底或工2=—V6,

:.A'B'=2瓜,

即杯口直径A'B'的长为2c.

23.（本题满分12分）

（1）①如图1,四边形A8CZ）是平行四边形,

AB//CD,

:.ZDEA=ZEAB.

AE平分NZMB,

:.ZDAE=ZEAB.

:.ADAE^ADEA.

DE=AD-5.

同理可得：BC=CF=5.

点E与点、尸重合，

...AB=CD=10.

②如图2,点E与点C重合,

DE-DC-5，

CF=BC=5,

.•.点F与点D重合,

:.EF=DC=5.

(2)情况1,如图3,

AD=DE=EF=CF,

图3

情况2,如图4,

AD=DE=CF,

又•：DF=FE=CE,

AD2

----=-.

AB3

情况3,如图5,

AD=DE=CF,

又-FD=DC=CE,

.•q二2.

AB

综上：的值可以是一，一，2.

AB33

24.（本题满分14分）

解：（1）如图1,矩形ABCD中，

.-.ZBAD^90°,

ZADB=30°,AB=4,

：.AD=4y/3,

点E是A。中点，

DE=2yf3,

图1

.EF工BD,

:.DF=3.

（2）第一种情况，如图2,

ZP£D=60o,

由对称性可得，EF平分NPED,

ADEF=30°,

△D所是等腰三角形，

第二种情况，如图3,

ZPED=120°,

由对称性可得

NFED=120°,

△DEF是等腰三角形,

可求得£>E=6.

综上：。尸的长为2或6.

（3）由（2）可得当NOQE=90°时,

DF=2（如图2）或6（如图3）.

当ZDEQ=90°时，

第一种情况，如图4,

EF平分NPED,ZDEF=45°,

过点f作FMLAD于点M,

设£M=a,则/DM=岛,

x/Jtz+a=2百,

a=3--73,DF=6—2^3,

:.2<DF<6-2y[3.

图4

第二种情况，如图5,

EF平分NAEQ,户=45°,

过点F作RWJ_A£）于点M,

设£M=a,则fM=a,DM=岛,

：.Ma-a-2V3,

a-3+A/3,DF=6+2^3,

.6+20>8,DF最大值为8,

6<DF„8.

综上：2<。/<6—26或6<。/,，8.

图5

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列运算中，计算正确的是（）

A.加。+加3=2/5B.（―2/y=—6。6C.—by—ci1—b1D.764-V2=V3

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（)

正面

AHJbnJJcrmD出

4.一组数据：3,4,4,4,5,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人

数是（）

A.14B.llC.10D.9

6.已知关于X的分式方程"士a=1的解为非负数，则用的取值范围是（）

2x-l

A.m>-4B.m2-4且/“H-3C.m>-4口.〃2〉7且，%/-3

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、

乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购

买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的边轴，垂足为石，顶点A在第二象限，顶点3在y

轴正半轴上，反比例函数y=七*手O,X>0）的图象同时经过顶点C。.若点C的横坐标为5,BE=2DE,

X

则上的值为（）

40R5520

3243

9.如图，平行四边形9ABEC的对角线8c相交于点石，点。为AC的中点，连接80并延长，交bC

的延长线于点。，交A尸于点G,连接A。、OE,若平行四边形A3WC的面积为48,则S*OG的面积为

()

A.4B.5C.2D.3

10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与B。相交于点。，点石在8c的延长线上，连接QE,点尸是

班的中点，连接。尸交于点G,连接CF,若CE=4,OF=6.则下列结论：

①GF=2；②OD=4^OG；@tanZC£>£=-;

2

8K

④N。。尸=NOCE=90°；⑤点D到CF的距离为彳一.其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①③④⑤C.@@③⑤D.①②④⑤

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数据14.14万用科学记数法

表示为.

12.在函数y=—1—中，自变量X的取值范围是.

x-5

13.如图，在矩形A8CD中，对角线AC、8。相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条

件，使矩形ABCO是正方形.

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球,

然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是

2x—a>Q-

15.关于X的一元一次不等式组《有解,则a的取值范围是

3x-4<5

16.如图，在00中，AB是直径，弦AC的长为5。%,点。在圆上，且NM）C=30。，则。0的半径为

c

B

\\\0I

D~

17.若一个圆锥的底面半径为1。机，它的侧面展开图的圆心角为90°,则这个圆锥的母线长为cm.

18.如图，在RfAAQB中，ZAOB=9Q0,04=4,0B=6,以点。为圆心，3为半径的0。，与。8交于

点C,过点。作8,08交A3于点Q,点尸是边Q4上的顶点，则PC+PD的最小值为.

19.在矩形ABCO中，AB^lcm,将矩形ABC。沿某直线折叠，使点3与点。重合，折痕与直线AD交于

点E,且DE=3cm,则矩形ABCD的面积为cm2.

20.如图，菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=l,延长CO至A,使D41=CD,以为一边，在BC

的延长线上作菱形A|CC|D|,连接AA，得到A4D41；再延长CD至A2,使。4=CQ1,以4G为一边,

在CC|的延长线上作菱形4cle2。2,连接44,得到AAQ4……按此规律，得到AA2O2o2o2O4O2l，记

的面积为S1,AA|Z）|A.2的面积为8^A>o2o^2020^2021的面积为^2021，则^2021=.

三、解答题（满分60分）

（2\2

21.先化简，再求值：a--^—士-#—，其中a=2tan450+l

、Q+1JQ~—1

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ZVIBO的三个顶点

分别为A（-1,3）,5（工3）,。（0,0）.

y

(1)画出AABO关于丁轴对称的儿4河0,并写出点Bx的坐标；

(2)画出AABO绕点。顺时针旋转90°后得到的AAzB。，并写出点打的坐标：

(3)在(2)的条件下，求点8旋转到点打所经过的路径长(结果保留万).

23.如图，抛物线》=0¥2+&+3(。。0)与1轴交于点4(1,0)和点8(—3,0),与y轴交于点C,连接3C,

与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求A50C的面积.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，

现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请

根据图中提供的信息，解答下列问题：

抽样成绩条形统计图

人数

45

40

35

30

25；_26

20

15

10510

0二件二二二斗a_

ABCDE等级

(1)本次调查中共抽取学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

25.一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行

驶.己知轿车比货车每小时多行驶20初1.两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的距离y(km)与

货车行驶时间xg)之间的函数图象如图所示的折线AB—3C-CDE,结合图象回答下列问题:

(2)求两车的速度分别是多少加〃/??

(3)求线段CD的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20加？

26.在等腰MDEAE=DE,MBC是直角三角形，NC46=90°,ZABC=-NAED，连接CD、BD,

点尸是BD的中点，连接即.

(1)当NE4O=45°,点3在边AE上时，如图①所示，求证：EF=-CD.

2

(2)当NE40=45°,把AABC绕点A逆时针旋转,顶点B落在边AD上时，如图②所示，当ZE4£>=60°,

点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段跖和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的

猜想，不需证明.

27.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金

购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3

件乙种农机具共需3万元.

(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元,

设购进甲种农机具〃2件，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

28.如图，在平面直角坐标系中，AAO8的边Q4在1•轴上，OA=AB,且线段Q4的长是方程

Y一4%-5=0的根，过点B作BElx轴，垂足为石，tanZfiA£=-，动点M以每秒I个单位长度的速

3

度，从点A出发，沿线段向点B运动，到达点8停止.过点M作x轴的垂线，垂足为。，以MD为边作

正方形MDC尸，点C在线段0A上，设正方形MQC下与AAC火重叠部分的面积为S,点M的运动时间为

中>0)秒.

(2)求S关于/的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；

(3)当点/落在线段08上时，坐标平面内是否存在一点尸，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列运算中，计算正确的是（）

A./n2+zn3=2/w5B.（-2a2y=_6a，C\a-b）2=a2-b2D.«+拉=6

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

4.一组数据：3,4,4,4,5,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人

数是（）

A.14B.llC.10D.9

6.已知关于X的分式方程2上3=1的解为非负数，则小的取值范围是（）

2x-l

A.m>-48.〃22-4且/“。-3C.m>-4D.〃？>T且机H-3

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、

乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购

买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边轴，垂足为石，顶点A在第二象限，顶点B在y

轴正半轴上，反比例函数y=-（k^O,x>0）的图象同时经过顶点C.D.若点C的横坐标为5,BE=2DE,

X

则攵的值为（）

C.-D.生

43

9.如图，平行四边形9ABFC的对角线AF、3C相交于点E,点。为AC的中点，连接50并延长，交尸C

的延长线于点Q,交AF于点G,连接A。、OE,若平行四边形ABAC的面积为48,则5^^的面积为

()

A.4B.5C.2D.3

10.如图，在正方形ABCD中，对角线4c与8D相交于点。，点£在的延长线上，连接DE,点F是

班的中点，连接。尸交于点G,连接。尸，若CE=4,。尸=6.则下列结论：

①GF=2；②OD=0OG；③tanNCDE=L

2

④NODE=NOCE=90。；⑤点D到CF的距离为竽.其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①③④⑤C.@@③⑤D.①②④⑤

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数据14.14万用科学记数法

表示为.

12.在函数7=」~•中，自变量X的取值范围是.

x-5

13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、3。相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条

件,使矩形ABCD是正方形.

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球,

然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是

2x-a>0一

15.关于大的一元一次不等式组《有解，贝M的取值范围是

3x-4<5

16.如图，在。。中，A3是直径，弦AC的长为5刖，点。在圆上，且NA0C=3O°,则。0的半径为

17.若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90°,则这个圆锥的母线长为cm.

18.如图，在RfAAOB中，ZAOB=90°,04=4,08=6,以点。为圆心，3为半径的)0,与08交于

点C,过点。作8,08交A8于点。，点尸是边Q4上的顶点，则PC+PD的最小值为.

19.在矩形A3CO中，AB=2cm,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点。重合，折痕与直线AD交于

点E,且DE=3cm,则矩形ABCD的面积为cm2.

20.如图，菱形ABCD中，ZAJ3C=120°,AB=l,延长CO至4,使D41=CZ),以为一边，在

的延长线上作菱形ACC|Z)|,连接得到AADA：再延长CJ至A?,使。4=以4G为一边,

在CC|的延长线上作菱形A2cle2。2,连接44,得到……按此规律，得到，记

AAD4]的面积为S[,AAQ]&的面积为S?....A%o2o2o2oA2O2i的面积为^2021，则^2021=.

((T2

21.先化简，再求值:a-----1-，一，其中a=2tan450+l

I«+v«2-1

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，AABO的三个顶点

分别为A（T,3）,8（T3）,0（0,0）.

（1）画出△A8O关于*轴对称的AA£0,并写出点B1的坐标;

（2）画出AABO绕点O顺时针旋转90°后得到的AAzB?。，并写出点反的坐标:

（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点打所经过的路径长（结果保留万）.

23.如图，抛物线丁=公2+施+3（。，0）与1轴