专题7导数与数列不等式（学生版）

专题7：导数与数列不等式<<<专题综述>>><<<专题综述>>>数列是高中数学中的一个重要内容，在高等数学也占有重要的位置.函数与不等式是高中数学培养学生思维能力的重要内容，可以体现数学思维中的很多方法，解决两者结合在一起的问题，既要具备灵活运用数学基础知识和数学基本能力，又要具备较高的应用数学抽象、逻辑推理分析问题、解决问题的数学素养.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>导数与数列中有关不等式的证明是紧密相连且互相渗透的.在复习中，我们一定要注意它们的联系，它们所涉及的问题往往是灵活应用导数与数列中有关不等式的知识，把这两者完美地结合在一起.学生要在知识的交汇点学会思考分析，达到知识的融会贯通.同时，提高自己的分析问题和解决问题的能力.利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起．证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x题型一：题型一：应用导数研究i=1n题设情境是应用导数讨论函数的单调性、由不等式恒成立求参变量的取值范围、应用函数思想证明数列不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基本知识求解；第（2）问应用“带参讨论”技巧，结合同构法和放缩法推导实数a的取值范围；第（3）问利用第（2）问的相关结论：a=12，则∀x>0，总有xe12x-例1（湖南省长沙市雅礼中学20222023学年高三上学期月考）已知函数f(x)=xe（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*【思路点拨】第（1）问求出f'x，讨论其符号后可得fx的单调性.第（2）问设hx=xeax-ex+1，求出h″x，先讨论a>12时题设中的不等式不成立，再就0<a≤12结合放缩法讨论h'x符号，最后就练1（浙江省2023届高三数学原创预测卷一(全国1卷)）已知函数fx=lnx+a（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程fx=-52x+b（3）证明：对任意的正整数n，不等式2+34练2（广东省深圳市福田区福田中学2023届高三上学期月考）已知函数fx（1）对于x∈0,1，fx>0恒成立，求实数（2）当a=1时，令hx=fx-sinx+lnx+1（3）求证：lnn+1题型二：题型二：应用导数研究i=1nai题设情境是应用导数讨论函数的单调性、由不等式恒成立求参变量的取值范围、应用函数思想证明数列不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基本知识求解；第（2）问应用“特殊值法”，求得实数a的取值范围，然后证明实数a在该范围时，原不等式恒成立；第（3）问利用第（2）问的相关结论，结合待证不等式的结构特征，得到不等式sinx-π4例2（四川省内江市威远中学校20222023学年高三上学期月考）函数fx（1）a=12,求（2）若fx≥cosx在x∈0,π上恒成立,（3）令函数gx=fx【思路点拨】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)问题等价于ax+cosx-sinx-1≤0，令h(x)=ax+cosx-sinx-1，根据函数的单调性求出a的取值范围即可；

(3)求出g(x)=sinx，令x-π4=kπ15，得到x=4k+1560π，可得到sinkπ练3（四川省内江市威远中学校20222023学年高三上学期第三次月考数学）已知fx（1）当a=e2时,（2）当x∈0,+∞时,fx≥0（3）求证：22e-1+2练4（江苏省淮安市高中校协作体20222023学年高三上学期联考）已知函数fx=x+1lnx，曲线y=f(x)在（1）求证：x>1时，fx>ax+b（2）求证：ln21题型三：题型三：应用导数研究i=1n题设情境是应用导数的几何意义求a的值、证明函数不等式和数列不等式.第（1）问由曲线y=fx和y=gx在原点处的导数值相等求a的值，然后应用凹凸反转方法，通过构造函数应用导数证明不等式；第（2）问利用第（1）问的结论得到fn例3（江苏省南京市江宁区五校20222023学年高三上学期联考）已知函数fx=x22+axa>0，g（1）求实数a的值，并证明：当x>0时，fx（2）令bn=lnn+1n+1【思路点拨】（1）由导数的几何意义得f'0=g'0,便可求得a=1,从由f构造函数hx（2）利用第（1）问结论得fn>gn，即2n+1ln练5（湖南省长沙市长郡中学2022届高三上学期月考）函数fx=lnx+1（1）求a的值；（2）证明：对于任意正整数n,nn⋅练6（湖南省常德市五校联盟20222023学年高三上学期第一次考试）已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：对一切n∈N*均有n+1en<n×n-1题型四：题型四：应用导数研究i=1n题设情境是不等式恒成立求参数a的取值范围，证明数列积的不等式.第（1）问应用“带参讨论法”研究不等式恒成立问题，从而确定参数a的取值范围；第（2）问利用第（1）问的结论：当a=2时，fx<gx在1,+∞上成立，即ln例4（河北省衡水中学2022届高三上学期3调）已知函数fx=xlnx（1）若fx<gx在1,+∞上恒成立，求实数a（2）求证：1+1n+1【思路点拔】第（1）问由x>0及xlnx-ax-12<0，所以构造函数hx=lnx-ax-12，通过分类讨论实数a的取值范围求实数a的取值范围；第（2）问利用第（练7（浙江省台州市2023届高三第一次教学质量评估）已知fx=eaxx（1）当a=12时，求函数fx在m,m+1（练8（第一中学20222023学年高三上学期11月期中）已知fx=e(1)当a=1时，分别求n=1和n=2的fx(2)求证：当a=1时，fx=0有唯一实数解(3)若对任意的x≥0，n∈N*都有fx题型五：题型五：应用导数研究递推数列相关的不等式问题题设情境是有关数列通项的不等式证明和新定义型数列通项范围的探究.第（1）问应用数学归纳法证明；第（2）问应用分析法，通过构造函数应用导数证明；第（3）问利用第（1）问的结论，应用放缩法和累加求和法证明不等式.例5（第一中学20222023学年高三上学期11月期中）已知数列{an}中，a1=23，且an+1=(1+12n)an+1n2（（1）当n≥2时，求证：an≥2；（2）求证：bn＜e；（3）对于数列{xn}如果存在常数A、B使得A≤xn≤B，则称数列{xn}为具有上、下确界的数列，利用（1）（2）的结论探究数列{an}是否具有上、下确界的数列．请说明理由.【思路点拔】第(1)问由递推关系式an+1=(1+12转换要证明bn<e成立，只须证(1+n)1n应用导数证明；第(3)问利用第(1)问结论通过适当放缩推导得an+1≤(1+同时取对数得lnan+1-ln得an≤23e练9（广东省揭阳市揭东区第二中学2023届高三上学期月考）已知函数f(x)=ln(e(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；(2)若数列{an}满足a1=1，a练10（江苏省南京市南京师范大学附属中学20222023学年高三上学期期中考）已知函数f(x)=&x-ln（1）若函数f(x)是R上的增函数，求实数m的取值范围.（2）已知数列{an}满足a①求证：0<a②设Pn=a<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.（北京师范大学附属实验中学2023届高三期中数学试题）已知函数fx=lnx(1)当x∈0,+∞，不等式f(2)对于任意正整数n，不等式1+12⋅2.（2023年浙江省押题预测数学试题）已知函数f(x)=x-1-aln（1）若f(x)≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，1+121+3.（湖湘名校教育联合体20222023学年高三大联考数学试题）设函数fx=ln1+x(1)若函数hx=fx(2)设n∈N*，证明：1+1n4.（湖南省雅礼十六校20222023学年高三联考数学试题）已知正项数列an，aan+1=证明：（1）an+1<an；（2）an5.（湖南省雅礼十六校20222023学年高三联考数学试题）已知函数f(x)=xcos（1）求f(x)的单调区间；（2）记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有16.（江西省萍乡市芦溪中学2023届高三开学考数学（理）试题）已知函数f(x)=sinx-xcosx（1）若a=0，证明：f(x)≥0；（2）若f(x)单调递增，求a的取值范围；（3）当n≥2且n∈N*时，证明：7.（江苏省盐城市第一中学20222023学年高三学情调研数学试题）已知函数f(x)=ax，g(x)=lnx，其中（1）若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值1，求a的值．（2）若函数G(x)=f[sin(1-x)]+g(x)在区间(0,1)（3）证明：k=1n8.（江苏省盐城市伍佑中学20222023学年高三月考数学试题）设函数f(x)=e（1）当a=b=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y=h(x)；并证明f(x)≥h(x)(x≥0)恒成立；（2