第2课时切线的性质与判定

九年级上册数学《第二十四章圆》24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.第2课时切线的性质与判定知识点一知识点一圆的切线的判定定理◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.◆2、几何语言表示：（如右图）∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，∴直线l是☉O的切线◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.◆4、常见证切线作辅助线的方法：（1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证相等(证明d=r).知识点二知识点二圆的切线的性质定理◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．◆2、几何语言表示：∵直线l是☉O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.题型题型一切线的判定连半径证垂直【例题1】（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．​【分析】连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．解题技巧提炼【变式11】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．【分析】由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【解答】证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．【点评】本题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式12】（2022秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线．【解答】解：相切．理由是：连接BD，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解本题的关键．【变式13】（2023•义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．【解答】解：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD＝23，∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝43；（2）连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．【变式14】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA=12∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中点，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线．【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．【变式15】（2023•岚山区开学）如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．求证：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切线．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC，等量代换得到∠ADC＝∠CDE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接OC，根据三角形的内角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC，∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CDE，∴CD平分∠ADE；（2）连接OC，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ODC＝∠CDE，∴∠OCD＝∠CDE，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．题型二切线的判定题型二切线的判定作半径证垂直【例题2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．解题技巧提炼直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.【变式21】如图，O为正方形ABCD对角线AC上O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式22】HYPERLINK如图，△ABC中，∠ACB=90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．求证：AB为⊙O的切线；【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH=OC，根据切线的判定定理即可得到结论；【解答】

（1）证明：过O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，

∴OC⊥BC，

∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，

∴OH=OC，

即OH为⊙O的半径，

∵OH⊥AB，

∴AB为⊙O的切线；【点评】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式23】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键．【变式24】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=9【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=32∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE∴EG=OE×DE∴DG=D∴CG＝CD+DG＝3+9∴CE=E【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．题型三切线判定多结论问题题型三切线判定多结论问题【例题3】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，选项则正确结论的个数为4个．故选：D．【点评】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．解题技巧提炼本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．【变式31】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD为⊙O的切线（①正确）；②不一定；连接CO，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCP=12∠∵∠DCP=12∠AOC=12（180又∵∠DCP=12（180°﹣∠∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正确．故选：B．【点评】本题主要考查了切线的判定的理解及运用．【变式32】如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC＝AB，∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圆O的切线，故④正确；∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵∠ODB＝∠B，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，选项故选：D．【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．【变式33】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD＝25°，下列说法中不正确的是（）A．D是劣弧BE的中点 B．CD是⊙O的切线 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【分析】证出∠BAD＝∠EAD，由圆周角定理得出BD=ED，得出选项A正确；由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，证出CD是⊙O的切线，选项B正确；由圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，证出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，选项C正确；由已知条件得出∠OBC＝130°，得出选项【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD，∴BD=∴D是BE的中点，选项A正确；∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD＝25°，∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线，选项B正确；∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，∴∠BOD＝∠BAE，∴AE∥OD，选项C正确；∵∠C＝90°，∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，选项D不正确；故选：D．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解决问题的关键．【变式34】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG＝DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG＝OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；∵∠ADF＝∠DAE＝90°，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角形外心．【变式35】点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为23；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是．【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF，从而判断正误；②由对称性质得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，从而判断正误；③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，从而判断正误；④连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切，从而判断正误．【解答】解：①连接CD，∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①的结论正确；②∵点E与点D关于AC对称，∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，当∠BCD≠60°时，∠E≠30°，故②的结论错误；③当CD⊥AB时，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC＝2根据“点到直线之间，垂线段最短”可得点D在线段AB上运动时，CD的最小值为23．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为43．故③的结论错误；③当AD＝2时，连接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2．∴AD＝DO．∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∴∠BCO＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECB＝∠DCB＝60°．∴∠ECO＝90°．∴OC⊥EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．故④的结论正确；故答案为：①④．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．【变式36】（2023•花都区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．【分析】根据已知条件得出∠ACD＝∠FCD，根据圆内接四边形得出∠FCD＝∠DAB，进而得出∠ACD＝∠DAB，根据圆周角定理即可判断①，不能确定DC=BC，即可判断②，证明△AOB≌△BOD得出∠ADO＝∠BDO，根据三线合一得出DO⊥AB，进而根据AC是直径，得出AB⊥BC，结合已知条件即可判断③，证明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF，得出DE＝DF，BF＝【解答】解：如图，连接DB，∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF＝180°，∴∠BCD＝∠ACB+∠DCF，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∴∠ACD＝∠FCD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠FCD＝∠DAB，∴∠ACD＝∠DAB，∴AD=∴∠ABD＝∠BAD，∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BAD，故①正确，∵不能确定DC=∴∠DAC＝∠BAC不一定成立，故②错误，如图，连接BO，∵AD=∴AD＝DB，在△AOD和△BOD中，AO=BODO=DO∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AB，∴DF⊥OD，∴DF与⊙O相切，故③正确，∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，CF＝CE，在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD＝DB，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴BF＝AE，∵AE＝4，EC＝1，∴BC＝BF﹣CF＝4﹣1＝3，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上性质是解题关键．题型四题型四利用切线的性质求角度【例题4】（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48°则∠AOC的度数为（）​A．42° B．48° C．84° D．106°【分析】根据切线的性质得出∠OCD＝90°，进而得出∠OCB＝40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．【解答】解：在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，切线的性质：切线垂直于过切点的半径．解题技巧提炼已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.【变式41】（2023•李沧区三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【分析】首先连接BD，由AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易证得∠AED＝∠ABD＝∠C．【解答】解：如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠C＝38°，故选：C．【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式42】（2022秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（）A．25° B．40° C．50° D．65°【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A．【解答】解：∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线．【变式43】（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为．【分析】连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，则∠AOE＝30°，由切线的性质得∠OAE＝90°，则∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝75°，∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵EA切⊙O于点A，∴EA⊥OA，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60°．【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定量、直角三角形的两个内角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式44】（2023•青岛二模）如图，⊙O与△ABO的边AB相切，切点为B，将△ABO绕点B按顺时针方向旋转得到△A'BO'，使点O'落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C，若∠A＝25°，则∠OCB为（）A．85° B．° C．88° D．90°【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，连接OO′，如图，∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，∵OB＝OO′，∴△OO′B为等边三角形，∴∠OBO′＝60°，∴∠ABA′＝60°，∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．【变式45】（2023•临高县校级三模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直AB于点P，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E．若∠ABC＝63°，则∠E等于°．【分析】连接OD，根据直角三角形的性质求出∠PCB，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵弦AB⊥CD，∴∠CPB＝90°．∵∠ABC＝63°，∴∠PCB＝90°﹣63°＝27°，由圆周角定理得，∠EOD＝2∠PCB＝54°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°﹣54°＝36°；故答案为：36．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【变式46】（2023•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E．（1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠OBE＝∠ODE＝90°，从而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根据等角对等边可得EB＝ED；（2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：（1）BE＝DE，理由：连接OD，∵BE与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED；（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB=180°-∠E2∴∠EBD的度数为55°．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型五题型五利用切线的性质求线段长【例题5】（2023•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（）​A．4 B．5 C．6 D．12【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切线，∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD=AB∴BC＝8，∵OC2+BC2＝OB2，∴OA2+82＝（OA+4）2，解得OA＝6，∴⊙O的半径等于6，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．解题技巧提炼利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解.【变式51】（2023•海南模拟）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3，PB＝4，则BC＝．【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得到∠ABP＝90°，则利用勾股定理可计算出AP，然后利用面积法计算BC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，∵AB＝3，PB＝4，∴AP=32∵12BC•AP=12AB∴BC=3×4故答案为：125【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．【变式52】（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（）A．3 B．2 C． D．25【分析】连接OC，作OI⊥BD于点I，由PC与⊙O相切于点C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延长线于点D，则∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四边形OCDI是矩形，则OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵连接OC，作OI⊥BD于点I，∵PC与⊙O相切于点C，∴PC⊥OC，∵BD⊥PC交PC的延长线于点D，∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，∴四边形OCDI是矩形，∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，∵∠OIB＝90°，BD＝4，∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，∴（4﹣OB）2+22＝OB2，解得OB＝，∴⊙O的半径为，故选：C．【点评】此题重点考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且根据勾股定理列方程是解题的关键．【变式53】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）​A．2 B．4 C．22 D．【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD=OD2故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【变式54】（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（）A．23 B．4 C．3 D．5【分析】由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠C＝90°，所以OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因为AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，则∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以OB＝2OD＝8，则AD＝BD=OB2-OD2=43，所以【解答】解：∵⊙O与边BC相切于点D，∠C＝90°，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴OB＝2OD＝2×4＝8，∴AD＝BD=OB2∴CD=12AD=12×故选：A．【点评】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解题的关键．【变式55】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．【解答】解：∵AB为切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，在Rt△OAB中，OA=OB∵OH⊥AC，∴AH＝CH，在Rt△OAH中，AH=OA∴AC＝2AH＝8，答：⊙O的半径为5，AC的长为8．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．【变式56】（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD＝FD即可证明：⊙D与AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD＝DF，∴⊙D与AC相切；（2）解：设圆的半径为x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB=AC∵AC，BC，是圆的切线，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x=3∴AE＝4﹣3＝1．【点评】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．题型六题型六切线的判定与性质的综合应用【例题6】（2023春•新城区校级月考）如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点．（1）求证：∠AFB＝∠C；（2）若AB＝5，AF＝6，求⊙O半径的长．【分析】1）由切线性质可知，EA⊥AD，即∠EAD＝90°，根据点B是DF的中点，可知AB=12DF=BF，进而可知∠BAE＝∠AFB，由BE=BE（2）连接AC，则∠EAC＝∠ECF+∠ACD＝90°，由（1）可知，∠EAD＝90°，则∠AFB+∠D＝90°，可得∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF进而可知AC＝AD，EC＝EF，由AB＝5，AF＝6，AB=12DF=BF，易知DF＝10，AD＝AC＝8，则设⊙O半径的长为r，则AE＝2r，由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2，即可求得【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，∴EA⊥AD，即∠EAD＝90°，∵点B是DF的中点，∴AB=1∴∠BAE＝∠AFB，∵BE=∴∠C＝∠BAE，∴∠AFB＝∠C；（2）解：连接AC，则∠ECA＝∠ECF+∠ACD＝90°，由（1）可知，∠EAD＝90°，则∠AFB+∠D＝90°，∵∠AFB＝∠ECF，∠AFB＝∠CFE，∴∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF∴AC＝AD，EC＝EF，∵AB＝5，AF＝6，AB=1∴DF＝10，则AD=AC=D则设⊙O半径的长为r，则AE＝2r，CE＝EF＝AE﹣AF＝2r﹣6，由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2，解得：r=25即：⊙O半径的长为256【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟悉相关性质是解决问题的关键．解题技巧提炼切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键．【变式61】（2022•淮安二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出OD∥AE，再根据AE⊥CD，得出OD⊥CD，进而得出结论；（2）利用勾股定理求出半径OD，进而得出∠C＝30°，∠COD＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠OAD＝∠ODA=12×60°＝30°＝∠C，进而得出AD【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠OAD，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，又∵AE⊥CD，∴OD⊥CD，∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：设OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，即x2+（33）2＝（x+3）2，解得x＝3，即OD＝3，OC＝6，∴∠C＝30°，∠COD＝60°，∴∠EAD＝∠DAC=12×60°＝30°＝∴AD＝CD＝33，∴DE=12AD【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键．【变式62】（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；（2）∵⊙O的半径为5，∴AC＝AB＝10，∵BC＝16，BD＝CD，∴CD＝8，在Rt△ACD中，AD=AC∵S△ADC=12AC•DE=12∴DE=AD⋅CD【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，正确作出辅助线，熟练掌握掌握切线的判定与性质是解题