专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）（解析版）

专题4.1相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）【题型1：8字型】【题型2：反8字型】【题型3：平行类A字型】【题型4：不平行A字型】【题型5：直角三角形中射影定理】【题型6：非直角三角形中射影定理】【题型1：8字型】【基本模型】【典例1】（2023春•连平县期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长．【答案】（1）证明见解析过程；（2）4．【解答】（1）证明：∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE，又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝8，∴CF＝AD＝8，∵AB＝AC，点E是边AC的中点，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，∴AB＝12，∴DB＝AB﹣AD＝12﹣8＝4．【变式1-1】（2023•路桥区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（）A．9 B．12 C．27 D．36【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝1：3，∴AE：CD＝1：3．∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴S△CDF＝9S△AEF＝27．∵△AEF∽△CDF，∴，∴S△AEF：S△ADF＝EF：DF＝1：3，∴S△ADF＝3S△AEF＝9，∴S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝27+9＝36，故选：D．【变式1-2】（2023•大兴区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，连接CE交对角线BD于点F．若BD＝10，则DF的长为2.5．【答案】2.5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴△EDF∽△CBF，∴．∵AE＝2DE，∴，∴，∴，∴．∵BD＝10，∴DF＝10＝2.5．故答案为：2.5．【变式1-3】（2023•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝2，在Rt△DAE中，，AE＝2，∴＝＝3，在Rt△ADC中，AD＝3，CD＝4，∴＝＝5，∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴，∴，∴＝．故答案为：．【变式1-4】（2022秋•南开区校级期末）如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．【答案】（1）见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，又∵∠AEB＝∠CGE，∴△ABE∽△CGE．（2）解：设FD＝m，则AF＝2m，∴AD＝3m，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3m，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB∴＝＝，又∵△ABE∽△CGE，∴＝＝．即的值为．【变式1-5】（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．【答案】（1）2；（2）3；（3）．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．【变式1-6】（2022秋•覃塘区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F．（1）求△AEF与△CDF周长之比；（2）如果△CDF的面积为20，△ADF的面积为8，求四边形BEFC的面积．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵AE：EB＝2：3，∴．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD，∴．∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴；（2）∵△CDF的面积为20，△ADF的面积为8，∴△ADC的面积＝△CDF的面积+△ADF的面积＝28．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ADC与△ABC是等底等高的三角形，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝28．由（1）知：△AEF∽△CDF，∴，∴S△AEF＝20×＝，∴四边形BEFC的面积＝S△ABC﹣S△AEF＝28﹣＝．【题型2：反8字型】【基本模型】【典例2】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB．（1）求证：∠CAD＝∠CBD；（2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数；（3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析过程；（2）45°；（3）AD+BD＝CD．证明见解析过程．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，又∵∠AOC＝∠DOB，∴∠CAD＝∠CBD；（2）解：如图1，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，且∠AOC＝∠BOD，∴∠CAE＝∠DBC，又∵AC＝BC，∴△CAE≌△CBD（SAS），∴CE＝CD，∠ACE＝∠DCB，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°；（3）AD+BD＝CD．证明：如图2，由旋转的性质得：△CAE≌△CBD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴CE＝CD，AE＝BD，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CD，即AD+AE＝CD，∴AD+BD＝CD．【变式2-1】（2023•巴南区开学）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝3：1，则S△ADE：S△ABC的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝3：1，∴AD：AB＝3：4，∴．故选：D．【变式2-2】（2023春•东莞市期中）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝．故选：D．【变式2-3】（2023春•滑县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（）A．95° B．85° C．75° D．50°【答案】B【解答】解：∵∠C＝45°，∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣45°﹣50°＝85°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝85°，故选：B．【变式2-4】（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A．4 B．8 C． D．【答案】A【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，交FG于点K，如图，∵四边形DEFG为正方形，∴FG＝GD，FG∥BC，∵AH⊥BC，∴AK⊥GF，∴四边形GDHK为矩形，∴GD＝KH，∴GF＝KH．∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴．∵BC＝8，△ABC的面积是32，∴BC•AH＝32，∴AH＝8．设GF＝KH＝x，∴，∴x＝4．∴这个正方形的边长是4．故选：A．【变式2-5】（2023•郁南县校级模拟）视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离l1＝5米，此时字母E的高度为b1米．由于场地有限，需要缩小测试距离为l2＝3米，修改后视力表字母E的高度为b2米，则b1与b2的关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图：由题意得：DE∥BC，∴∠DEA＝∠BCA，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝＝，∴＝，故选：D．【变式2-6】（2023•锦江区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比为4：25．​【答案】4：25．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的位似比是2：5．∴△ABC与△DEF的相似比为2：5，∴△ABC与△DEF的周长比为2：5，∴△ABC与△DEF的面积比为22：52＝4：25，故答案为：4：25．【变式2-7】（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点F在CD边上，延长AD到点E，使得DE＝DF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）若延长AF与CE恰好相交于中点G，求DE的长．【答案】（1）见解析过程；（2）．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDE＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS）；（2）如图，连接AC，则AC＝＝，∵△ADF≌△CDE，∴∠AFD＝∠E，又∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠DAF+∠E＝90°，∴AG⊥CE，又∵G是CE的中点，∴AG垂直平分CE，∴AE＝AC＝，∴DE＝AE﹣AD＝．【变式2-8】（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF•BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．【变式2-9】（2023•茂南区三模）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝4，BC＝6，CE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）；（2）解：∵△AOB≌△DOC，∴AB＝CD＝4．∵EF∥CD，∴，∴，∴EF＝．【变式2-10】（2023•江岸区二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB＝6，AC＝8，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴△DCE∽△BCA；（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，设DE＝x，则CE＝AC﹣AE＝8﹣x，∵△DCE∽△BCA，∴，∴，∴x＝，∴AE＝，CE＝CA﹣AE＝．由（1）知：DE∥AB，∴．【题型3：平行类A字型】【基本模型】有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【典例3】（2023•硚口区模拟）如图，点E在四边形ABCD的边BC延长线上，AE交CD于F，∠1＝∠E，∠B＝∠D．（1）求证：∠BAF+∠AFC＝180°；（2）若BC＝2CE，直接写出；①的值；②的值．【答案】（1）证明详见解答；（2）①9；②．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠E，∴AD∥BE．∴∠D＝∠DCE．∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE．∴AB∥CD．∴∠BAF+∠AFC＝180°；（2）解：①∵BC＝2CE，∴BE＝3CE．由（1）知AB∥CD，∴△EFC∽△EAB．∴＝（）2＝（）2＝，即＝9．②∵＝9，∴＝8，即＝8．∴＝．【变式3-1】（2022秋•南华县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（）A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴AD∥BG．∴△ADE∽△GCE．∴＝＝3．∴AD＝BC＝3CG．∴BG＝4CG．∵AD∥BG，∴△ADF∽△GBF．∴＝＝＝．故选：A．【变式3-2】（2023•裕安区校级二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）​A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故选：B．【变式3-3】（2023•太原一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点F是BC边上一点，连接AF交对角线BD于点E．若DE＝2BE，则EF的长为（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中AD∥BC，∴△AED∽△FEB，∵DE＝2BE，∴＝＝＝，∵正方形ABCD的边长为6，∴＝，∴BF＝3，在Rt△ABF中AF＝＝＝＝3，∴＝＝，∴＝，3﹣EF＝2EF，EF＝．故选：B．【变式3-4】（2023春•八步区期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是AD的中点，FG∥DE，若BC+FG＝15，则DE的长为6．【答案】6．【解答】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵FG∥DE，∴FG∥DE∥BC，∴△AFG∽△ABC，又∵F是AD的中点，D是AB的中点，∴，∴FG＝BC，∵BC+FG＝15，∴BC+BC＝15，∴BC＝12，∴DE＝×12＝6．故答案为：6．【变式3-5】（2023春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，点D是AC上的点，过点D作DE∥BC交AB于点E，AB＝3BE，过D作DF∥AB交BC于点F．（1）若BC＝15，求线段DE的长；（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．【答案】（1）DE＝10；（2）△CDF的面积是4．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．∴＝．∵AB＝3BE，∴AE＝2BE．∴＝．∴DE＝10．（2）∵DE∥BC，∴＝＝，△AED∽△ABC．∴＝（）2．∴＝（）2＝．∴S△ABC＝36．∵DF∥AB，∴△CDF∽△ABC．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△CDF＝S△ABC×＝4．【变式3-6】（2023•平罗县二模）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，．（1）求证：DF∥BC；（2）如果DF＝2，BE＝5，求的值．【答案】（1）证明见解析过程；（2）．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴，∵，∴，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ABC，∴∠ADF＝∠ABC，∴DF∥BC；（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴EC＝DF＝2，∴BC＝BE+EC＝7，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴．【变式3-7】（2023•硚口区模拟）如图，E，F分别在AB，AC上，∠AFE＝∠C，∠DAB+∠B＝180°．（1）求证：∠DAF＝∠AFE．（2）若AE＝2EB，直接写出△AEF与△ABC的周长之比．【答案】（1）答案见解答过程；（2）2：3．【解答】（1）证明：∵∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，又∵∠DAB+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴AD∥EF，∴∠DAF＝∠AFE．（2）解：△AEF与△ABC的周长之比为2：3，理由如下：设EB＝a，∴AE＝2EB＝2a，∴AB＝AE+EB＝3a，∴AE：AB＝2a：3a＝2：3，由（1）可知：EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，且相似比为2：3，∴△AEF与△ABC的周长之比为2：3．【变式3-8】（2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB．（1）求证：△FEC∽△ADF；（2）设CF＝AC．①若EF＝3，求线段AB的长；②若S△FEC＝1，求S△ADF的值．【答案】（1）详见解答；（2）AB＝9，S△ADF＝4．【解答】（1）证明：∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC．∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA．∴△FEC∽△ADF．（2）解：∵△CEF∽△CBA，∴＝＝．∴AB＝3EF＝9．∵CF＝AC，∴＝．∵△FEC∽△ADF，∴＝（）2＝．∴S△ADF＝4S△FEC＝4．【变式3-9】（2022秋•丹阳市期中）如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求这个正方形的边长．【答案】4．【解答】解：如图，设正方形的边长为x，∴MN＝ID＝PN＝x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝4，∴这个正方形的边长4cm．故答案为：4．【变式3-10】（2022秋•昌图县期末）已知小明、小强的身高都是1.6m．如图，小明和小强在路灯正下方分别向西和东各走几步，此时两人之间的水平距离BC＝10m，小明的影长AB＝2m，小强的影长CD＝3m，求这盏路灯OP的高度．​​【答案】这盏路灯OP的高度为4.8m．【解答】解：由题意得：EB⊥AD，PO⊥AD，FC⊥AD，∴∠ABE＝∠AOP＝∠DCF＝∠DOP＝90°，∵∠EAB＝∠PAO，∴△AEB∽△AOP，∴＝，∴＝，∵∠CDF＝∠PDO，∴△DCF∽△DOP，∴＝，∴＝，∴＝，解得：OB＝4，∴＝，∴OP＝4.8，∴这盏路灯OP的高度为4.8m．【题型4：不平行A字型】【典例4】（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求证：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵点D是BC的中点，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．【变式4-1】（2023•九台区模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的长．【答案】1．【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝2，∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．【变式4-2】（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）AE•CD＝BC•ED．【答案】证明过程见解答部分．【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE•CD＝BC•ED．【变式4-3】（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（2）解：由（1）知△AED∽△ABC，∴∠B＝∠E．又∵∠EFA＝∠BFD，∴∠EAB＝∠EDB．∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EDB＝∠BAD．又∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD．∴＝．∴AB＝＝＝．答：AB的长为．【变式4-4】（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【答案】（1）（2）证明见解析．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG•AE＝AB•AG．【变式4-5】（2022秋•巨野县期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，DE⊥BC；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或．【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，则BH＝BC＝8cm．在直角△ABH中，由勾股定理得到：AH＝＝＝6（cm）．∵AH⊥BC，DE⊥BC，∴DE∥AH．∴△BDE∽△BAH．∴＝，即＝．解得t＝；（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，＝，即＝，解得t＝．答：存在时间t为或时，使得△BDE与△ABC相似．【变式4-6】（2022秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AGE∽△AFB．（2）若，GE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】证明：（1）∵AF平分∠BAC，∴∠EAG＝∠BAF，∵∠AED＝∠ABC，∴△AEG∽△ABF；（2）解：∵＝，∴＝，∵△AEG∽△ABF，∴＝，而GE＝2，∴BF＝．【题型5：直角三角形中射影定理】【解题方法】射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）【典例5】（2022•北京二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EC＝8，AC＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：如图，∵CF＝BE，CF＝2，∴BE＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∵AE⊥BC，∴AE2＝BE•EC（射影定理），∴EC＝＝＝8，∴AC＝＝＝4．【变式5-1】（2023春•宣汉