专题10抛物线及其方程（重难点突破）

专题10抛物线及其方程考点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.考点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。考点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，，抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.重难点题型突破1抛物线的定义及应用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】根据题意，抛物线：的焦点为，设，则，，，，故选A。（2）、（23·24上·常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线定义求解即可.【详解】由题意得，，抛物线中，所以，所以所求距离为.故选：B【变式训练11】、（23·24上·赣州·期中）已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为.【答案】【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.【详解】由题意可知：，准线为，设A的纵坐标为，由题意可知：，解得，所以A的纵坐标为.故答案为：.【变式训练12】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为eq\r(3)，则点M到该抛物线焦点的距离为________．【答案】eq\f(3,2)【解析】设点M(xM，yM)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,M)＝2xM，,x\o\al(2,M)＋y\o\al(2,M)＝3，))即xeq\o\al(2,M)＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).重难点题型突破2抛物线的几何性质例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为．【答案】/【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可.【详解】抛物线：，即，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：（2）、（23·24上·银川·期中）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合抛物线的准线确定其焦点即可.【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选：D（3）、（22·23上·丰台·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果.【详解】如下图所示：根据题意可得抛物线的准线方程为，若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，利用抛物线定义可知.故选：A【变式训练21】、（23·24上·台州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为.【答案】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为，得该抛物线开口向右，且，得，故抛物线的方程为：.故答案为：【变式训练22】、（22·23上·贵阳·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标，再利用圆的性质求解作答.【详解】拋物线的焦点为，圆C：的圆心为，半径，，所以F到圆C上点的距离的最大值为.故选：A【变式训练23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】抛物线，焦点，设直线的倾斜角为，得：，则，.当且仅当时等号成立.故选：D重难点题型突破3求抛物线的标准方程例3．（1）、（22·23上·津南·期末）准线为的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的准线得到，进而写出抛物线方程.【详解】由准线为，即抛物线焦点为，即，所以抛物线方程为.故选：D（2）、（22·23上·梅州·阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为.【答案】或.【分析】先由抛物线的定义得到点M的横坐标，进而得到圆心的横坐标为，结合其半径也为，得到圆与y轴的切点为，从而得到圆心为，进而得到点M的坐标，代入抛物线方程求解.【详解】解：由题意得，设，则由抛物线的定义得，则，所以圆心的横坐标为，其半径也为，所以圆与y轴相切，又因为以MF为直径的圆过点，所以切点为，所以圆心为，则，又因为点M在抛物线上，所以，即，解得或，所以抛物线方程为：或.故答案为：或.【变式训练31】、（23·24上·焦作·阶段练习）顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的标准方程与准线方程的关系即可求得结果.【详解】因为准线方程为的抛物线方程为，所以准线方程为的抛物线方程为.故选：D.【变式训练32】、（23·24上·浦东新·期中）抛物线的准线方程为．【答案】【分析】根据抛物线的方程得出的值，进而得解.【详解】抛物线，即为，∴，∴抛物线的准线方程为.故答案为：.例4．（22·23下·和田·期中）（1）求焦距是，离心率等于的椭圆的标准方程；（2）求顶点在原点，对称轴是轴，并经过点的抛物线的标准方程.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）由焦距、离心率及椭圆参数关系求出椭圆参数，讨论焦点位置写出对应椭圆标准方程；（2）由题意设，结合所过的点求参数，即得标准方程.【详解】（1）由题设，当焦点在x轴时，椭圆标准方程为；当焦点在y轴时，椭圆标准方程为.（2）由题意，设抛物线方程为，则，所以抛物线的标准方程为.【变式训练41】、（22·23·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）首先设出抛物线的标准形式，再根据题意确定的值，即可求解；（2）根据焦点坐标设出抛物线的标准方程的形式，并确定的值，即可求解.【详解】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且，因此所求标准方程为，准线方程为.（2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式，而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为.重难点题型突破4直线与抛物线位置关系例5、（23·24上·云南·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，是上一点，其中，且．(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与相交于P，Q两点，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意列方程求解出p，即可求得答案.（2）设的方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，即可求出的表达式，结合化简可得a的值.【详解】（1）由题可知，其中，解得，或（舍去）．故抛物线C的方程为．（2）设的方程为，，，联立方程组，整理得，，则，．，，同理，则，由，得，整理得．因为，所以，即．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数关系式，结合化简，计算稍显复杂，需要细心些.【变式训练51】、（23·24上·茂名·阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据抛物线定义可求解；（2）设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.【详解】（1）抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，∴，抛物线的方程为.（2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）．则有，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化简得，正方形的面积为，∵，∴，当且仅当时等号成立，所以，即，∴.方法二：的斜率为（），点的坐标为，则由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面积，令，，则，设，，则，，∵，∴，∴单调递增，.方法三：设直线：，（为参数）代入抛物线，得，即，∴，，设，则，同理，，不妨设，∵，∴，化简得，∴，，设，则，，，∵，∴，∴单调递增，.重难点题型突破5抛物线与其他圆锥曲线的综合问题例6.（1）、（21·22上·玉林·期末）已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为．【答案】【分析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为．故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.（2）、（23·24上·长沙·阶段练习）（多选题）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（

）A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为B．若，则的面积为C．若直线过点，则的最小值为D．若，则直线恒过定点【答案】BCD【分析】对于A，由条件可得垂直于轴，然后可得四边形的周长，对于B，由条件可得点的横纵坐标，即可得的面积，对于C，设直线，然后联立抛物线的方程消元，然后得到，然后结合基本不等式可得的最小值，对于D，设直线，然后联立抛物线方程消元，然后由可求出的值.【详解】

对于选项，由题意知，且垂直于轴，根据抛物线的定义可知.设与轴的交点为，易知，故，所以四边形的周长为，选项错误；对于选项，由题意得，解得，所以，从而，选项正确；对于选项，若直线过点，设直线，联立直线与抛物线方程得，易得，则，所以，当且仅当时，等号成立，选项C正确；对于选项D，设直线，联立直线与抛物线方程得，则，即，，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确.故选：BCD.【变式训练61】、（21·22上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则.【答案】0【分析】根据给定条件写出直线l、直线BF方程，再分别与抛物线的方程联立，探求出点C，A的坐标关系即可作答.【详解】依题意，直线的方程为：，由y=kx−2x2=8y消去y并整理得：，则有，抛物线的焦点为，令直线BF的方程为，由消去y并整理得：，设，则有，因此有，而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得.所以.故答案为：0【点睛】思路点睛：解答直线与圆锥曲线的题，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．【变式训练62】、（22·23·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（

）A．若过点，则的准线方程为 B．若过点，则C．若，则 D．若，则点的坐标为【答案】D【分析】根据直线与横轴的交点坐标、抛物线的定义，结合平面向量数量积的运算性质、根的一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可.【详解】设，对于A项，若过点，则点的坐标为，所以，故的准线方程为，故A项正确；对于B项，由A可得的方程为，与的方程联立，消去并整理，得，则，，根据抛物线的定义，可得，，．所以，所以，故B项正确；对于C项，将的方程与的方程联立，得，所以，．设，则，所以，即，由得，即，所以，所以，故C正确；对于D项，由C知，，所以焦点，故D错误．故选：D【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.1．（23·24上·盐城·期中）抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准形式，进而可得准线方程.【详解】由，得，所以其准线方程为，故选：B.2．（23·24上·株洲·阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，故抛物线的标准方程是.故选：D3．（23·24·昆明·模拟预测）（多选题）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；由公式，可得，.【详解】由题意得，设直线：即，则点到直线的距离是，所以，得，所以，，，所以AC正确，故选：AC.4．（23·24上·南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为.【答案】【分析】设出切线方程后代入抛物线方程，利用可求得，再通过方程的解可求得切点坐标，继而求出切线斜率，得到切线方程，进一步分析即可.【详解】设过点的切线方程为，代入抛物线方程得：,其判别式，即，故得，，又的解为，所以切点的横坐标为，代入抛物线方程可求得切点坐标为，设，令，则，即切点的坐标为;令，则，即切点的坐标为，故直线的斜率故直线的方程为，当时，即直线过定点.5．（23·24·全国·专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．【答案】【分析】设出动点和相关点，再根据条件，，再代入即可得出结果.【详解】设动点的坐标，点P坐标，，因为，所以，，可得，，代入，得，整理得，所以动点Q的轨迹方程为．故答案为：6．（23·24上·全国·课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)