2023-2024学年河北省衡水市武强县高二上册开学考数学试题（含解析）

2023-2024学年河北省衡水市武强县高二上册开学考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合满足，则可能为（

）A． B． C． D．2．是虚数单位，A． B． C． D．3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位是（

）A．90 B．90.5 C．91 D．91.54．函数的图象是（

）A． B． C． D．5．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知，，且、的夹角为，如果，那么的值为（

）A． B．C． D．7．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为（

）A． B．－ C． D．－8．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，锥体体积为6，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于命题p：“”的叙述，正确的是（

）A．p的否定： B．p的否定：C．p是真命题，p的否定是假命题 D．p是假命题，p的否定是真命题10．样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）

A．样本数据分布在内的频率为0.32B．样本数据分布在内的频数为40C．样本数据分布在内的频数为40D．估计总体数据大约有分布在内11．下列说法正确的是（

）A．在中，B．在中，若，则C．在中，若，则；若，则D．在中，12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点为的中点，则下列判断正确的是（

）A．与所成的角为B．平面C．∥平面D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则的值为；14．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是．15．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是.16．已知函数是上是减函数，则a的取值范围四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求C的大小；(2)求的面积．18．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.（1）求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；（2）估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.19．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面．20．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.21．已知函数，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）的单调递增区间.条件①：图像的对称轴为；条件②：；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．1．D根据得到，是的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合满足，所以，又，A选项，显然是集合的子集，不满足题意，排除；B选项，显然是集合的子集，不满足题意，，排除；C选项，不是集合的子集，且也不是的子集，不满足题意，排除；D选项，包含集合，故满足题意，正确.故选：D.本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.2．B【详解】试题分析：；应选B.考点：复数的运算.3．B【分析】由样本数据第80百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案.【详解】把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是.故选：B.本题考查了样本数据百分位数的计算，属于基础题.4．A【分析】根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断.【详解】解：,易得函数为偶函数,即函数图像关于轴对称，,,故当时,函数为增函数,当时,函数为减函数,当时,函数有最小值,最小值为1,故选A本题考查了函数的奇偶性,单调性和函数的最值,属于基础题5．D【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.6．C【分析】由已知可得，利用平面向量数量积的运算可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】由已知可得，由已知可得，解得.故选：C.7．B【分析】利用任意角的三角函数的定义列方程求解即可【详解】由题意得tan600°＝－，又因为tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，所以－＝，所以a＝－．故选：B8．B【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面边长为，则，底面正方形的对角线长为，设球的半径为，则，解得，则球的表面积为.故选：B9．AC【分析】任一个都符合的否定是存在一个不符合，否命题的真假与原命题相反【详解】p的否定为“”，A对B错；，所以p是真命题，则p的否定是假命题，故C对D错.故选：AC10．ABC【分析】根据频率分布直方图一一分析可得.【详解】对于A，由题图可得，样本数据分布在内的频率为，故A正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故B正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故C正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在内的比例约为，故D错误．故选：ABC11．ACD【分析】A、C、D根据正弦定理判断即可，由判断B即可.【详解】A：由正弦定理知，则，故A正确；B：显然时，成立，但不成立，故B错误；C：三角形中，故C正确；D：由正弦定理及合比的性质知：，故D正确.故选：ACD12．BCD对A，可得即为与所成的角，求出可判断；对B，通过和可得；对C，通过线面判定定理可得；对D，分别表示出三棱锥和四棱锥的体积可得.【详解】对A，底面是正方形，，则即为与所成的角，平面，，，，故A错误；对B，连接，底面是正方形，，平面，平面，，，平面，故B正确；对C，设，连接，则是中点，又点为的中点，，平面，平面，∥平面，故C正确；对D，，,，故D正确.故选：BCD.本题考查异面直线所成角的求解，考查线面垂直和线面平行的判断，考查棱锥体积的计算，解题的关键是正确理解定义和平行垂直的判定定理.13．【分析】利用向量坐标运算可构造方程求得，由此可计算得到结果.【详解】，，解得：，.故答案为.14．【分析】确定基本事件的个数为6，利用古典概型的概率公式，可得结论．【详解】从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛有4种种法，故所求概率为，故答案为.本题主要考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范围.【详解】，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号故16．【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.【详解】函数是上的减函数，所以，解得.故答案为.易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小，（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以,所以，因为，所以，因为，所以（2）由余弦定理得，所以，所以，解得，所以18．（1）平均数71、中位数71.5、方差11、标准差；（2）平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.【分析】（1）根据平均数、中位数、方差、标准差的计算公式即可求解.（2）由（1）计算的数据即可得出结果.【详解】解：(1)这10个学生体重数据的平均数为＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，∴这10个学生体重数据的中位数为.这10个学生体重数据的方差为s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s＝.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，，由三角形中位线性质可得且，又因为且，所以且，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

解法二：证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．如图，以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．因为，易知为平面的一个法向量．

因此，所以．又平面，所以平面．（2）解法一：证明：因为，，，所以，所以．因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面．解法二：由（1）可得，，．设平面的一个法向量，则，取，得，所以是平面的一个法向量．因此，所以平面．20．（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的有、、共计3个故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为（2）所有的可能结果共有种满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．21．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.选①(Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得，根据对称轴求得的值，进而求得的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间.选②(Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到，根据选择的条件求得的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到然后求得的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间.【详解】选①（图像的一条对称轴为）

解：(Ⅰ)（其中）因为图像的一条对称轴为所以即有所以所以

故所以的最小正周期为：

（Ⅱ）

所以的递增区间为选②(解：(Ⅰ)所以的最小正周期为：（Ⅱ）所以的递增区间为选③（）解：（I）所以的最小正周期为：

（Ⅱ）

所以的递增区间为本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简.22．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为，所以平面．（2）［