江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-9分题组特训一

9分题组特训一21．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y(元)与每天的销售量为x(件)的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．(1)求销售单价y(元)与每天的销售量x(件)的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？(3)在试销售过程中，受国家政策扶持，每销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m(m≤40)元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是________(直接写出结果)．解：(1)设销售单价y(元)与每天的销售量x(件)的函数关系式为y＝kx＋b，把(1500，55)与(2000,50)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1500k＋b＝55，,2000k＋b＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,100)，,b＝70.))∴每件销售单价y(元)与每天的销售量x(件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,100)x＋70.当y≥45时，－eq\f(1,100)x＋70≥45，解得x≤2500，∴自变量x的取值范围是1000≤x≤2500；(2)根据题意，得P＝(y－40)x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,100)x＋70－40))x＝－eq\f(1,100)x2＋30x＝－eq\f(1,100)(x－1500)2＋22500，∵－eq\f(1,100)＜0，∴P有最大值．当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元．答：每天的最大销售利润是22500元；(3)由题意，得P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,100)x＋70－40＋m))x＝－eq\f(1,100)x2＋(30＋m)x，∵对称轴为直线x＝50(30＋m)，∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大．50(30＋m)≥2500，解得m≥20.∴m的取值范围是20≤m≤40.故答案为20≤m≤40.22．如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F.(1)当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则eq\f(PE,PF)的值为________；(2)在(1)的基础上，现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°＜α＜60°)角，如图2，求eq\f(PE,PF)的值；(3)若与(2)相比只有如下变化，点P在线段AC上，且AP∶PC＝1∶2，旋转角度α，满足60°＜α＜90°时，即如图3所示，eq\f(PE,PF)的值是否变化？证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，PA＝PC.∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE＝∠PCF.∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE＝∠CPF.∵在△APE与△PCF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠PAE＝∠CPF，,PA＝PC，,∠APE＝∠PCF，))∴△APE≌△PCF(ASA)．∴PE＝CF.在Rt△PCF中，eq\f(PF,CF)＝eq\f(PF,PE)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(PE,PF)＝eq\r(3).故答案为eq\r(3).(2)如图4，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，∵PM⊥PN，PE⊥PF，图4∴∠EPM＝∠FPN.又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF.eq\f(PE,PF)＝eq\f(PM,PN)，由(1)，知eq\f(PM,PN)＝eq\r(3)，∴eq\f(PE,PF)＝eq\r(3).故答案为eq\r(3).图5(3)答：变化，理由如下：证明：如图5，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB，∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN.∴△APM∽△PCN.eq\f(PM,CN)＝eq\f(AP,PC)＝eq\f(1,2)，得到CN＝2PM，在Rt△PCN中，eq\f(PN,CN)＝eq\f(PN,2PM)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(\r(3),2).∵PM⊥PN