第二章直线与圆的方程教材分析及教学建议课件高二上学期数学人教A版选择性

《

直线和圆的方程》教材分析及教学建议2023年10月30日本章内容总述

1.本章是在学习了平面向量的基础上，以向量为主要工具之一，利用坐标法来研究直线和圆有关的几何问题。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合，蕴含了对应思想、数形结合思想。2.本章在一定程度上综合地运用了一些三角知识、平面几何知识、平面向量知识等。直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等知识的基础。目录一.地位与作用二.教学要求与课时分配三.新、旧教材的内容变化五.高考真题再现一、地位与作用1．给出了一种崭新的研究几何问题的方法坐标法.2．体现了一种重要的数学思想数形结合，以形助数，以数识形.3．培养用联系、发展的观点看待问题的意识,强化“一分为二”看问题的哲学思想.二.教学要求与课时分配本章的教学要求如下：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。了解直线的参数方程.2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式和两条平行线的距离公式；能够根据直线方程判断两条直线的位置关系。3．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。4．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程;理解直线与圆、圆与圆的位置关系.本章的最主要内容是直线方程、圆的方程。本章共需16课时，课时具体分配如下：直线的倾斜角和斜率

约2课时直线的方程

约3课时直线的交点坐标与距离公式

约4课时圆的方程

约2课时直线与圆、圆与圆的位置关系

约3课时

小结与复习

约2课时三.新、旧教材的内容变化3.1内容安排的变化

《新大纲》的选择性必修一第二章将《原大纲》直线部分的有向线段、两点间距离公式、线段定比分点等内容移至必修二第六章“平面向量”，将《原大纲》选学内容直线参数方程移到本章第68页中探究与发现，圆的参数方程移到本章第89页拓广探索第10题。《原大纲》的曲线和方程这节以例题的形式出现如本章第87页例5内容处理的变化（1）斜率公式的推导不再采用单纯利用三角知识的推导，而是利用平面向量的坐标知识与三角知识相结合来推导；（2）两直线平行的充要条件的表述有差别；（3）两直线垂直的充要条件的导出利用了向量数量积；（4）

点到直线的距离公式采用直角三角形中的等面积法来推导，不再采用解直角三角形的知识来推导。改变“从定义出发”呈现方式，尽量用“归纳式”呈现教材，注重从简单到复杂、从单一到综合，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。这是与以往教材有很大区别的地方。（1）在讲“倾斜角与斜率”概念时，先引导学生思考在直角坐标系中，“几个条件确定一条直线”“如何刻画‘倾斜程度’”“如何用一个量来表示‘倾斜程度’”等具体问题，把它与日常生活中的“坡度”概念联系起来。让学生获得充分感知后，再概括概念。（2）“曲线的方程”“方程的曲线”概念，这是一个充要条件，在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，过早地出现，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问。因此，教材在直线与方程、圆与方程部分先有意识渗透相关概念，在圆锥曲线与方程之前，再安排这一概念的学习，并且也采用了从具体到抽象的思路。这种“默会知识”的掌握，更多地要靠实践过程中的领悟和理解。比如在“直线与方程”“圆与方程”部分，从渗透到逐步明确，同时提供用坐标法解决几何问题的示范和练习，引导学生体会解析几何思想；在“圆锥曲线与方程”“参数方程”中，在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上，加强用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中深刻理解，学会用坐标法思考和解决问题。思想方法呈现的变化坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”采取渗透明确应用（3）加强确定各类图形的几何要素的分析，建立适当的坐标系。实际上这是“几何眼光观察在先”的体现，是以往教材不够重视的地方。（4）加大用坐标法思想分析问题的力度。以往教材往往直接呈现逻辑过程，这是一种思考的“结果”，而“为什么这样思考”则需要学生自己去体会，这对学生而言是比较困难的；新教材通过加强用坐标法分析问题，既展示了过程，又体现了对学生思维的引导。①通过“对于直角坐标系内的直线，它的位置由哪些条件确定？”引导学生思考：平面几何中是“两点确定一条直线”，有了坐标系作为参照系，这种条件可以有哪些变化。思想方法呈现的变化

②在学生认识到可以用直线与坐标轴的位置关系来确定后，再引入倾斜角概念。在此基础上再讨论如何用代数方法表示直线的“倾斜程度”，由此引入斜率概念。③通过引导语：“在直角坐标系中，给定一点P0(x0，y0)和斜率k，就能唯一确定一条直线，即平面直角坐标系中的点在不在这条直线上，完全由点P0(x0，y0)和斜率k确定。也就是说，直线上任意一点P(x，y)的坐标完全由P0的坐标x0，y0和k确定。那么这种关系的代数表达式是什么呢？”启发学生思考，推导出点斜式方程。这样的措施对于发挥解析几何的综合作用，促进学生对坐标法的深刻理解，提高综合应用数学知识解决问题的能力，都起了很好的作用。平面几何语言解析几何语言几何关系坐标关系思想方法呈现的变化本章改变以往教材存在的“讲逻辑而不讲思想”的不足，加强联系与综合正是落实“思想性”的载体。充分发挥解析几何课程特点和优势，把它作为提高思想性的强大平台，沟通代数、几何、三角等的相互联系，引导学生认识数学的内在一致性，成为主要指导思想之一。思想性的变化（1）数学史上，函数曾被当作曲线来研究，由于把曲线看成是动点的轨迹，函数（变量之间的关系）与曲线建立了非常紧密的联系，由此也使运动进入了数学。这样，从曲线作为坐标平面内点的运动轨迹，用运动变化的思想，用函数的观点研究问题，是解析几何学习中的应有之意。当然，这种联系与综合，既有点斜式方程与一次函数、抛物线方程与二次函数这样的“显性”内容，更加重要的，还有用函数和运动变化的观点看待和处理点的轨迹方程等问题的“隐性”联系。（2）函数的性质就是在变化过程中表现的规律性，像单调性、周期性、奇偶性、最大（小）值等，都是在变化过程中表现的某种“不变性”，这是学生熟悉的。在解析几何中，也要通过方程研究这种“规律性”，或利用这种“不变性”建立曲线的方程。方法。

（3）点斜式方程的建立，依赖于直线的斜率保持不变；椭圆方程的建立依赖于动点到两个定点的距离关系保持不变；圆锥曲线的方程、性质源于“两个距离”的不变关系等。总之，在解析几何的研究中，怎样把动点表现的“变”与定点、定直线、定长、定角等表现的“不变”联系起来，确是一个关键性的问题。新教材正是利用了解析几何与函数间的深刻渊源关系，从函数及其性质的研究中得到启发，水到渠成地展开相应的问题和探究数学思想方法的教学原则为：反复参透，渐进发展，学生参与。四.教学建议（1）解析几何是用代数方程研究几何性质的数学分支，它以坐标系为工具，坐标法为方法，所以教学中要始终贯彻解析思想，将几何问题代数化。教材第80页拓广探索第16题四.教学建议（1）解析几何是用代数方程研究几何性质的数学分支，它以坐标系为工具，坐标法为方法，所以教学中要始终贯彻解析思想，将几何问题代数化。教材第80页拓广探索第17题上述两个问题说的是代数表达式的几何直观，这是数形结合的重要方面，在处理某些代数问题时，利用几何直观、发挥图形的功能，有助于代数问题的解决.（2）

解析几何开创了形与数的对应结合的研究方法，要在教学中渗透数形结合思想，要让学生重视数形互助，培养代数结果与几何意义互相转化的能力，让学生体会如何借助于坐标系用代数方法研究几何问题以及如何从几何的角度观察代数问题，体会这种方法所体现的数形结合思想。

（3）

重视分类思想在教学中的渗透。例如：直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一点求圆的切线方程时要注意什么、设直线的截距式方程时又要注意什么等。

问题四：已知直线过点（2，3）且在两坐标上的截距相等，求直线的方程.

问题五：过圆（x-1）2+y2=1外一点（2，4）作圆的切线，求所作切线的方程.（4）在讲解“曲线和方程”的概念时，要让学生深刻认识和理解定义：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解：

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.关系①保证了曲线上所有的点的坐标都满足方程而毫无例外（轨迹的纯粹性）；关系②则保证了适合方程的所有点都在曲线上而毫无遗留（轨迹的完备性）.（5）求轨迹方程是解析几何中的基本问题和重要问题，在讲解求轨迹方程问题时，要注意以下几点：1.注意建立适当的坐标系；2.注意平面几何的结论在建立等量关系中的运用；3.注意排除不合条件的点；4.注意等式变形的一致性；5.注意对参数的分类讨论.（1）对称性原则（2）集中性原则求轨迹方程的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）交轨法等教材第88页第7题第8题第9题第9题可以推广为圆的第二定义（6）直线与圆这一章是解析几何的基础，在强调代数方法研究时，还要注意与平面几何、平面向量及三角等知识的联系，比如：直线的斜率公式、两直线垂直条件、圆的参数方程的推导，都用到了向量的有关知识。点到直线距离公式在教参上给出一种用直线的法向量（阅读材料）结合数量积来推导的方法。重视这些方面知识的联系有利于学生着眼知识网络的构建，提高综合运用知识的能力。直线与圆的思维导图确定直线位置的几何要素：点、方向直线的倾斜角和斜率过两点的直线斜率公式直线的点斜式方程判断直线平行或垂直直线的一般式方程直线与直线的位置关系直线与圆的位置关系圆与直线的位置关系圆的一般方程确定圆的几何要素：圆心、半径圆的标准方程两点间的距离公式点到直线的距离公式平行线间的距离公式(7)直线对称问题是解析几何中的一类重要问题，一般包括点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线的对称等.除掌握普通解法外，还要记忆一些常用结论，这对提高解题的正确性和速度是有好处的.（1）点P(x1,y1)关于点M(x0,y0)对称的点的坐标为(2x0-x1,2y0-y1).（2）点P(x1,y1)关于X轴对称的点P1的坐标为(x1,-y1)；（3）点P(x1,y1)关于Y轴对称的点P2的坐标为(-x1,y1)；（4）点P(x1,y1)关于直线y=x+b的对称点P3的坐标为(y1-b,x1+b)；（5）点P(x1,y1)关于直线y=-x+b的对称点P4的坐标为(-y1+b,-x1+b).(8)根据学生具体情况也可对直线系方程作些介绍，以拓展学生视野，提高解题效率。常见直线系方程有1.过定点直线系：过定点（x0,y0)的直线系方程为“2.1直线的倾斜角与斜率”教学建议及要求◆基本要求◆①理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；②理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；③掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系，能由直线的斜率求出直线的倾斜角，也能由直线的倾斜角求出直线的斜率（斜率存在的条件下）；④掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法。◆发展要求◆①通过引导学生对斜率存在性的讨论，培养学生思维的严密性；②通过平行和垂直问题的解决，感受用代数方法研究几何图形性质的思想。◆特别说明◆课本用学生非常熟悉的坡度作为知识的最近发现区来引出斜率概念的.直线的方程”教学建议及要求◆直线方程是解几的核心概念之一，基础性强,也是与学生经验距离最近的概念。◆教学过程可以设计成一个问题链，以此引导学生自主探索，发现并掌握各类直线方程，并能互化,认识各自的特点、了解各自的局限。直线的方程”教学建议及要求◆基本要求◆①掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程；②了解直线方程的截距式；③能正确理解直线方程一般式的含义；④能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性。◆发展要求◆①根据所给的条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线方程②使学生感受到直线和直线方程之间的对应关系，知道要说明点在直线上，只要说明点的坐标满足直线方程，反之与成立。直线的方程”教学建议及要求◆特别说明◆①将直线方程作为一个核心概念处理，在讲直线方程的斜截式时应该与一次函数进行比较加深方程与函数概念的理解②直线与方程之间的关系只要了解即可，不必展开；③截距式方程只作为两点式方程的一种应用例子，不必单独提出这种直线的形式。关于直线方程的变式（酌情处理）点斜式的变式（横纵角色）斜截式的变式（横纵角色）斜率存在斜率不为0两点式的变式（对称整式）截距式的变式（伸缩变换）关于直线方程的变式（酌情处理）一般式的变式（变量控制）参数式方程（变量分离）关于直线方程的变式（酌情处理）（其中是参数）（其中是参数）（m,n)是直线的方向向量点向式方程（拓维基础）点法式方程（拓维基础）其中（a,b）是方向向量其中（a,b）是法向量关于直线方程的变式（酌情处理）直线的方程”教学建议及要求1.渗透数学思想

突出转化思想.如:斜截式、两点式方程的导出；三种直线方程与直线一般式方程关系的建立.揭示斜截式与一次函数解析式,b,k的几何意义,沟通知识间联系.

体现数形结合(解析几何本质).如课本中,将点斜截式方程转化为两点式方程，(化归思想）,可补充另法：画出图形，依据求轨迹方程的基本方法，用直线上的动点P(x,y)和两个已知点的连线的斜率相等，获得方程.2.枝节问题点到即可如:三种形式的直线方程的局限性，了解即可。直线的截距式方程作为直线的两点式方程的特殊情形，可以不单独提出。“3.3直线的交点坐标与距离公式”教学要求及建议◆基本要求◆①会求两条直线的交点坐标。②理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系。③掌握平面上两点间的距离公式。④掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题。⑤了解两条平行线的距离是点到直线的距离公式的一个应用，会求两条平行直线间的距离。◆发展要求◆通过对点到直线距离公式的推导，渗透化归思想，并使学生进一步了解用代数方程研究几何问题的方法。◆特别说明◆两条平行线的距离公式不必记忆。直线的交点坐标与距离公式”教学要求及建议领会本质：引导学生领会解析法。如：两直线位置关系不必导出一般式的判定公式；两平行直线间的距离重转化思想运用,不看重公式。控制难度：教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。如：用坐标法证明平面几何题要求不宜过高。直线的交点坐标与距离公式”教学要求及建议“2.2圆的方程”教学建议和教学要求◆基本要求◆①探索与掌握圆的标准方程和一般方程；②会根据圆的方程求出圆心坐标和半径；③能用代数方法判定点与圆的位置关系；④会选择恰当的方程类别用待定系数法求圆方程；⑤体验求曲线方程（点的轨迹）的基本方法，概括其基本步骤。◆发展要求◆认识圆的方程与二次项系数相同的二元二次方程之间的联系。“2.2圆的方程”教学建议和教学要求教学中要注意：教科书中，会不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题。这旨在使学生在比较中加深理解，促使学生养成解题后反思的良好习惯．例如：当同一个问题有两种解法时，要求自主思考进行比较。如“请同学们比较这两种证明方法，并指出各自的特点？”在问题解决之后，要求学生进行一些简单的归纳，这旨在培养学生归纳、抽象能力，是重视重要的数学思想方法的渗透。例如“圆的标准方程”中，在学习了例2与例3之后，提出“比较例2和例3，你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗？”。本节教材编写时往往不直接给出结论，让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论。比如：在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路，促进得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略。探求点的轨迹问题侧重圆方程的应用，了解轨迹问题即可。◆基本要求◆①掌握直线与圆位置关系判定的两种基本方法（代数法、几何法）；②会利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系；③能初步解决直线与圆相交时，涉及弦长的问题；④掌握圆与圆位置关系判定的两种基本方法（代数法、几何法）；⑤会利用圆与圆的方程判定圆与圆的位置关系；⑥能通过建立直角坐标系，用圆的方程解决一些简单问题，理解坐标法解决几何问题的一般步骤（三步曲）；⑦初步会在已知直线与圆位置关系的条件下，求直线或圆的方程。“直线、圆的位置关系”教学要求及教学建议

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题；

第三步：分析代数结果的几何含义，并“翻译”成几何结论◆发展要求◆①介绍直线与圆、圆与圆的圆系方程，理解条件运用的另一种方法；②研究圆上任意点与直线上任意点之间距离的最值问题，体现数形结合、化归转化的思想方法；借助圆关于直线对称问题的研究，促进解析思想的运用。◆特别说明◆①圆的切线方程可以不引出；②重在体会用代数方法处理几何问题的思想，教学中要突出“数形结合”的思想方法。“直线、圆的位置关系”教学要求及教学建议

在知识形成过程中，理解解几的思想方法（与初中研究比较）；直线与圆的方程的应用（为什么要建坐标系，如何建坐标系，坐标法）运用代数方法、运用几何性质通过对比,认识通法的价值,认识运用几何特征的优势。结合知识的应用，了解坐标法的步骤。“直线、圆的位置关系”教学要求及教学建议四.教学建议

◆认真研究课标和教材，把握好本章教学内容及教学要求。◆贯穿“坐标法”的思想突出解析几何解决问题的“三步曲”和渗透算法思想。

◆关注结论形成过程，通过思考、探究，得出结论。关注学生的动手操作和主动参与。◆关注信息技术的应用，改进教和学的方式◆介绍科技成果，渗透数学文化。◆加强总结，已使知识结构系统化，问题类化和结构化。◆加强变式教学；加强与实际问题、其他学科、其他章节的联系。温馨提示:内容熟悉：

有哪些知识？各起什么作用，之间有何联系？要求有变：

如何把握目标？如何组织教学？侧重注意什么？体现“初步”，分步到位.教学中遇到的问题：1.学生不知道为什么把点的坐标带入圆的方程就可以判断点与圆的位置关系?实际上，这里学生已经忽略了圆的方程的几何意义，两边算数平方根后实际上是两点间距离公式与半径比大小。2.学生过度依赖解直线与圆联立的方程组来判断直线与圆的位置关系而忽略了几何关系。

强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算。在教学中，提倡画图，不要把解析几何变成纯粹的形式推导，例如：过度强化通过解直线与圆联立的方程组来判断直线与圆的位置关系。第一问：有的学生直接点斜式设直线方程，结果算出来无解。有的学生通过画图可以直接看出这条切线无斜率。第三问：不画图易丢掉一条切线方程

强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算。在教学中，提倡画图，不要把解析几何变成纯粹的形式推导，例如：过度强化通过解直线与圆联立的方程组来判断直线与圆的位置关系。第二问：有的学生设直线方程点斜式，