薄板结构声辐射特性分析

薄板结构声辐射特性分析

板结构的声音传播一直是工程噪声研究的重点之一，其辐射机制和辐射规律一直是许多科学家的研究重点。20世纪90年代提出的声辐射模型理论为低低频声辐射在控制结构中的应用提出了新的思路。在这项研究中，许多科学家讨论了板结构的声辐射效率及其结构的主动控制。然而，在这项研究中，仅根据试验结果分析了板结构的声辐射特性，而不是理论上分析具体结论。在本文中，结构的声辐射功率是结构速度分布的函数。主要研究了板结构的声辐射与厚度、光束激发和共振频率之间的关系，并以四边简支板为例，分析了它们之间的关系。1结构离散单元声压与振速关系对于任意结构振动声辐射的声功率为W=∫SΙsdS(1)W=∫SIsdS(1)单频振动的情况下有Ιs=12Re[pΤ(Ρ)v*n(Ρ)](2)Is=12Re[pT(P)v∗n(P)](2)式中,P为平板S上的点,Is为P点的声强,p(P)为P点的声压,vn(P)为P点的法向振速,*代表共轭。ˉΡ=(p1,p2⋯pn)Τ,V=(v1,v2⋯vn)ΤP¯¯¯=(p1,p2⋯pn)T,V=(v1,v2⋯vn)Tp=4∑l=1Ν1p1(3)v=4∑l=1Ν1v1(4)p=∑l=14N1p1(3)v=∑l=14N1v1(4)若将结构离散为ne个单元,采用四节点等参单元,式中Nl为等参单元的插值形函数,pl与vl分别为节点的声压值与法向振速值。将(2)式代入(1)并将结构离散为N个节对于每一个单元,其声辐射功率为Wi=12Re∫Si(pv*)dsi=12ne∑l=1∫SiRe(pΤel)ΝΤΝvel)dSi=12Νe∑l=1∫SiRe(pΤel)ΝΤΝVel)dSi(5)式中,pel与vel表示第i个单元四个节点的声压值与法向振速值。对于位于无限挡板上的平板,可以用Rayleign积分直接得出薄板表面任意点声压与振速之间的关系p(Ρ)=iωρ2π∫Sv(Q)e-ikrrdS(Q)r=|→xp-→xQ|(6)式中,→xp表示P点的坐标。k=ω/c称为波数,ω为角频率,c为波速,i=√-1;ρ为空气介值的密度。由上式得Rep(Ρ)=ωρ2π∫Sv(Q)sinkrrdS(Q)(7)经离散后得Ρ=AV(8)于是对于每一个节点的声压实部值为pi=AiV=(AiV)Τ=VΤAi(9)将(9)式代入(5)式得Wi=12Re(VΤne∑l=1∫Si(AiΝΤΝ)dSiV*el)(10)令:Ζi=4∑l=1∫Si(AiΝΤΝ)dSi则(10)式可以化为Wi=12Re(VΤΖiV*i)(11)于是总的声辐射功率为W=12Ν∑i=1Wi=12Ν∑i=1(VΤΖiVi)=12(VΤΖV)(12)2谐波激励下的动力响应分析对于薄板的振动,其控制微分方程为∇4W+ρhD¨W=FD(13)式中:D=Eh3/12(1-v)为薄板的抗弯刚度,h为薄板的厚度,ρ为薄板的密度,W为薄板振动时的纵向位移。其在谐波激励下的有限元方程为Μ¨X+C˙X+ΚX=Faeiωt(14)设结构在谐波激励下的位移响应为X=Xaeiωt(15)由(15)式可得结构振动的速度与加速度为V=∂X∂t=iωXaeiωt;a=∂2X∂t2=-ω2Xaeiωt(16)将(16)式代入(14)式得(Κ+iωC-ω2Μ)Xa=Fa(17)由(17)式可以求出结构的位移响应Xa=(Κ+iωC-ω2Μ)-1Fa(18)3结构刚度矩阵灵敏度的确定设结构的设计变量为b,由(12)式得结构声辐射的声功率对设计变量的偏导数为∂W∂b=∂VΗ∂bΖV+VΗ∂Ζ∂bV+VΗΖ∂V∂b(19)由于∂VΗ∂b=(∂V∂b)Η,因此只需计算∂Ζ∂b与∂V∂b。由(16)式知∂V∂b=-iω∂Xa∂be-iωt(20)如果设计变量与结构声辐射的阻抗矩阵和结构所受到的力无关,如设计结构的厚度,将速度对设计变量求导,将(20)式两边对设计变量b求导(∂Κ∂b+iω∂C∂b-ω2∂Μ∂b)Xa+(Κ+iωC-ω2Μ)∂Xa∂b=0(21)求得∂Xa∂b=(Κ+iωC-ω2Μ)-1(∂Κ∂b+iω∂C∂b-ω2∂Μ∂b)Xa(22)由此知无阻尼结构声辐射的灵敏度问题转化为结构刚度矩阵与质量矩阵的灵敏度问题。如果设计变量不是薄板的几何形状或激励的频率,则有∂Ζ∂b=0(23)根据阻抗矩阵Z是厄米特型矩阵,则∂W∂b=2⋅VΗΖ∂V∂b(24)4dh26式为了从理论上研究分析薄板结构的厚度及其振动频率对其声辐射的影响,本文以四边简支的薄板为例,对其进行数值仿真。对于四边简支的薄板,根据Levi解,知其振型函数为Φ=Asinmπxasinnπyb(25)模态频率为ωmn=2π(m2a2+n2b2)√Dρh(26)式中:a,b分别为薄板的长与宽,m=1,2…;n=1,2…。如果薄板上受到一集中简谐力,设其外载为F(x,y,t)=Ρδ(x-ζ)δ(y-η)sinωt可求得动力稳态解W(x,y,t)=∞∑m=1∞∑n=14Ρρhabsin(mπζa)sin(nπηb)ω2mn-ω2sin(mπxa)sin(nπyb)sin(ωt)(27)如果薄板上受到一均布简谐力,设其外载为F(x,y,t)=Ρsinωt(28)则动力稳态解为W(x,y,t)=2k+1∑m=12k+1∑n=1:316Ρρhmnπ2sin(mπxa)sin(nπyb)ω2mn-ω2sin(ωt)(k=1,2,3,⋯)(29)于是,求得各节点的速度值为V(x,y,t)=dWdt=ωW(x,y,t)(30)将(30)式代入(12)式,即可求得薄板总的声辐射功率。4.1薄膜受集时声辐射功率与激励频率的关系设薄板I的长为a=1m,宽b=0.7m,四边简支。在点(0.5,0.5)处受到正弦激励力为F=100sinωt(此处ω可变),声速C0=343m/s,空气密度ρ0=1.225kg/m3。钢板的泊松比μ=0.3,厚度h=0.003m,密度ρ=7800kg/m3,杨氏模量E=2.1×1011N/m2。前八阶模态频率如表1所示。设薄板II是正方形的,长为a=1m,宽b=1m,其它的条件与薄板I一样,前八阶模态频率如表2所示。设激励频率变化的规律为:ω=20+0.67N;(N=0,1,2,…160);此处步长取为0.67Hz,是为了避免激励频率与结构的固有频率太接近。在点(0.5,0.5)处受到集中载荷时薄板I的声辐射功率与激励频率的关系如图3所示;薄板I受到集中载荷时声辐射功率与激励频率的变化关系如图4所示。从图3可以看出,当激励频率与结构的固有频率附近时,结构辐射的声辐射功率很大,特别是当激励频率接近81.7Hz时,此时激励频率与结构的第四阶固有频率十分接近,此时声辐射功率超过100dB,由于实际结构一般都有阻尼,因此,实际结构辐射的功率没有这么大。由于薄板是正方形,其第(m,n)与(n,m)阶固有频率相等,实际激起的模态振型有两阶,因此一般说来,在相同条件下,方形结构的声辐射能力较条行结构的声辐射能力强,从图4也可以看出,(1,2)与(2,3)阶对应的声辐射功率较(2,2)阶大。若薄板受到的是均布载荷,设其载荷为F=100sinωt,其它的条件不变,设薄板I的激励频率变化的规律为:ω=20+0.67N;(N=0,1,2,…160);薄板II的激励频率变化的规律为:ω=20+0.77N;(N=0,1,2,…117);此处将步长取为0.67Hz和0.77Hz,是为了避免激励频率与结构的固有频率太接近。则薄板I和薄板II的声辐射功率与激励频率的变化关系如图5和图6所示。从图5和图6可以看出,薄板I和II受均布载荷时,其声辐射只有两个峰值,原因是受到均布载荷时,由(17)式知其只有奇奇项,其它的阶数前的系数都为零,因此其在100Hz以内只有(1,1)阶和(3,3)阶的峰值,辐射的声功率较高,这一点在声辐射控制时需引起注意。4.2板厚单位:mm的变化规律设薄板I的长为a=1m,宽b=0.7m,薄板II的长为a=1m,宽b=1m,薄板I和II其它的条件相同:四边简支。在点(0.5,0.5)处受到正弦激励力为F=100sinωt,声速C0=343m/s,空气密度ρ0=1.225kg/m3。钢板的泊松比μ=0.3,厚度h=0.003m,密度ρ=7800kg/m3,杨氏模量E=2.1×1011N/m2。板厚(单位:mm)的变化规律为:plateh=1+0.5N,(N=0,1,2…99)。图7与图8中虚线表示由于薄板的厚度变化引起的固有频率与激振频率的差值的最小绝对值的变化,若将该差值记为Δω,从图7和图8可以得出以下结论:1.Δω与声辐射功率是减函数的关系,Δω减小,声辐射功率增大。2.声辐射功率随着板厚的增加,其总体趋势是减小的。3.声辐射功率随着板厚并不是单调减小的,在某些特殊的厚度下,声辐射功率随着板厚的增加,其声辐射功率反而增加。4.当板厚增加到一定程度时,由于其第一阶固有频率已经高于100Hz,其声辐射随着板厚的增加而单调减小,且减小的幅度越来越小。5.产生此种现象的原因是由于当薄板的厚度变化时,其中的某一阶固有频率变到与外界的激励频率十分接近,导致结构共振而使声辐射功率增加。图9与图10中虚线的意义与上同,从图9和图10可以看出,薄板在受到均布载荷时声功率的变化规律与受到集中载荷时类似,但由于其只受奇奇阶的影响,因此只有当由于厚度的变化影响其奇奇项固有频率时,其声辐射功率才发生显著变化。但影响更为明显,特别是薄板的形状为方形时,这一点需引起足够的重视。5声辐射能力的变化本文利用有限元与Rayleign积分对薄板结构的声辐射特性进行了研究,并以四边简支的矩形薄板为例,详细研究了激励频率与薄板厚度的变化对其声辐射的影响,数值计算结构表明:激励频率与薄板的厚度变