菲涅耳－基尔霍夫公式

工程光学EngineeringOptics第10章光的衍射屏幕E

a

S光源(b)b

单缝KabS光源(a)屏幕E一单色强光源（激光）发出的光波，通过宽度为

且连续可调的竖直狭缝上，则在狭缝后的屏上将发现：当

足够大时，在屏上看到的是一个均匀照明的光斑，光斑的大小为狭缝的几何投影。这与光的直线传播相一致。

逐渐减狭缝的宽度，屏上亮纹也逐渐减小，当狭缝的宽度小到一定程度，亮纹将沿于狭缝垂直的水平方向扩展弥漫。同时出现明暗相间的衍射图样，中央亮纹强度最大，两侧递减，衍射效应明显，缝宽越窄，对入射光束的波限制越厉害，则衍射图样扩展的越大，衍射效应越显著。

§10.1概论一、衍射现象波的衍射：当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射。索末菲（A.Sommerfeld）的定义：“不能用反射，折射来解释的光线对直线光路的任何偏离。”衍射：是光传播过程中的一个基本现象，对干涉、衍射与偏振等现象的研究，构成了波动光学的核心。在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉，与此相反，光的直线传播行为给人们的印象却很深。这是由于光的波长很短，以及普通光源是不相干的面光源。这两方面的原因使得在通常条件下，光的衍射现象很不显著。在满足一定条件时，（采用高亮度的相干光或强点光源，并保证幕的距离足够大）可演示出衍射现象。衍射不仅使物体的几何阴影失去了清晰的轮廓，而且在边缘附近还出现一系列的明暗相间的条纹。这些现象表明，衍射不简单是偏离直线传播的问题，还与某种复杂的干涉效应有联系从实验上看,衍射现象有如下特点：

1、光束在衍射屏上的什么方位受到限制，则接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展；

2、光孔线度越小，对光束限制越厉害，则衍射图样的扩展越强，即衍射效应越强。

3、光的衍射与光的波长有关。

二、衍射理论光的衍射是光的波动性的主要标志之一，1818年，菲涅尔最早成功地用波动光学原理解释了衍射现象，发展惠更斯原理为惠更斯－菲涅尔原理。1818年，法国巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳取得了优胜，开始了波动说的兴旺时期。目前，实际所用的衍射理论都是一种近似解法。一般将衍射现象分为两类来研究：其一为：1818年菲涅耳衍射：观察屏距衍射屏有限远时的衍射。其二为：1821－1822年，夫琅和费衍射：光源和观察屏距离衍射屏都相当于无限远情况的衍射。三、衍射问题：1.现象*S衍射屏观察屏a

一般a

≯

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衍射屏观察屏L

LS三、衍射问题：光源障碍物观察屏SPDLB*（1）菲涅耳（Fresnel）衍射（2）夫琅禾费（Fraunhofer）衍射L和D中至少有一个是有限值。L和D皆为无限大（也可用透镜实现）。衍射现象中包含了三项基本要素1、由光源S发出的光波。其性质可以用光波的波长、波面形状、复振幅分布等参量定量描述。2、衍射物（屏），导致衍射发生的障碍物为衍射屏,其性质可由屏的复振幅透射系数分布描述。3、观察屏上的“衍射图形”，用电场的复振幅分布描述衍射问题：已知上述两项时，求第三项，中心是建立上三项要素之间的定量关系。§10.2光波的标量衍射理论

§10.2.1惠更斯－菲涅尔原理

一、惠更斯原理：

1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”这里，“波前”可以理解为：光源在某一时刻发出的光波所形成的波面（等相面）。“次级扰动中心可以看成是一个点光源”，又称为“子波源”。二、惠更斯－菲涅耳原理研究衍射现象的理论基础：

波动具有两个基本性质：1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有联系的；2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性的反映，从而对各次波如何叠加问题就不能给出令人满意的回答。1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。二、惠更斯－菲涅耳原理

波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。

s为点波源，∑为从S发出的球面波在某时刻到达的波面，P为波场中的某个点。

由惠更斯—菲涅耳原理知：应该把∑面分割成无穷多的面元d∑，把每个面元d∑看成发射次波的波源，从所有面元发射的次波将在P点相遇。一般说来，由各面元d∑到P点的光程是不同的，从而在P点引起的振动位相不同，P点的总振动就是这些次波在这里相干叠加的结果。以上就是惠更斯－菲涅耳原理的基本思想

P二、惠更斯－菲涅耳原理惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：波前上每一个面元都可看成是新的振动中心，它们发出次波（频率与入射波相同）;在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。是相干叠加→复振幅叠加点光源S在波面∑’上任一点Q产生的复振幅为二、惠更斯－菲涅耳原理式中，A是离点光源单位距离处的振幅，R是波面∑的半径。在Q点处取面元d

，面元发出的子波在P点产生的复振幅与在面元上的复振幅、面元大小和倾斜因子K(θ)成正比。面元d

在P点产生的复振幅可以表示为二、惠更斯－菲涅耳原理K(θ)表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角θ的变化。（θ称为衍射角）C为一常数,r=QP。菲涅耳假设：当时θ=0，倾斜因子K有最大值，随着增加θ↑，K减小，当θ≥π/2时，K=0。对P点产生作用的将是波面∑’中界于zz’范围内的波面∑上的面元发出的子波。二、惠更斯－菲涅耳原理§10.2.2基尔霍夫标量衍射理论

1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳作的各项假设时，只凭朴素的直觉。六十余年后，基尔霍夫（1882年）建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，并对其进行了修正。基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论。§10.2.2基尔霍夫标量衍射理论

1.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理以简谐标量波的波动微分方程出发（此方程在数学上称为“亥姆霍兹”方程）建立了一个公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求得”此即为：亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理§10.2.2基尔霍夫标量衍射理论

此结果称为亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理,其意义在于：把封闭曲面∑内任一点P的电磁场值用曲面上的场值E及表示出来，因而它也可看作惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。事实上，在上式的被积函数中，因子

G

可视为由曲面∑上的Q点向内空间的P点传播的波，波源的强弱由Q点上的E和值确定。因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源，发射出子波，而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的叠加。2.菲涅耳－基尔霍夫公式基尔霍夫假定：(1)在孔径∑上,E和完全取决于入射波性质,不受衍射光栏影响(2)在不透明屏部分，E和均为零假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件2.菲涅耳－基尔霍夫公式2.菲涅耳－基尔霍夫公式2.菲涅耳－基尔霍夫公式表明，子波源的振动位相超前于入射波90度。2.菲涅耳－基尔霍夫公式基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式：若：入射波为垂直入射到孔径的平面波。则

显然：θ=0时，K(θ)=1

θ=π时，K(θ)=0§10.2.3基尔霍夫衍射公式的近似傍轴近似菲涅耳近似夫琅和费近似§10.2.3基尔霍夫衍射公式的近似一、傍轴近似（初步近似）应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作一些近似处理。光源离孔径足够远，入射光可看成垂直入射于无限大不透明屏上孔径∑上的单色平面波§10.2.3基尔霍夫衍射公式的近似一、傍轴近似（初步近似）若衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离小得多，且观察屏上的考察范围也比观察屏到孔径的距离小得多，则有傍轴近似：（1）取则倾斜因子（2）由于上述条件，使孔径范围内的任一点Q,到观察屏上考察点P的距离r变化不大，则可取§10.2.3基尔霍夫衍射公式的近似一、傍轴近似（初步近似）二、菲涅尔近似对于具体的衍射问题，还可作更精确近似：r可近似写为

式中(x1,y1)、(x,y)分别是孔径上任一点Q和观察屏上考察点P的坐标值。对于上式作二项式展开，得：二、菲涅尔近似当z1大到使第三项以后各项对位相k·r的作用远小于π时，第三项以后各项即可忽略。可只取前两项表示r即此为菲涅耳近似。菲涅耳衍射条件二、菲涅尔近似将此r表达式代入傍轴近