应力和位移法计算的半逆解法

应力和位移法计算的半逆解法

单跨超静定梁是工程上常见的超静定梁结构之一。这是通过位移法求解连续梁的基本单元的基本单元。在现有的材料力学教材中，关于超静定梁的计算是基于平面反映的，在研究表明，上述材料的力学分解相对简单，而且在较低的情况下，由于底板，误差很大，无法满足工程要求。本文根据弹性力学分析的基本理论，采用半逆法，计算了固定端杆截面的单带超动定梁在分布荷载的作用下的应力和位移，并说明了材料力学解的准确性和实用性。本文给出的公式和结论可供教育和设计之用。1即应力分量的确定图1所示一端固定一端铰支单跨超静定矩形截面梁(厚度为1,不计体力),受到均布荷载作用(设此问题为平面应力问题),上、下2个边界的正应力边界条件为(σy)y=-h/2=-q,(σy)y=-h/2=0.(1)由此可假设:σy=∂2φ∂x2=f(y)(φ(x,y)为应力函数),所以φ=x22f(y)+xf1(y)+f2(y).将应力函数φ代入相容方程:ᐁ4φ=0,可求得f(y)=A1y3+A2y2+A3y+A4,f1(y)=A5y3+A6y2+A7y,f2(y)=A8y3+A9y2-A110y5-A26y4.故应力函数φ=x22(A1y3+A2y2+A3y+A4)+x(A5y3+A6y2+A7y)+A8y3+A9y2-A110y5-A26y4,其中,函数f1(y)中常数项和f2(y)中的线性项对应力分量没有影响,故未列出.而应力分量σx=∂2φ∂y2=x22(6A1y+2A2)+x(6A5y+2A6)+6A8y+2A9-2A1y3-2A2y2,σy=∂2φ∂x2=A1y3+A2y2+A3y+A4,τxy=-∂2φ∂x∂y=-x(3A1y2+2A2y+A3)-(3A5y2+2A6y+A7).}(2)由上、下2个边界的正应力边界条件(1)和剪应力边界条件(τxy)y=±h/2=0,可求出待定常数A1=-2qh3,A2=0,A3=3q2h,A4=-q2,A6=0及A7=-34h2A5.左边界(x=0)的边界条件可利用圣维南原理∫h/2-h/2(σx)x=0dy=0,∫h/2-h/2(σx)x=0ydy=0,求出:A8=-q10h,A9=0.从而应力分量σx=-6qh3x2y+6A5xy+4qh3y3-3q5hy,σy=-2qh3y3+3q2hy-q2,τxy=τyx=6qh3x(y2-h24)-3A5(y2-h24).}(3)可见,应力分量中还包含一个待定常数A5,该常数可由位移边界条件确定.为此先考虑物理方程εx=1E(σx-μσy),εy=1E(σy-μσx),γxy=2(1+μ)Eτxy.将(3)式及几何方程代入上述物理方程中,得∂u∂x=1E[-6qh3x2y+6A5xy+4qh3y3-3q5hy-μ(-2qh3y3+3q2hy-q2)],(4)∂v∂y=1E[-μ(-6qh3x2y+6A5xy+4qh3y3-3q5hy)-2qh3y3+3q2hy-q2],(5)∂u∂y+∂v∂x=2(1+μ)E(y2-h24)(6qh3x-3A5).(6)由(4)、(5)式可分别求出位移分量u(x,y)(其中含积分函数g1(y))和v(x,y)(其中含积分函数g2(x)),再将所得位移分量u(x,y)和v(x,y)代入(6)式,经整理得A5E[-3(2+μ)y2+3(1+μ)h22]-g′1(y)=1E(-2qh3x3+3A5x2+12q5hx+3qμ2hx)+g′2(x).可见,该式左、右两边应等于同一常数(设此常数为ω),由此可求出积分函数g1(y)和g2(x),则位移分量为u=1E[-2qh3x3y+3A5x2y+4qh3xy3-3q5hxy+2qμh3xy3-3qμ2hxy+qμ2x-A5(2+μ)y3+3A5h2(1+μ)2y]+μ0-ωy,v=1E(-q2h3y4+3q4hy2-q2y+3qμh3x2y2-3A5μxy2-qμh3y4+3qμ10hy2+q2h3x4-A5x3-6q5hx2-3qμ4hx2)+v0+ωx.其中,u0、v0和ω为刚体位移.而梁左边界的位移边界条件是:(v)x=0,y=0=0.梁的右边界是固定端,严格来说,在整个固定端上,各点应都不能移动和转动.但对于多项式解答,这些条件难以完全满足,且工程上梁端完全固定也很难实现.故一般将固定端的位移边界条件近似为边界中点固定不动(该点不能移动,水平线不能转动),即(u)x=L,y=0=0,(v)x=L,y=0=0,(∂v∂x)x=L,y=0=0.由以上4个位移边界条件可求出待定常数A5和3个刚体位移,从而得到一端固定一端铰支单跨超静定梁在均布荷载作用下的应力分量和位移分量为σx=-6qh3x2y+9qL2h3xy-18qhL(15+μ8)xy+qyh(4y2h2-35),σy=-2qh3y3+3q2hy-q2,τxy=τyx=q(y2-h24)[6h3x-9L4h3+9hL(15+μ8)]‚}(7)u=qE{-2h3x3y+9(L4h3-15hL-μ8hL)x2y+4+2μh3xy3-(35h+3μ2h)xy+μ2(x-L)+3(L4h3-15hL-μ8hL)[-(2+μ)y3+3(1+μ)h22y]-(L34h3+3L5h+3μL8h)y},v=qE[-1+2μ2h3y4+(34h+3μ10h)y2-12y+3μh3x2y2-9μ(L4h3-15hL-μ8hL)xy2+12h3x4-(3L4h3-35hL-3μ8hL)x3-(65h+3μ4h)x2+(L34h3+3L5h+3μL8h)x].}(8)2高跨比及拓展的内梁型型加快线由(7)式可见,正应力分量σx公式中的前两项和剪应力分量τxy公式中方括号内的前两项即为材料力学解(主要项),而后面几项则为弹性力学的修正项.在梁跨中(x=L/2)的最大正应力σx(y=±h/2)中,弹性力学的修正项与材料力学解之比为:|δσx|x=L/2,y=±h/2=(2815+3μ)h2L2;而剪应力分量τxy中,弹性力学的修正项与材料力学解之比为:|δτxy|=3/5+3μ/8|2x/L-3/4|h2L2.由(8)式可得梁轴线的挠度为(v)y=0=qE[12h3x4-3L4h3x3+L34h3x-(65+3μ4)x2h+3Lhx(15+μ8)(x2L2+1)].此解的前3项与材料力学解相同,后面几项则为弹性力学得到的修正解.跨中挠度的弹性力学修正解为材料力学解之比为:|δv|x=L/2,y=0=(65+3μ4