第4.2讲指数函数新高一数学宝典（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数第4.2讲指数函数一、学习目标1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，重点发展数学抽象核心素养．2．掌握指数函数的图像与性质，初步学会运用指数函数解决简单问题，重点提升直观想象、数学运算核心素养．3．能利用指数函数的性质解不等式，比较大小，重点提升数学运算核心素养．4．指数函数与函数基本性质的综合应用，重点提升逻辑推理核心素养．二、重点难点1、指数函数概念的应用2、指数函数的图像问题3、指数函数的性质及其应用三、核心知识指数函数的定义某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与x满足的函数关系式是什么？与二次函数y＝x2有什么区别？提示：y与x满足的函数关系式为y＝2x(x∈N*)，y＝2x与y＝x2的区别在于前者的自变量在指数位置上，而y＝x2的自变量在底数位置上．一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1，x是自变量．指数函数的图像与性质1．函数y＝2x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图像及函数y＝3x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的图像有什么关系？提示：函数y＝2x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图像关于y轴对称，y＝3x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的图像也关于y轴对称．2．指数函数图像的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？提示：它们的图像都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数a大于1时图像上升，为增函数；当底数a大于0小于1时图像下降，为减函数．3．指数函数图像过哪些定点？这与底数的大小有关系吗？提示：无论底数a＞1还是0＜a＜1，图像都过定点(0，1)。指数函数的图像与性质图像a＞10＜a＜1性质定义域R，值域(0，＋∞)图像都过点(0，1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数y＝ax与y＝a－x的图像在同一坐标系中关于y轴对称设x1，x2∈R，则f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2)指数函数的性质1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当底数变化时，各函数图像间有怎样的关系？提示：(1)当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快．(2)当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近x轴，递减速度越快．(3)底数互为倒数时，图像关于y轴对称．2．当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候ax0＝bx0?提示：由图像可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0；②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0.综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0.三、核心例题题型1指数函数概念的应用1．若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：C.2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设（且），则，解得，故.故选：D3．函数，且的图象经过点，则（

）A． B． C． D．9【答案】D【详解】由题意可知，，，且，得，所以，.故选：D4．已知函数，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】由得，由得，若，则，解得，舍去；若，则，解得，符合题意；故选：C.5．下列函数中，满足的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.题型2指数函数的图像问题6．函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】指数函数（且）过定点，所以，当时的值恒为2，即过定点，故选：B7．若，则函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为故只有A项正确．故选：A.8．指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，所以根据函数的图象可知，．故选：C．9．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【详解】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.10．函数y=2|x|的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】y=2|x|=，故当时，函数图象同单调递增；当时，函数图象同单调递减，且时，.满足以上条件的只有.故选：B.题型3指数函数的性质及其应用11．已知，那么的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，又，所以.故选：B.12．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是定义域在上的增函数．所以当时，，，所以的值域为．故选：C.13．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于选项A，当时，，易知在区间上单调递增，所以选项A错误；对于选项B，易知的定义域为，关于原点对称，又，故为奇函数，所以选项B错误；对于选项C，易知定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，又当时，在区间上单调递减，所以选项C正确；对于选项D，，易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项D错误.故选：C.14．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A15．已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，是上的增函数，得，解得，即，故选：D.当堂达标一、单选题1．设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，由于函数在R上是增函数，且，所以，即.故选：D.2．如图的曲线是幂函数分别取四个值，与曲线相应的依次为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数为增函数，所以，所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，由图可知，曲线相应n值为.故选：A3．已知函数为偶函数，当时，，则的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，又为偶函数，所以，故选：D4．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D.5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．故选：C.6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.7．已知函数，则（

）A． B．1516 C． D．1517【答案】D【详解】由题意，在中，因为当时，，所以是以为周期的周期函数，故，，所以.故选：D.8．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【详解】的定义域为，，所以是奇函数，由于，所以在上单调递增.故选：A二、多选题9．已知函数，则（

）A．函数的定义域为 B．若函数是奇函数，则C．函数在定义域上是减函数 D．若，则【答案】AB【详解】A：由，所以本选项正确；B：因为是奇函数，所以，所以本选项正确；C：，显然，所以本选项不正确；D：，因此本选项不正确，故选：AB10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】ACD【详解】对于A中，函数，其定义域为，则，即，所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确；对于B中，由，可得，，所以不是偶函数，所以B错误；对于C中，由函数，因为，可得为单调递增函数，则为增函数，所以函数为单调递增函数，所以C正确；对于D中，因为，可得，所以，则，可得，即，所以D正确.故选：ACD.三、填空题11．函数且的图象经过点，则.【答案】【详解】因为函数且的图象经过点，所以，解得，所以.故答案为：12．已知定义域为R的函数是奇函数，则实数.【答案】1【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则，解得，可知，则，即，可知是奇函数，故符合题意，综上所述：.故答案为：1.四、解答题13．已知指数函数（，且）的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【详解】（1）∵指数函数（，且）过点，∴，∴解得，∴函数的解析式为.（2）若，则，∴，由指数函数的单调性知，在上单调递减，∴，解得，∴实数的取值范围是.14．已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值.【详解】因为函数在上单调递减函数，所以最小值，最大值，所以.15．已知函数，且.(1)求a及的值；(2)判断的奇偶性并证明.【详解】（1）由已知可得，，解得，，所以，