5.3卫星变轨问题　多星模型(讲)

第五章万有引力与宇宙航行第3讲卫星变轨问题多星模型一．卫星的变轨和对接问题1.两类变轨情况分析两类变轨离心运动近心运动变轨起因飞行器加速飞行器减速受力特点G＜mG＞m变轨结果变为椭圆轨道或在更高圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在更低圆轨道上运动能量变化机械能增加（高轨动能减小，势能增加）机械能减小（低轨动能增加，势能减小）2.宇宙飞船与空间站的对接问题宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.⑤双星的运动周期T＝2π.⑥双星的总质量m1＋m2＝.2．多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：常见的三星模型①＋＝ma向②×cos30°×2＝ma向常见的四星模型①×cos45°×2＋＝ma向②×cos30°×2＋＝ma向考点一卫星的变轨和对接问题(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3.典例精析变式巩固1.我国的“神舟十三号”载人飞船与“天宫空间站”成功对接，顺利完成任务。假定对接前，“天宫空间站”在如图所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十三号”在图中轨道1上绕地球做匀速圆周运动，两者都在图示平面内逆时针运转。若“神舟十三号”在轨道1上的点瞬间改变其速度的大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2，并在轨道2和轨道3的切点与“天宫空间站”进行对接，下列说法正确的是（）A.“神舟十三号”应在点瞬间加速才能使其运动轨道由1变为2B“神舟十三号”沿椭圆轨道2从点经飞向点过程中，万有引力不做功C.“神舟十三号”沿椭圆轨道2从点经飞向点过程机械能守恒D.“天宫空间站”在轨道3上经过点时的速度与“神舟十三号”在轨道2上经过点时的速度大小相等【答案】AC【解析】【详解】A．“神舟十三号”要在P点从轨道1变为轨道2，轨道半径变大，它要做离心运动，“神舟十三号”应在P点瞬间加速才能使其轨道由1变为2，A正确；B．“神舟十三号”沿椭圆轨道2从点经飞向点过程中，其所受的万有引力与瞬时速度的夹角为钝角，万有引力做负功，B错误；C．“神舟十三号”沿椭圆轨道2从点经飞向点过程，只有万有引力做功，其机械能守恒，C正确；D．卫星要由轨道2变轨到轨道3，必须在点加速，所以“天宫空间站”在轨道3上经过点时的速度比“神舟十三号”在轨道2上经过点时的速度大，D错误；故选AC。2.2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。关于探测器，下列说法正确的是（）A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速B.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期C.在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度【答案】A【解析】【详解】A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，由高轨道进入低轨道需要点火减速，A正确；B．根据开普勒第三定律因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；C．根据v＝可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；D．根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误。故选A。3.2020年人类面临前所未有的巨大挑战，在超难模式下，中国航天不断创造奇迹。其中嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后于2020年12月17日成功返回，最终收获1731克样本。图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是（）A.在轨道Ⅱ上运行时的周期小于轨道Ⅰ上运行时的周期B.在轨道Ⅰ运行时的加速度大小始终大于轨道Ⅱ上时的加速度大小C.N点时嫦娥五号经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回D.在地月转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间【答案】C【解析】【分析】【详解】A．轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；B．在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N受到的万有引力相同，所以在两个轨道上N点的加速度相等，故B错误；C．从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回，故C正确；D．在地月转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误。故选C。4.2018年1月12日，我国成功发射北斗三号组网卫星．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r的圆轨道上做圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为2r的圆轨道．已知卫星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(忽略卫星的质量变化)（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由可知，卫星在轨道半径为r的圆轨道上运动的线速度大小，在半径为2r的圆轨道上做圆周运动的线速度大小为，设卫星在椭圆轨道上B点的速度为，由，可知在A点时发动机对卫星做功，在B点时发动机对卫星做的功为，因此，B正确，ACD错误．故选：B．5.2021年6月17日，“神舟十二号”飞船与“天和核心舱”在太空中自主交会对接成功（如图），航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入“天和核心舱”，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天和核心舱”与“神舟十二号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现“神舟十二号”飞船与“天和核心舱”的对接，下列措施可行的是（）A.使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接B.使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接C.飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接【答案】C【解析】【详解】A．若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，故A错误；B．若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速，所需向心力变小，则“天和核心舱”将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，故B错误；C．要想实现对接，可使飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的“天和核心舱”轨道，逐渐靠近“天和核心舱”后，两者速度接近时实现对接，故C正确；D．若飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，故D错误。故选C。6.如图所示，北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交汇对接，整个交汇对接过程历时约小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置（距空间站）。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是（）A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可C.飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可【答案】D【解析】【详解】根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，所以ABC错误；D正确；故选D。题型二双星或多星模型1．双星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.双星的总质量m1＋m2＝.2．多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．典例精析变式巩固7.如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知万有引力常量为G，则（）A.恒星A、B运动的周期为T B.恒星A质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为 D.恒星A线速度大于B的线速度【答案】C【解析】【详解】A．每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为故A错误；B．根据万有引力等于向心力因为则故B错误；C．由B选项得，两恒星总质量为故C正确；D．根据两恒星角速度相等，则故D错误。故选C。8.2021年5月，基于“中国天眼”球面射电望远镜的观测，首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。如图，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA<RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万有引力常量为，以下说法正确的是（）A.若知道卫星C的轨道半径，则可求出卫星C的质量B.恒星A的质量大于恒星B的质量C.恒星A的质量为D.A、B、C三星由图示位置到再次共线所需时间为【答案】B【解析】【详解】A．在B，C的系统中，对于C万有引力提供向心力可得所以无法求出C的质量，A错误；B．A、B双星系统，A、B间引力提供A、B做圆周运动向心力，故A、B的向心力相等，且周期相等，所以有RA<RB，所以，B正确；C．A、B双星系统，所以，对于B星，万有引力提供向心力求得C错误；D．A星转过的圆心角等于B星转过的圆心角，因此当A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A星转过的圆心角与C星转过的圆心角之和，即求得D错误。故选B。9.2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（）A.两者之间的万有引力变大. B.黑洞的角速度变大.C.恒星的线速度变大. D.黑洞的线速度变大.【答案】AC【解析】【分析】【详解】A．假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且，两者之间的距离为L，则根据万有引力定律恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m的乘积变大，它们的万有引力变大，故A正确；B．双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力其中解得恒星的角速度双星的质量之和不变，则角速度不变，故B错误；CD．根据得因为M减小，m增大，所以R增大，r减小由可得变大，变小，故C正确，D错误。故选AC。10.如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（）A.星体匀速圆周运动圆心不一定是正方形的中心B.每个星体匀速圆周运动的角速度均为C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变【答案】BD【解析】【分析】【详解】A．四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；B．由牛顿第二定律可得可得故B正确；C．由牛顿第二定律可得则可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；D．根据牛顿第二定律可得则可得，星体匀速圆周运动的线速度大小为则若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。11.如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略，设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速四周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是（）A.每颗星体向心力大小为B.每颗星体运行的周期均为C.若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍D.若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的【答案】BC【解析】【详解】A.任意两颗星体的万有引力有每个星体受到其它两个星体的引力的合力为A错误；B．由牛顿第二定律可得其中解得每颗星体运行的周期均为B正确；C．若不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度则星体的角速度变为原来的倍，C正确；D．若不变，星体间的距离变为，则星体的周期为星体的线速度大小为则星体的线速度变为原来的，D错误；故选BC。题型三星球“瓦解”问题黑洞1．星球的瓦解问题当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．2．黑洞黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．典例精析变式巩固12.2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即，天体的密度公式，结合这两个公式求解．设脉冲星值量为M，密度为根据天体运动规律知：代入可得：，故C正确；故选C点睛：根据万有引力提供向心力并结合密度公式求解即可．13.经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有G＝m得太阳的第一宇宙速度为v＝由题意可知，第二宇宙速度大于等于光速，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，得c≤v又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·πR3联立解得ρR2≥故选B。14.科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为第一宇宙速度的倍)达到光速时，该天体就会成为黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球卫星的环绕速度（第一宇宙速度）为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】设地球质量为M，对地球的第一宇宙速度有设该天体成为黑洞时半径为r，则该天体的第一宇宙速度则有设该天体要成为黑洞应满足=c联立解得ACD错误，B正确。故选B。牛顿第一定律典例精析变式巩固15.2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道变轨到过程，根据动能定理有依题意可得引力做功万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有求得空间站在轨道上运动的动能为动能的变化解得故选A。（2018·全国）16.2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度【答案】BC【解析】【详解】AB．双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期），由万有引力等于向心力，可得，r1+r2=r=400km联立解得选项B正确A错误；C．由可得选项C正确；D．不能得出各自自转的角速度，选项D错误。【点睛】此题以最新科学发现为情景，考查天体运动、万有引力定律等。（2021·天津高考）17.2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（）A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大【答案】D【解析】【分析】【详解】A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误；B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；C．天问一号