专题2.14相似三角形的性质与判定综合问题大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（原卷版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.14相似三角形的性质与判定综合问题大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'2．（2022·江苏扬州·一模）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．(1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____；(2)在点P、Q的运动过程中，①若S＝458，求AP②求S的最大值．3．（2021·江苏·海安市南莫中学九年级期中）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE'F'，连接CE'，BF'，求证：（3）若在（2）的旋转过程中CE'∥AB，则相应的旋转角α=4．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、AC上，并根据你的作法证明你的结论；（2）若∠C=90°，AB=8，BP=4，求（1）中所作菱形AMPN的面积．5．（2021·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，AEEC=12，求证：（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得AEEC（3）若F为AD的中点，设BDBC=m，AEAC6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？7．（2020·江苏连云港·九年级学业考试）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．（1）求证：ΔACE∽ΔBFC；（2）试探究AF、BE、EF之间有何数量关系？说明理由．8．（2019·江苏苏州·九年级期中）如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面积．9．（2019·江苏南京·九年级期末）（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝时，△APB∽△ABC；（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）10．（2019·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，连接CC′交AD于点F，BC′与AD交于点E．（1）求证：△BAE≌△DC′E；（2）写出AE与EF之间的数量关系，并说明理由；（3）若CD＝2DF＝4，求矩形ABCD的面积．11．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A（1）用含t的代数式表示：AP=________，（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少.12．（2022·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究．请你和他一起解决以下几个问题：问题6如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2(1)几秒钟后点P、Q的距离为42(2)几秒钟后∠DQP为直角？请说明理由；(3)当BP=BQ时，Rt△PBQ内有一个动点M，连接PM、QM、BM．若∠BQM=∠MBP，线段PM的最小值为_________13．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，14．（2022·江苏无锡·九年级期中）在直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是4,2，M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O'(1)①若N与C重合，M是OA的中点，则O'的坐标是___________②MN∥AC，若翻折后O'在AC(2)已知M坐标是3,0，若△MNO'的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标15．（2022·江苏无锡·九年级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y(1)求证：AE=2PE；(2)y关于x的函数解析式___________；(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．16．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学九年级期中）如图1，在直角△ABC中∠C=90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC=2，BC=4．(1)求证：DE∥(2)如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α0°<α<90°，连接AD,BE①求ADBE②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．17．（2022·江苏·苏州市吴江区松陵第一中学九年级阶段练习）如图，在ΔABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P(1)当t=1时，求证：ΔAPD≌(2)当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．18．（2022·江苏·射阳外国语学校九年级阶段练习）从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图②，在△ABC中，AC=3，BC=3，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD19．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH20．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交DC于点G，交AB于点H，连接AF，CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若DEAD=12，ΔDGE(3)如果OF=2GO，求证：GO21．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AC=4,AE=8，求BF的长．22．（2022·江苏·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，设AB=a,AD=b且a＞(1)若a,b为方程x2-kx+k+4=0的两根，且a,b满足a2+(2)在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C,D两点），P在什么位置时，△APB为直角三角形？(3)P为CD上一动点（异于C,D两点），当a,b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？23．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-14x(1)求证：∠ACB=90°；(2)点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+2②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与24．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学九年级期中）如图，在⊙O中，AB为直径，CD与AB交于点E，CD=CB，过O点作OF∥CD，交BC于点F．(1)求证：CO平分∠DCB；(2)若⊙O的半径为6，CF=4，求EC的长；(3)设OBCF=k，△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，△BOF的面积为S325．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．(1)当AE⊥BC，①求证：AE=AF；②连结BD，EF，若EFBD(2)当∠EAF=12∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB=326．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点（点F与点B，点C不重合），线段DE和AF:相交于点P，连接PC．(1)若在线段DP上取一点Q，使得DP=2EQ，连接AQ，猜想PC与AQ的关系并证明；(2)若AF⊥DE时，AB=8,AD=10，求BF的长；(3)当点F为BC的中点时，求APPF27．（2022·江苏·沭阳梦溪中学九年级阶段练习）如图，⊙M经过O点，并且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，线段OA，OB(OA>OB)的长是方程(1)求线段OA、(2)已知点C在⊙M的劣弧OA上，MC⊥OA，垂足为点N，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，连结BC交OA于D点，在⊙M上是否存在一点P，使ΔPOD的面积和ΔABD的面积相等？若存在，求出点(4)若C在优弧OA上，作直线BC交x轴于点D．是否存在ΔCOB~ΔCDO28．（2022·江苏·江阴市徐霞客中学九年级阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=4,AD=m．动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E．设点P的运动时间为t（s）．(1)若m=6，求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值．(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3．求所有这样的m的取值范围．29．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．(1)【思路说明】已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．试说明：BDCD=ABAC．理由：过点C作CE∥AD，交BA延长线于点E，易得BDCD=______，由CE∥AD，AD平分∠BAC(2)【直接应用】如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD=10,CD=6，在不添加辅助线的情况下直接写出(3)如图3，若四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF、AF分别交AB,BC于M、H两点，当FH=BH时．①求BH的长；②直接写出AMBM=(4)【拓展延伸】如图4，若四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC=60°，当点E为CD边的三等分点时，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF与BC所在直线交于点P、与AD所在直线交于点Q，请直接写