单对数阶幻方构造

单对数阶幻方构造

在幻灯片结构法的研究中，关于数值阶乘方和双偶数阶乘方的构造方法已经取得了许多成果。人们很难找到单号偶偶方的任何一种有效的结构方法。1918年，在前人的不懈努力下，数学家railhstrachay发明了一种结构单径虚拟方的方法，康韦发明了一种lux法。这些方法是由n.2m和1阶混淆方制成的。2（m，1）（m，m，1）（m，自然数）。通过这两个步骤，可以建造出数值场、完美场、对称场和对称场的新方法。1k为个数时的kt笫一步按如下方式构造n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶代码方阵A设该方阵位于第h行第k列的元素为a(h,k)(h=1,2,…,n;k=1,2,…,n)则1)h=2t+1,当t=0,1,…,m+1时,对1≤k≤2×(2m+1),取a(h,k)=1,当k为奇数时;a(h,k)=2,当k为偶数时.当t=m+2,…,2m时,对1≤k≤2(2m+1),取a(h,k)=2,当k为奇数时;a(h,k)=1,当k为偶数时.2)h=2t,t=1,…,m,对1≤k≤2(2m+1),若k=h-1,取a(h,k)=0;若k=h,取a(h,k)=3.若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=3,当k为奇数时;a(h,k)=0,当k为偶数时.3)h=2t,t=m+1,对1≤k≤2m,取a(h,k)=3,当k为奇数时;a(h,k)=0,当k为偶数时.对2m+1≤k≤4m+2,a(h,k)=0,当k为奇数时;a(h,k)=3,当k为偶数时.4)h=2t,t=m+2,对1≤k≤2m-2或2m+1≤k≤2m+4,取a(h,k)=3,当k为奇数时;a(h,k)=0.当k为偶数时.对2m-1≤k≤2m或2m+5≤k≤4m+2,取a(h,k)=0,当k为奇数时;a(h,k)=3,当k为偶数时.5)h=2t,t=m+3,对2m-1≤k≤2m或2m+5≤k≤2m+6,a(h,k)=3,当k为奇数时;a(h,k)=0,当k为偶数时.对1≤k≤2m-2或2m+1≤k≤2m+4或2m+7≤k≤4m+2,取a(h,k)=0,当k为奇数时;a(h,k)=3,当k为偶数时.6)h=2t,t=m+4,…,2m+1,对1≤k≤4m+2,若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=0,当k为奇数时;a(h,k)=3,当k为偶数时.若k=h-1,取a(h,k)=3;若k=h,取a(h,k)=0.注意,当m=2时,(6)是不存在的.这里,取一个已知的或直接(比如按文~的方法)构造一个奇数n=2m+1(m=2,3,…为自然数)阶幻方B.我们将在引理中证明,如此得到的方阵是一个由代码0,1,2,3组成的幻方常数为3(2m+1)的n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方.笫二步依次以0,1×(2m+1)2,2×(2m+1)2,3×(2m+1)2取代代码0,1,2,3得到一个幻方常数为3×(2m+1)3的单偶数n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方C,我们称之为根式幻方.第三步把幻方B中的每一个数字以一个2×2的由同一个数字构成的方阵代替之,得幻方常数为(2m+1)((2m+1)2+1)的单偶数阶n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)幻方D(这是不言自明的),我们称之增广幻方.第四步根式幻方与增广幻方迭加所得的就是由1至4(2m+1)2的自然数组成的n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶正规幻方,记为E.以上构造单偶数阶幻方的步骤称为四步法.2ak为个数时,k引理四步法的第一步中n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶代码方阵A是一个幻方.证明由方阵A的定义,显然其每行的和都等于3(2m+1).以下求笫k(k=1,2,…,4m+2)列代码之和:1)h=2t+1,t=0,1,…,m+1时,对1≤k≤2(2m+1),当k为奇数时,a(h,k)=1,所以,;当k为偶数时,a(h,k)=2,所以,当k为偶数时,2)h=2t,t=1,…,m时,对1≤k≤2(2m+1).若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=3,当k为奇数时;a(h,k)=0,当k为偶数时.若k=h-1,取a(h,k)=0;若k=h,取a(h,k)=3.3)h=2t,t=m+4,…,2m+1,对1≤k≤4m+2,若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=0;当k为奇数时;a(h,k)=3,当k为偶数时.若k=h-1,取a(h,k)=3;若k=h,取a(h,k)=0.所以,若1≤k≤2(m+3),当k为奇数时,当k为偶数时,若2m+7≤k≤4m+2,当为奇数时,当k为偶数时,由第一步的3)、4)、5),当1≤k≤2m-2且k为奇数时,笫k列位于偶数行上代码之和为由以上1),当1≤k≤2m-2且k为奇数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当1≤k≤2m-2且k为奇数时,笫k列上代码之和为当1≤k≤2m-2且k为偶数时,笫k列位于偶数行上代码之和为当1≤k≤2m-2且k为偶数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当1≤k≤2m-2且k为偶数时,笫k列上代码之和为笫k=2m-1列位于偶数行上代码之和为位于奇数行上代码之和为所以,笫k=2m-1列上代码之和为笫k=2m列位于偶数行上代码之和为笫k=2m列位于奇数行上代码之和为所以,笫k=2m列上代码之和为当2m+1≤k≤2m+4且k为奇数时,笫k列位于偶数行上代码之和为+3.所以,由以上1),当2m+1≤k≤2m+4且k为奇数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当2m+1≤k≤2m+4且k为奇数时,笫k列上代码之和为当2m+1≤k≤2m+4且k为偶数时,笫k列位于偶数行上代码之和为当2m+1≤k≤2m+4且k为偶数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当2m+1≤k≤2m+4且k为偶数时,笫k列上代码之和为笫k=2m+5列位于偶数行上代码之和为所以,笫k=2m+5列上代码之和为笫k=2m+6列位于偶数行上代码之和为位于奇数行上代码之和为所以,笫k=2m+6列上代码之和为当2m+7≤k≤4m+2且k为奇数时,笫k列位于偶数行上代码之和为由以上1),当2m+7≤k≤4m+2且k为奇数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当2m+7≤k≤4m+2且k为奇数时,笫k列上代码之和为当2m+7≤k≤4m+2且k为偶数时,笫k列位于偶数行上代码之和为由以上1),当2m+7≤k≤4m+2且k为偶数时,笫k列位于奇数行上代码之和为所以,当2m+7≤k≤4m+2且k为偶数时,笫k列上代码之和为至此已证得代码方阵A各行各列代码之和都等于3(2m+1).现在考察对角线上的情形,从左上角至右下角对角线位于偶数行上代码之和为位于奇数行上代码之和为所以,从左上角至右下角对角线上代码之和为从右上角至左下角对角线位于偶数行上代码之和为位于奇数行上代码之和为所以,从右上角至左下角对角线上代码之和为综上所述代码方阵A是一个幻方,其幻方常数为3(2m+1).3算法2.2.自然数法定理四步法所得方阵E是一个由1至4(2m+1)2的自然数组成的n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶正规的幻方.证明由引理知,四步法笫一步所得代码方阵A是一个单偶数n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方,其幻方常数为3(2m+1).由此显然笫二步所得根式方阵C是一个单偶数n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方,其幻方常数为3(2m+1)3.显然笫三步所得增广方阵D是一个单偶数n=2×(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方,其幻方常数为(2m+1)((2m+1)2+1).显然笫四步所得方阵E是一个单偶数n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方,其幻方常数为剩下要证明的是幻方E是一个正规幻方.由根式幻方C与增广幻方D迭加过程知,奇数n=2(2m+1)(m=2,3,…为自然数)阶幻方B的每一个元素都分别与0,(2m+1)2,2(2m+1)2,3(2m+1)2相加,而幻方B是由1~(2m+1)2的自然数所组成,所以,幻方E是由1~(2m+1)2,(2m+1)2+1~2(2m+1)2,2(2m+1)2+1~3(2m+1)2,3(2m+1)2+1~4(2m+1)2的自然数所组成,即由1~(2(2m+1))2的自然数所组成,所以幻方E是一个正规幻方.第一步按四步法求得的由代码0,1,2,3组成的幻方常数为3×9=27的18阶代码幻方A(见图1).由两步法构造一个9阶幻方B(见图2);第二步依次以0,92=81,2×81=162,3×81=243代替代码0,1,2,3得到一个幻方常数为2187的18阶根式幻方C(见图3).第三步把上述9阶幻方B中的每一个数字以一个2×2的由同一个数字构成的方阵代替之,得幻方常数为2×369=738的18阶增广幻方D(见图4).例用四步法构造一个18阶幻方:第四步根式幻方C与增广幻方D迭加得由1~324组成的18阶正规幻方E(见图5).每一个9阶幻方由四步法可得出一个18阶幻方,如所取的9阶幻方是由两步