固体物理经典复习题及答案

一、简答题1.理想晶体答：内在结构完全规那么的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。2.晶体的解理性答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。3.配位数答:晶体中和某一粒子最近邻的原子数。4.致密度答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。5.空间点阵(布喇菲点阵)答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规那么地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量中取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。6.基元答：组成晶体的最小根本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。7.格点(结点)答:空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。8.固体物理学原胞答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。9.结晶学原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n，其中n是结晶学原胞所包含的结点数,是固体物理学原胞的体积。10.布喇菲原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n,其中n是结晶学原胞所包含的结点数,是固体物理学原胞的体积11.维格纳-赛兹原胞(W-S原胞)答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线)将空间划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。12.简单晶格答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子。13.复式格子答：当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由假设干相同结构的子晶格相互位移套构而成。14.晶面指数答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢，末端分别落在离原点距离为的晶面上，为整数，d为晶面间距，可以证明必是互质的整数，称3为晶面指数，记为。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。15.倒格子(倒易点阵)答：设布喇菲格子(点阵)的基矢为，由决定的格子(点阵)称为正格子。满足下述关系的称为倒格子(易点阵)基矢。由,(其中为任意整数)决定的格子称为倒格子(倒易点阵)。16.布里渊区答：在倒格空间中，选取一倒格点为原点，原点与其它倒格点连线的垂直平分面的连线所组成的区域称为布里渊区。17.n度旋转对称轴答：假设晶体绕某一固定轴转角度后自身重合，那么此轴称为n度旋转对称轴。18.4度旋转对称轴答：假设晶体绕某一固定轴转900角度后自身重合，那么此轴称为4度旋转对称轴。19.6度旋转对称轴答：假设晶体绕某一固定轴转600角度后自身重合，那么此轴称为6度旋转对称轴。20.3度旋转－反演轴答：假设晶体绕某一固定轴转角度后，再经过中心反演，晶体能自身重合，那么此轴称为3度旋转－反演轴。21.2度旋转－反演轴答：假设晶体绕某一固定轴转角度后，再经过中心反演，晶体能自身重合，那么此轴称为3度旋转－反演轴。22.n度螺旋轴答：一个n度螺旋轴表示绕轴每转角度后，在沿该轴的方向平移的L倍，那么晶体中的原子和相同的原子重合〔L为小于n的整数为沿轴方向上的周期矢量〕，那么此轴称为n度螺旋轴。23.晶体的对称性答：晶体经过某种对称操作能够自身重合的特性。24.原子散射因子答：原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比。25.几何结构因子答：原胞内所有原子的散射波,在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。二、简答题〔59道题〕1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。答：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，称为长程有序；非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序；准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体那么是由许多取向不同的单晶体颗粒无规那么堆积而成的。2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？答：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构。3.简述晶体的特征。答：1〕长程有序与周期性2〕自限性3〕各向异性4.什么是空间点阵?它与晶体结构有什么不同?它能确定一个晶体结构的什么特性而忽略了晶体结构的什么特性?答：1)晶体的内部结构可以概括为由一些相同的点子在空间有规律地做周期性无限分布，这些点子的总体称为空间点阵。2)晶体结构中的点是与原子、分子或其基团相对应的，空间点阵的点那么是和晶体中一族晶面相对应的；晶体结构中的点是位于位置空间或坐标空间内的，其线度量纲为［长度］，而空间点阵中的点是在倒格空间和傅里叶空间内的，其线度量纲为。3)空间点阵反映了晶体结构的周期性，忽略了晶体结构的具体内容。5.六角密积结构是复式格子还是简单格子，平均每个原胞包含几个原子，属于哪种晶系?答：六角密积结构是复式格子，平均每个原胞包含2个原子，属于六角晶系。6.试解释“基元+点阵=晶格结构〞的公式{要求说明：1)什么是布喇菲点阵？2)什么是基元？3)点阵和结构间的区别和联系}。答：理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成，这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团，将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，这就是“基元＋点阵＝晶体结构〞的含义，布喇菲点阵是一个抽象的几何点的周期列阵，而晶体结构那么是一个物理实体，当基元以相同的方式放置在布喇菲点阵的阵点上时，才得到晶体结构。7.在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的?答：在结晶学中,晶胞选取的原那么是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。8.什么是布喇菲点阵？按顺序写出晶体Si、Cu、CsCL、NaCL和ZnS的布喇菲原胞名称。答：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的格点规那么地做周期性无限重复排列，喇菲点阵是平移操作所联系的诸点的列阵,喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。Si：面心立方；Cu：面心立方；CsCL：体心立方；NaCL：面心立方；ZnS：面心立方。9.如下图的点阵是布喇菲点阵〔格子〕吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“面心＋体心〞立方不是布喇菲格子。从“面心＋体心〞立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。10.如下图的点阵是布喇菲点阵〔格子〕吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“边心〞立方不是布喇菲格子。从“边心〞立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心〞立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。11.如下图的点阵是布喇菲点阵〔格子〕吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答:“边心+体心〞立方不是布喇菲格子。从“边心+体心〞立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。12.如下图的点阵是布喇菲点阵〔格子〕吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“面心四方〞从“面心四方〞任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方〞任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方〞格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。13.基矢为,,的晶体为何种结构?为什么?答：有条件,可计算出晶体的原胞的体积.由原胞的体积推断,晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量,,.满足选作基矢的充分条件.可见基矢为,,的晶体为体心立方结构。14.金刚石晶体的基元含有几？其晶胞含有几个碳原子？原胞中有几个碳原子？是复式格子还是简单格子？答：金刚石晶体的基元含有2个原子，晶胞含有8碳原子，原胞中有2原子,复式格子.15.写出金属mg和GaAs晶体的结构类型。答：六角密堆，金刚石。16.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。答：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na和一个Cl-组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：相应的晶胞基矢都为：17.假设在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。答：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：18.底心立方〔立方顶角与上、下底心处有原子〕、侧心立方〔立方顶角与四个侧面的中心处有原子〕与边心立方〔立方顶角与十二条棱的中点有原子〕各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？答：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：底心立方：侧心立方：边心立方:19.试述晶胞与原胞的区别是什么?答：原胞是体积的最小重复单元，它反映的是晶格的周期性，原胞的选取不是唯一的，但是它们的体积都是相等的。结点在原胞的顶角上。为了同时反映晶体的对称性，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅可以在顶角上，还可以在体心或者面心上，这种重复单元称为晶胞。20.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.答：设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,晶胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子,一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含四个原子,一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为.因此,同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为=0.272.21.晶面指数表示的意义是什么?答：1)基矢被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3等份；2)以为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。22.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面.23.与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?答：正格子与倒格子互为倒格子.正格子晶面(h1h2h3)与倒格式h1+h2+h3垂直,那么倒格晶面(l1l2l3)与正格矢h1+hl2+h3正交.即晶列[h1h2h3]与倒格面(l1l2l3)垂直。24.体心立方元素晶体,[111]方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大?答：结晶学的晶胞,其基矢为,只考虑由格矢h+k+l构成的格点.因此,体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为,但实际周期为/2。25.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比,对于同级衍射,哪一晶面族衍射光弱?为什么?答：对于同级衍射,高指数的晶面族衍射光弱,低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面族面间距大,晶面上的原子密度大,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强.相反,高指数的晶面族面间距小,晶面上的原子密度小,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱.另外,由布拉格反射公式，可知,面间距大的晶面,对应一个小的光的掠射角.面间距小的晶面,对应一个大的光的掠射角.越大,光的透射能力就越强,反射能力就越弱。26.晶面指数为〔123〕的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？假设ABC面的指数为〔234〕，情况又如何？答：晶面族〔123〕截、和分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于的长度，OB的长度等于的长度的1/2，OC的长度等于的长度的1/3，所以只有A点是格点.假设ABC面的指数为(234)的晶面族,那么A、B和C都不是格点.27.验证晶面〔〕，〔〕和〔012〕是否属于同一晶带.假设是同一晶带,其带轴方向的晶列指数是什么?答：假设〔〕，〔〕和〔012〕属于同一晶带,那么由它们构成的行列式的值必定为0.可以验证=0,说明(〕，〔〕和〔012〕属于同一晶带.晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向。带轴方向晶列[l1l2l3]的取值为l1= =1,l2==2,l3==1。28.带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？答：带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的轴或原胞坐标系的轴，各晶面的面指数形为〔hk0〕或〔h1h20〕,即第三个数字一定为0。29.与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?答：正格子与倒格子互为倒格子.正格子晶面(h1h2h3)与倒格式h1+h2+h3垂直,那么倒格晶面(l1l2l3)与正格矢l1+l2+l3正交.即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3)垂直.30.体心立方元素晶体,[111]方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大?答：结晶学的晶胞,其基矢为,只考虑由格矢h+k+l构成的格点.因此,体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为,但实际周期为/2。31.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内?答：周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内.假设以密堆积模型,那么原子面密度最大的晶面就是密排面.由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族,最小的晶列周期为.根据同族晶面族的性质,周期最小的晶列处于{111}面内。32.面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向，面密度最大的是哪个晶面？答：面心立方线密度最大的方向是、、，体心立方线密度最大的方向是、、；面心立方面密度最大的晶面是，体心立方面密度最大的晶面是。33.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？答：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间〔波矢K空间〕，在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为，根据倒格子基矢的定义：式中Ω是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格和相应的倒格矢有一一对应的关系。34.分别指出简单立方体心立方面心立方倒易点阵类型答：简单立方面心立方体心立方35.简述倒格矢与正格矢的关系。答：1〕倒格矢与正格矢互为倒格矢；2〕倒格原胞与正格原胞的体积比等于；3〕倒格矢与正格子晶面族正交；4〕倒格矢的模与晶面族的面间距成反比。(1)两种点阵基矢间满足以下关系：(2)两种点阵位矢的点积是的整数倍；(3)除因子外，正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数；(4)倒格矢与正格子中晶面族正交，且其长度为。36.倒格点阵与正格点阵间的关系有哪些?答：1〕倒格矢与正格矢互为倒格矢2〕倒格原胞与正格原胞的体积比等于〔2π〕33〕倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族〔h1h2h3〕正交。4〕倒格矢Kh的模与晶面族〔h1h2h3〕的面间距成反比37.一个物体或体系的对称性上下如何判断？有何物理意义？一个正八面体有哪些对称操作？答：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，那么其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，那么其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个那么垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。38.晶体宏观对称性的根本对称操作有哪些？〔5分〕答：有1、2、3、4和5次旋转对称轴及4次旋转反演轴，中心反演操作i，镜面操作m。39.给出晶体可以独立存在的8种对称元素的名称和符号。答：8种对称元素为：(1)1次旋转对称轴，符号为1〔〕；(2)2次旋转对称轴，符号为2〔〕；(3)3次旋转对称轴，符号为3〔〕；(4)4次旋转对称轴，符号为4〔〕；(5)6次旋转对称轴，符号为6〔〕；(6)1次旋转－反演轴，符号为〔〕；(7)2次旋转－反演轴，符号为〔m〕；(8)4次旋转－反演轴，符号为〔〕。40.按对称类型分类，布喇菲格子的种类有几种，晶格结构的点群类型有几种，空间群有几种？答：按对称类型分，有14种布喇菲格子，晶格结构的点群有32种，空间群有230种。41.三维晶格包括哪七大晶系？并写出各晶系包含的布喇菲格子。答：七大晶系分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四角晶系、六角晶系和正方晶系。三斜晶系只包含简单三斜；单斜晶系包含简单单斜和底心单斜；正交晶系包含简单正交、底心正交、体心正交和面心正交；三角晶系只包含三角格子；四角晶系包含简单四角和体心四角；六角晶系只包含六角格子；立方晶系包含简单立方、体心立方和面心立方。42.设有AB型化合物，在某一温度范围内，具有CsCL结构；在另一温度范围内，处于中心位置的B原子沿[001]方向发生小的位移；在第三温度范围内，B原子那么由中心沿[111]方向发生小的位移。试说明三种温度范围内，该化合物的结构属于什么晶系，并扼要说明理由。答：当具有CsCL结构时，属于立方晶系，因为a=b=c，；假设体心的B原子沿[001]方向有一微小位移，使晶体轴拉长，那么此时晶体属于四角晶系，因为，；假设体心B原子沿[111]方向发生一微小位移，即沿立方对角线发生位移，此时晶体属于三角晶系，因为a=b=c，。43.二维晶格包括哪几种晶系？并分别写出各晶系包含的布喇菲格子。答：二维晶格包含四种晶系，分别为斜方晶系、长方晶系、正方晶系和六角晶系。斜方晶系只包含简单斜方；长方晶系包含简单长方和中心长方；正方晶系只包含简单正方；六角晶系只包含简单六角。44.为什么正交晶系有简单正交、底心正交、体心正交和面心正交四种格子，而四方晶系只有简单四方和体心四方没有底心四方和面心四方格子？答:因为在四方晶系中底心四方和面心四方不是最简单的四方格子。底心四方可化为更简单的简单四方格子，而面心四方可化为更为简单的体心四方格子。45.温度升高时,衍射角如何变化?X光波长变化时,衍射角如何变化?答：温度升高时,由于热膨胀,面间距逐渐变大.由布拉格反射公式可知,对应同一级衍射,当X光波长不变时,面间距逐渐变大,衍射角逐渐变小.所以温度升高,衍射角变小。当温度不变,X光波长变大时,对于同一晶面族,衍射角随之变大。46.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？答：晶体中原子间距的数量级为米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于米.但可见光的波长为7.64.0米,是晶体中原子间距的1000倍.因此,在晶体衍射中，不能用可见光.47.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比,对于同级衍射,哪一晶面族衍射光弱?为什么?答：对于同级衍射,高指数的晶面族衍射光弱,低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面族面间距大,晶面上的原子密度大,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强.相反,高指数的晶面族面间距小,晶面上的原子密度小,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱.另外,由布拉格反射公式可知,面间距大的晶面,对应一个小的光的掠射角.面间距小的晶面,对应一个大的光的掠射角.越大,光的透射能力就越强,反射能力就越弱.48.面心立方元素晶体,密勒指数(100)和(110)面,原胞坐标系中的一级衍射,分别对应晶胞坐标系中的几级衍射?答：对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可以求得为(),p’=1.由(1.33)式可知,；且求得;再由(1.26)和(1.27)两式可知,n’=2n.即对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射,对应晶胞坐标系中的二级衍射.对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(001),p’=2.由(1.33)式可知,;由(1.16)和(1.18)两式可知,;再由(1.26)和(1.27)两式可知,n’=n,即对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射,对应晶胞坐标系中的一级衍射.49.由KCl的衍射强度与衍射面的关系,说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效。答：Cl与K是原子序数相邻的两个元素,当Cl原子俘获K原子最外层的一个电子结合成典型的离子晶体后,与的最外壳层都为满壳层,原子核外的电子数和壳层数都相同,它们的离子散射因子都相同.因此,对X光衍射来说,可把与看成同一种原子.KCl与NaCl结构相同,因此,对X光衍射来说,KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效.由KCl的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.一个KCl晶胞包含4个离子和4个离子，它们的坐标：〔000〕〔〕〔〕〔〕：〔〕〔〕〔〕〔〕由〔1.45〕式可求得衍射强度Ihkl与衍射面(hkl)的关系Ihkl={1+cos由于等于,所以由上式可得出衍射面指数全为偶数时,衍射强度才极大.衍射面指数的平方和:4,8,12,16,20,24….以上诸式中的n由决定.如果从X光衍射的角度把KCl看成简立方元素晶体,那么其晶格常数为,布拉格反射公式化为显然,衍射面指数平方和:1,2,3,4,5,6….这正是简立方元素晶体的衍射规律.50.金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?答：取几何结构因子的(1.44)表达式,其中uj,vj,wj是任一个晶胞内,第j个原子的位置矢量在轴上投影的系数.金刚石和硅、锗具有相同的结构,尽管它们的大小不相同,但第j个原子的位置矢量在轴上投影的系数相同.如果认为晶胞内各个原子的散射因子都一样,那么几何结构因子化为在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和局部相同.由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同,几何结构因子中的原子散射因子不会相同。两者的几何结构因子相同。由公式可推出，金刚石和硅的每个原胞内包含4个原子，且其晶体结构相同，由定义，在所考虑的方向上，几何结构因子(表示原胞中第i个原子的散射因子)由上式可得，均与a无关，所以两者的几何结构因子相同。51.(a)列出简单六角点阵以下点阵平面的等效平面数目：(100)，(110)，(111)，(001)，(120)，(hkl)。(b)点群为6／mmm的六角晶体中一个晶面的指数为(121)，试写出全部与此等效的晶面指数。答:(a)等效平面数目一对，(100)与(001)。(b)与晶面的指数(121)等效的晶面指数有、、。52.列出简单立方点阵中以下各点阵平面的等效面数目：(001)，(011)，(111)，(210)，(211)，(hkl)。(b)列举简单立方点阵中以下各晶向的等效方向数目；[001]，[011]，[111]，[210]，[211]，[hkl]。答:(a)与(001)平面的等效面数目为3个：(001)、(100)、(010)，与(011)，(111)，(210)，(211)平面的等效面数目分别为3个、1个、3个、3个。(b)与[001]，[011]，[111]，[210]，[211]平面的等效面数目分别为4个、2个、1个、2个、2个。53.比拟金刚石结构，闪锌矿结构的平移群，点群和空间群。答:金刚石结构与闪锌矿结构的基元均含两个原子，闪锌矿结构与金刚石结构不同之处就是立方体顶角及面心上的碳原子为Zn原子代替，而体对角线上的碳原子为S原子代替。什么是布喇菲点阵?为什么说布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象？布喇菲点阵是平移操作所联系的诸点的列阵，为了简单地描述晶体内部结构的周期性,常把基元抽象成数学上的一点(这点可以是基元是重心,也可以是任一位置),这个基元的代表点称为格点(或称结点)，因此布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。54.什么是布喇菲点阵的初级矢量?就以下图的二维布喇菲点阵指出哪组矢量是初基的?哪组是非初基的。点阵矢量，其中，均为整，，叫做布喇菲点阵的初级矢量，左边三组矢量是初基的，两组是非初基的55.试描述点阵和晶体结构的区别。答：是空间点阵是抽象出来的,它其中每一个点都是代表实际很多东西,可以是原子,可以是分子,也可以是离子.晶体结构是实际中真正存在的。56.为什么金刚石格子不是布喇菲点阵？为什么氯化钠格子也不是布喇菲点阵？它们是什么样的点阵?最小基元是什么？答：金刚石格子布喇菲晶格是面心立方格子，是复式格子，把0和〔a/4〕l两碳原子作为基元，氯化钠格子布喇菲晶格是面心立方格子，基元含两个离子。57.为什么正交晶系有四种布喇菲点阵：简单正交，底心正交，面心正交和体心正交，但四角晶系只有简单四角和体心四角两种布喇菲点阵？答：正交晶系特点是没有高次对称轴，二次对称轴和对称面总和不少于三个。晶体以这三个互相垂直的二次轴或对称面法线为结晶轴。α=β=γ=90o；a≠b≠c。故正交晶系有四种布喇菲点阵：简单正交，底心正交，面心正交和体心正交假设存在面心立方，那么可将其晶胞分割成体心四方的晶胞

假设存在底心立方，那么可将其晶胞分割成简单四方的晶胞

而简单四方和体心四方的晶胞不能相互转化，因此四方晶系中只有简单四方和体心四方两种点阵类型58.从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解：QUOTE故点阵不可能有七重旋转对称轴59.试讨论金刚石结构晶体的消光法那么。[解]金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方，基元包含两个原于，位于．假设把金刚石结构的立方惯用晶胞中的8个原子选作基元，相应地，金刚石结构可用带基元的简单立方点阵来描写．这8个原于的坐标是：(000)、()、()、()、()、()、()、()。把这8个原子的坐标代入结构因子的表达式利用，计算得金刚石结构的结构因子为经整理后得其中正是在面心立方阵点上所放置的基元(000)()的结构因子。那么正是面心立方点阵惯用晶胞中4个原子的几何结构因子〔原子形状因子为所代替〕。由上结果可见，由于放置在面心立方点阵的阵点上的不再是形状因子为的同种原子，而是一个结构因子为的基元，用这个基元的结构因子代替原子的形状因子就得到金刚石结构立方惯用晶胞8个原子的结构因子。现将以上结果讨论如下：当全为偶数，且〔n为整数〕，，故。当全为偶数，且〔n为整数〕，，故。当全为奇数，且，，故。当局部为偶数，局部为奇数时，，故。所以，金刚石结构允许的反射是所有指数均为偶数且，或者全为奇数．可以看到，由于金刚石结构放置在fcc点阵阵点上的不再是同种原子，而是一个由两个原子组成的基元，此基元中两个原子的散射波相互干预的结果使fcc点阵所允许的反射又有一局部消失．三、画图题〔20道题〕1.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：由上图，我们可给出其固体物理学原胞如以下图〔a〕所示，结晶学原胞如以下图〔b〕所示：从上图〔a〕和〔b〕可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。2.在一个晶胞中分别画出面心立方晶体的原胞。解：3.在一个晶胞中分别画出体心立方晶体的原胞。解：4.在一个晶胞中画出金刚石的原胞。解：5.试绘图表示NaCl晶体的结晶学原胞、布拉菲原胞、基元和固体物理学原胞。解：结晶学原胞布拉菲原胞物理学原胞基元6.试画出体心立方的〔100〕，〔110〕和〔111〕面上的格点分布。解：体心立方〔100〕，〔110〕和〔111〕面上的格点分布为：体心立方〔100〕面体心立方〔110〕面体心立方〔111〕面7.试画出面心立方的〔100〕，〔110〕和〔111〕面上的格点分布。解：面心立方〔100〕，〔110〕和〔111〕面上的格点分布为：面心立方〔100〕面面心立方〔110〕面面心立方〔111〕面8.在立方晶胞中，画出〔100〕、〔111〕和〔210〕晶面。解：9.在立方晶胞中，画出〔０２１〕和〔０１１〕晶面。解：OOO10.在立方晶胞中，画出〔001〕、〔110〕和〔120〕晶面。解：11.在立方晶胞中，画出〔〕和〔〕晶面。解：12.画出立方晶系中的以下晶向和晶面：[001]，[210]，〔100〕，〔110〕，〔111〕。13.画出边长为a的二维正方形正格子的倒格子和前三个布里渊区。解:正方格子的倒格子仍是正方格子。首先根据正格子原胞基矢计算倒格子原胞基矢〔略〕，根据倒格子原胞基矢画出倒格子点阵，然后画出前三个布里渊区。14.试画出二维长方格子的第一和第二布里渊区。、15.图示并写出立方晶格〔111〕面与〔100〕面的交线的晶向。16.画出sc的〔100〕，〔110〕，〔111〕，〔121〕，〔231〕晶面。17.画出面心立方晶格的单元结构，并用阴影表示出〔100〕晶面，画出该晶面上原子分布。解：18.画图作出二维简单六方晶格的前三个布里渊区。解：六角格子的倒格子仍是六角格子。19.画出立方晶格〔111〕面、〔100〕面、〔110〕面，并指出〔111〕面与〔100〕面、〔111〕面与〔110〕面的交线的晶向。解：1〕(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：，(111)面与(100)面的交线的晶向，晶向指数。(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：，(111)面与(110)面的交线的晶向，晶向指数。20.二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。解：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如下图：正方a=ba^b=90°六方a=ba^正方a=ba^b=90°六方a=ba^b=120°矩形a≠ba^b=90°带心矩形a=ba^b=90°平行四边形a≠ba^b≠90°四、证明题(共39道题)1.证明：用半径不同的两种硬球构成以下稳定结构时小球半径和大球半径之比值分别为(1)体心立方〔配位数为８〕：；(2)简单立方〔配位数为６〕：。证明：半径相同的原子才可能构成密积结构，配位数等于12。如原子球半径不等，就不可能形成密积结构，配位数必低于12。(1)体心立方设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长a=2R，空间对角线长为。当小球恰与大球相切时，将形成稳定的体心立方结构。此时，小球的半径2r=r=()R=0.73R因此，对于体心立方，1>r/R0.73假设r/R<0.73，小球在体心处可以摇动，结构不稳定，因此不能以体心结构存在，只能取配位数较低的简单立方结构。(2)简单立方设小球(半径r)在中央，恰与上下左右前后6个大球(半径R)相切，各大球之间也相切，从而形成稳定的简单立方结构。由图看出，即，所以因此，对于简单立方结构，0.73>r/R0.41。当r/R<0.41时，又只能取配位数更低的四面体结构。2.证明：用半径不同的两种硬球构成以下稳定结构时小球半径和大球半径之比值分别为(1)正四面体结构〔配位数为４〕：；(2)层状结构〔配位数为３〕：。证明：〔1〕四面体结构当大球(半径R)形成一正四面体且彼此相切，而小球(半径r)位于由它们围成的正四面体中的间隙处并与大球相切时，那么四面体处于稳定状态。有所以因此，对于四面体结构，0.41>r/R0.23假设r/R<0.23时，那么得到层状结构。因此，对于四面体结构，0.41>r/R0.23(2)层状结构在层状结构中，当半径为R的三个大球A、B、C彼此相切，而间隙中又共同外切一半径为r的小球时，结构最稳定。所以因此，对于层状结构，0.23>r/R0.16。3.如果将等体积球分别排成以下结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：1〕简单立方的x=；2〕体心立方的x=；3〕面心立方的x=。证明：实验说明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，1〕对于简立方结构：a=2r，V=，Vc=a3，n=1∴2〕对于体心立方：晶胞的体对角线BG=n=2,Vc=a3∴3〕对于面心立方：晶胞面对角线BC=n=4，Vc=a34.如果将等体积球分别排成以下结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：1〕六角密排的x=；2〕金刚石的x=证明：实验说明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，1〕对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6=晶胞的体积：V=n=12=6个2〕对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=n=8,Vc=a35.证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交。证明：设晶面族(hkl)的面间距为d，法向单位矢为。按照密勒指数的意义，在立方晶系中，的方向余弦可写成,,因此式中，分别为三个坐标的单位方向矢量。晶列[hkl]的方向矢量为比照(1)、(2)两式，显然有即所以，晶列[hkl]垂直于晶面族(hkl)。6.证明在立方晶系中，面指数为和的两个晶面之间的夹角满足：证明：在立方晶系中，如用a表示晶格常数，代表晶面族法向单位矢，为面间距，那么有同样，如晶格中另一晶面族的面间距为，这组晶面的法向单位矢为两晶面族的夹角就是它们法向矢量的夹角，即由于立方晶系的面间距因此7.假设与平行,是否是的整数倍?以体心立方结构证明之。证明：假设与平行,一定是的整数倍.对体心立方结构,可知,,,=h+k+l=(k+l)(l+h)(h+k)=p=p(l1+l2+l3),其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数。8.假设与平行,是否是的整数倍?以面心立方结构证明之。证明：对于面心立方结构,可知,,,,=h+k+l=(-h+k+l)+(h-k+l)+(h+k-l)=p’=p’(l1+l2+l3),其中p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数。9.证明点阵平面上的阵点密度〔单位面积上的阵点数〕，这里是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离。证明：考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为或写为其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高．由以上二式得于是点阵平面上的密度为10.证明在二维格子中，倒格子原胞的面积与正格子原胞的面积互为倒数。证明：以表示正格子的基矢，正格子原胞的面积为式中，为间的夹角如表示垂直于所在平面的单位矢量，表示倒格子基矢，那么二维倒格子基矢可写成因而利用矢量乘积公式得到所以因为代入上式得因而倒格子原胞的面积等于比拟(1)、(2)两式，即得11.证明三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子，并且倒格子基矢间的夹角和基矢长度分别满足式中，和分别为正格子基矢的长度和基矢间的夹角。按照倒格子基矢的定义(1)式中为正格子基矢。对于三角布喇菲格子，基矢的长度为，基矢间的夹角。从(1)式容易看出，倒格子基矢长度必为。应用(1)式，(2)(3)式中表示倒格子基矢和间的夹角。把(3)式代入(2)式得到(4)其中使用了三角转换公式。轮换(4)式中各量的下标，容易得到。结合前述结论，可见三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子。其次，设基矢和所在晶面的法向单位矢为，它与基矢的夹角为。在图中，过O点做，连接PQ，并过P点做。在中根据余弦定理，线段和的夹角的余弦从的几何关系可得即(5)(5)式中最后一个等式已使用式(4)进行化简。于是，三角布喇菲原胞的体积(6)把(6)式代入式(3)并将等式两边开平方即得12.证明对于简单单斜晶系，面间距d(hkl)为证明：单斜点阵惯用晶脑的几何特征是初基晶胞的体积为(hkl)平面族的面间距为要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义此外，有代入d(hkl)的表达式中得13.证明对于六角晶系，晶面族的面间距为证明：因为晶面间距与倒格矢有如下关系：因而对于六角晶系原胞体积倒格基矢而把这些结果经整理后即得14.证明面心立方的倒格子是体心立方证明：面心立方的正格子基矢〔固体物理学原胞基矢〕：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。15.证明体心立方的倒格子是面心立方。证明：体心立方的正格子基矢〔固体物理学原胞基矢〕：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。16.证明倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。证明：因为，利用，容易证明所以，倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。17.对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距满足：，其中为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。证明：简单立方晶格：，由倒格子基矢的定义：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面间距：面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位外表的能量越小，这样的晶面越容易解理。18.(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是，这里是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．证明：(a)倒易点阵初基晶胞体积为，现计算．由式(2．1)知，此处而这里引用了公式：。由于，故有而故有或写成倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量满足关系有前面知：令又知，代入上式得：同理可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身。19.考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(1)证明倒易点阵矢量垂直于这组平面(hkl)；(2)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：证明：(1)参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是．现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．，用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得同理，故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)．(2)点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为20.证明(1)对初基矢量互相正交的晶体点阵，有(2)对简单立方点阵有证明：(1)如果晶体点阵的初基矢量彼此正交，那么倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交。设由倒易点阵基矢的定义及得于是面间距为(2)对立方晶系中的简单立方点阵，，用(c)的结果可得21.为简单正交格子的基矢，试证明晶面族〔hkl〕的晶面间距为证明：由知可得：再由中和的关系：可得：21.证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵。证明：底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为初基晶胞体积为倒易点阵基矢为由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为。22.三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为。其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足-cosθ*＝cosθ／(1+cosθ)证明：三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为(1)参见图2.10，是在x、y、z三个方向的方向余弦。由得(2)由得(3)于是有(4)由倒易点阵基矢的定义可知分别垂直于正点阵初基晶胞的平面，且有相同长度，(5)将(6)代入上式得(7)彼此间应有相间夹角．设间的夹角为，利用公式上式化为(8)同理可以证明任意二矢量间的夹角均为此值。为了计算，利用式(4)得到代入式(7)得(9)23.证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面．证明：面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d的关系可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大．面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量都是最短的倒易点阵矢量，，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}平面有最大的阵点密度．体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面。24.外斯晶带定律属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，(1)晶带轴[uvw]与该晶带中的平面(hkl)满足关系(2)证明晶面()，()，()属于同一晶带的条件是证明：(1)以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是必定在晶面(hkl)法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为.既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系直接可得(2)既然属于同一晶带，由(a)有由于不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即25.证明在六角晶系中密勒指数为〔h,k,l〕的晶面族间距为QUOTE证明:元胞基矢的体积QUOTEQUOTE倒格子基矢倒格矢：晶面间距QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE26.证明底心正交的倒点阵仍为底心正交的。证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图：QUOTE初级晶胞体积:QUOTE倒易点阵的基矢：QUOTEQUOTEQUOTE这组基矢确定的面是正交底心点阵27.证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。证明：倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE而QUOTE由于而QUOTEQUOTEQUOTE或:现在证明：QUOTE又令又：QUOTE代入QUOTE同理QUOTEQUOTE28假设基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族〔hkl〕的面间距为答：根据晶面指数的定义，平面族〔hkl〕中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为，，。该平面〔ABC〕法线方向的单位矢量是这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到故29.证明任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是、、和。证明：设想一个点群中包含两个2重轴――和，两轴间的夹角用表示，L为垂直于两轴所在晶面的晶列。使晶体先后绕轴和各旋转一个角度，对应的操作分别为A、B。晶列L上的P点将先转到点，然后又转到P点。这说明对称操作A、B并没有使晶列L发生任何改变，因此，操作C=BA相当于以L为轴的一个转动。而且因为它能使晶体复原，它也必然是一个对称操作，L必然是一个对称旋转轴，其转角可以如下确定：进行操作A时，轴是不变的，进行操作B时，晶体绕轴转动，轴将转到了的位置，轴与轴间的夹角为，即操作C=BA使晶体绕L转动了的角度。既然C也是一个旋转对称操作，根据点群操作的熟知结论，只能能等于，因此，但如果两个2重轴的夹角等于，实际上是表示一个2重轴自身，没有实际意义，应该舍去。因而证明两个2重对称轴间的夹角只能取等数值。以上结论也可以直接使用欧拉公式而获得〔欧拉公式的推导比拟繁复，在此不作介绍〕。设点群操作A、B、C符合以下关系C=BA操作时他们分别使晶体转过角度。鸥拉公式给出，操作A、B对应的转轴夹角符合(1)或者，如用分别代表操作A、B、C对应转轴的重数，那么轴和轴的夹角表示为(2)依题设，式变为(3)因为操作C也是点群对称操作，其对称轴只能取1、2、3、4、6各值，代入(3)式分别得到对应的值为其中应舍去，可见结论与前面的结果相同。30.证明在晶体中由于受到周期性的限制，只能有重旋转对称轴，5重和大于6重的对称轴不存在。证明：如以下图所示，A,B是同一晶列上O格点的两个最近邻格点．如果绕通过O点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转θ角，那么A格点转到点．假设此时晶格自身重合．点处原来必定有一格点．如果再绕通过O点的转轴逆时针旋转θ角，那么晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转θ角，B格点转到点处，说明处原来必定有一格点．可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列．由以下图可知，晶列与AB晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，假设设该周期为a，那么有其中m为整数，由余弦的取值范围可得于是可得因为逆时针旋转3π/2，4π/3，5π/3分别等于顺时针旋转π/2，2π/3，π/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为上面的转角可统一写成称n为转轴的度数．由此可知，晶格的周期性不允许有5度及6度以上的旋转对称轴。证明二：如图，设有一个垂直于转轴的晶面，是该晶面上的一个晶列。格点间最短距离为a，基转角为的转轴垂直晶面并过格点A，B是与A相邻的另一格点。当绕通过格点A的转轴顺时针方向转动角度时，点转至点的位置，。同样，当绕通过格点B的转轴逆时针方向转动角度时，点转至点的位置，。显然，，因而的距离必然是格点间距a的整数倍，即〔m为正整数〕。其次，由图中的几何关系可知，于是得m=1+2即因为m为整数，N=m-1也必为整数。由于所以因此，以表示旋转轴的重数，对可能的旋转轴重数可列表如下：Nn－2－12－1－1/2300411/2621或1所以，只有1、2、3、4、6旋转轴。31.证明在具有立方对称性的晶体中，介电常数张量为对角张量：或其中表示沿轴的分量。证明：电位移矢量与外电场间的关一般可表示为用矩阵表示为(1)用表示晶体旋转后的电位移矢量。设电场沿y轴正方向，(1)式变为(2)今将晶体绕电场方向转动，使z轴转到原轴方向，x轴转到原z轴方向，由于电位移作相同的转动，于是(3)由于上述转动是立方晶体的一个对称操作，电场没有改变，应有由(2)式和(3)式得要使上两式同时满足，只有(4)同理可得(5)假设再取电场沿[111]方向，，那么有让晶体绕转动，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，那么有因为，由上式得(6)由上面可得，具有立方对称性的晶体的介电常数张量为或32.试证明具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量：证明：由QUOTE各物理量在新旧坐标中：(由于对称操作QUOTE)QUOTE是绕X(a)轴转动QUOTE是一个对称的操作QUOTE是绕Y(b)轴转动QUOTE也是一个对称操作将QUOTE代入再将QUOTE代入33.电位移矢量与外电场的关系为式中为介电常数张量。试根据晶体的对称性证明，对于简单六角晶体，证明：电位移与电场间的关系用矩阵表示为(1)如图选取六重轴为x轴，并令电场沿x轴正方向，，由(1)式得到(２)令晶体绕x轴转动，使y轴转到-y轴方向，z轴转到-z轴方向。将作相同的转动，转动后的电位移用表示，那么(3)但是，上述转动不过是六角晶体的一个对称操作，转动前后晶体并没有差异，而转动又以为轴，电场也没有改变，因此电位移矢量理应不变，即将(2)式和(3)式代入可得因而(4)如取电场沿y轴正向，然后令晶体绕y轴转动，仿照上述的讨论，应有(5)假设对z轴作相同的讨论，同理得到(6)如再取电场沿六角形顶点A的方向，如下图，，代入(1)式并注意到(4)式，那么有令晶体以为轴转动，y轴将转到轴处,z轴将转到轴处。注意到轴和轴方向原来的电位移的值，得到转动后的电位移为因为现在所在方向是2重轴，转动是对称操作，因而，即从上式解得在将写作，综合(4)(5)(6)诸式，得34.证明在晶体的X射线衍射中，(1)如果X射线的波长改变了，反射线束将偏转一个角度：式中为布喇格角;(2)当晶体发生体膨胀时，反射线束将偏转一个角度：式中是晶体的体胀系数。证明：在x射线衍射理论中，沿射线加强的条件由布拉格公式(1)给出。式中，d为衍射晶面族的间距；为x射线波长；n为衍射级数。(1)对于某一定的晶面族，面间距d为确定的常数，当射线的波长改变时，获得衍射加强的布拉格角也相应的改变。令式(1)两边分别取微分：即(2)从式(1)有代入(2)式即得(2)当入射线的波长固定不变时，假设晶体发生膨胀,面间距d发生了改变，那么获得衍射加强的布拉格角也相应改变。令式(1)两边对面间距d取导数，得于是由于为线胀系数，而线胀系数等于体胀系数的，故(3)式可写为35.证明劳厄方程与布拉格公式是一致的。证明：由坐标空间劳厄方程：与正倒格矢关系比拟可知：假设成立即入射波矢，衍射波矢之差为任意倒格矢，那么方向产生衍射光，式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式，弹性散射由倒格子性质，倒格矢垂直于该晶面族。所以，的垂直平分面必与该晶面族平行。由图可得知：=2kSin＝(A)〕又假设||为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：||＝假设不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性＝n||＝.n〔B〕-比拟〔A〕、〔B〕二式可得2dSin＝n即为Blagg公式。36.证明在氯化钠型离子晶体中晶面族〔h,k,l〕的衍射强度为QUOTE其中QUOTE、QUOTE分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？证明：Nacl初基原胞中有QUOTE和QUOTE两种离子。A、B分别代表QUOTE和QUOTE。因此几何结构因子：射强度：QUOTE,对于QUOTE为奇数的衍射面QUOTE那么会消光。37.证明在倒易空间中，当QUOTE落于一倒格矢QUOTE垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：当波矢满足QUOTE时有QUOTE∴令QUOTE∴QUOTE刚好是QUOTE中垂直面的反射波。又∵,由图知：QUOTE(其中QUOTE)38.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为。证明：如下图，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为１。选择体对角线和，用坐标表示为和。所以,其夹角的余弦为：39.证明任何点群中两个2次轴之间的夹角只能是30，45，60，90。证明:两个二重轴2和2’交于O点，且构成一平面，过O点作一直线NN’垂直于此平面。绕轴2的转动计为A,绕轴2’的转动计为B,——连续进行操作AB直线NN’上的N点回到原处，轴2转到2’’的位置,A和B均为对称操作,C=AB—是对称操作，可为E操作，或NN’为C操作的对称轴。——C的操作那么是绕NN’轴转过角度2，。五、计算题〔共48道题〕1.以下图表示一个由同种元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正六边形的边长为。请分析并找出其基元，画出其Bravais格子、初基原胞和W-S元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。图1解:基元：Bravais格子：初基原胞：W—S原胞：基矢：2.以下图表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正三边形的边长为。请分析并找出其基元，画出其Bravais格子、初基元胞和W-S元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。图2解：基元:Bravais格子:初基元胞：W—S元胞:基矢：=(cos300)(2acos300)-(sin300)(2acos300)=3.石墨层中的碳原子排列成如下图的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。是由红色代表的碳原子构成的二维菱形格子与黑色代表的碳原子构成的二维菱形格子沿正六边形边长方向相互移动一个边长长度套购而成的复式格子。其二维点阵和其元胞基矢如下图：4.具有笛卡尔坐标的〔，，〕的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果〔a〕或全为奇数，或全为偶数，〔b〕要求为偶数。解:(a)假设(i＝1，2，3)全为偶数，那么点阵矢量可以写为＝(2l，2m，2n这里l，m，n为整数，于是有显然由定义的是一个点阵常数为2的sc点阵。假设ni全为奇数，那么点阵矢量为由所定义的也是一个点阵常数为2的sc点阵，但相对于上面一个sc点阵位移了一个矢量，这个点正好位于体心位置上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵。(b)假设为偶数，这里是整数。于是点阵矢量为令那么有又令仍为整数，那么有由于fcc点阵的点阵矢量是可见上述R定义的是一个点阵常数的fcc点阵。5.bcc点阵和fcc点阵的初基矢量对bcc和fcc布喇菲点阵，可以选取一个菱面体为初基晶胞，亦即选取初基矢量，，大小相等，彼此夹角亦相等。试画出这两种布喇菲点阵的初基矢量并计算其夹角。解：一个布喇菲点阵的初基矢量可以有多种取法。对体心立方布喇菲点阵，一种对称的取法是把原点同体心上的阵点连接起来，参见图5〔a〕。用立方晶胞的边长表示，这组初基矢量是每个矢量长度相等，在其中取任意二矢量计算其夹角a，例如间的夹角，类似地可以算出，，任意二矢量的夹角均为此值。图5〔a〕图5〔b〕表示bcc布喇菲点阵的一个初基晶胞，是一个以，，为棱的菱面体。对fcc布喇菲点阵，初基矢量的一种对称的取法是将原点同面心上的阵点连接起来，如图5〔c〕所示。图5〔b〕图5〔c〕三个初基矢量的长度相等彼此夹角亦相等，由上述可见，对bcc和fcc点阵，我们都可以选取一组大小相等且彼此的夹角也相等的初基矢量。对bcc点阵，这个夹角是；对fcc点阵，这个夹角是60。6.有一晶格，每个格点上有一个原子，基失〔以nm为单位〕a=3i，b=3j，c=1.5〔i+j+k〕，此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：〔1〕这种晶格属于哪种布拉维格子？〔2〕原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？解：〔1〕因为a=3i，b=3j，而c=1.5〔i+j+k〕=1/2〔3i+3j+3k〕=1/2〔a+b+c′〕式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。〔2〕晶胞的体积===27*10-30(m3)原胞的体积===13.5*10-30(m3)7.金刚石晶胞的立方边长为，求最近临原子间的距离、平均每立方厘米中的原子数和金刚石的密度。解：金刚石结构的空间对角线上的原子与最近的立方体顶角上的距离是金刚石结构中原子的最近邻距离，假设用R表示，那么金刚石结构中每个晶胞包含8各原子，所以每立方厘米中的原子数由于碳原子的重量为，因此金刚石的密度8.设体心立方晶格由半径为的硬球原子堆成，晶格常数为a，(1)求每个晶胞的自由空间体积；(2)假设在自由空间中放入小球，求小球的最大半径。解：(1)因为体心立方结构每个晶胞有2个原子〔1个在体心，1个在顶角〕，因而晶胞原子所占体积为空间对角线上的原子彼此相切，从而有R=a于是晶胞内自由空间的体积即晶胞中大约有1/3的体积是空的。(2).体心立方晶格中最大的空隙位于坐标及其等价点处，如图(b)所示。用表示放入该处的小球半径，由图可得应用(1)式得到可见，间隙处小球的半径约为格点原子球半径的。9．假设在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？解：我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。所以布拉菲晶格是简单立方格子。这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子〔即三个〕作为一个组合形成一个格点，即由5个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。最后格点的原胞是简立方，每个原胞含一个格点，每个格点含五个原子。故每个原胞含有5个原子。通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子〔即三个〕作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。10.在图中，试求：晶列ED、FD、OF的晶列指数；(2)晶面AGK、FGIH和MNLK的密勒指数；(3)画出晶面、。解：从图得知，(1)各晶列指数分别为ED[111]、FD、OF[011](2)各晶面的密勒指数分别为FGIH(201)、AGK、MNLK(3)晶面和晶面如下图11.试求以下各种材料给定晶面上每平方米面积的原子数：(1)的面；(2)的面和面；(3)的面。它们的晶格常数分别为：，解：〔１〕具有体心立方结构，一个立方晶胞的(110)面的面积式中，a为立方边长，。在面积S上共有个2原子，一个在体心，个在顶角。因此，的(110)面的原子密度〔２〕Cu具有面心立方结构，立方边长。类似(1)的讨论，在(110)面上共有2个原子，因此对于(111)面，在一个晶胞内，它是一个边长为的正三角形，因此其面积为在此面积(S)上包含两个原子：面心原子，顶角原子。因此(4)Zn具有六角密积结构，(001)面即平面六角形晶面。设底边长为a，因此晶面面积面上包含原子数为。因此12.对于立方晶格，晶列和晶面所成角度满足：(1)试确定空间对角线与坐标面所成的角度；(2)写出以空间对角线为带轴的任意三个晶面的密勒指数以及和晶面平行的任意两条晶列的晶列指数。解：(1)立方点阵空间对角线的方向指数为[111]，即u=v=w=1，xoy平面的面指数为(001)，因此所以。(2)晶带是指晶面的交线互相平行的一组晶面。带轴即是这些互相平行的交线的共同方向。因此，以空间对角线为带轴的晶面必与空间对角线[111]平行，即。故有将u=v=w=1代入，即得到同空间对角线[111]平行的晶面面指数满足的方程：显然晶面等都满足上述方程，它们都是以[111]为带轴的晶面。对于晶面h=1,k=－1,l=1，所以和它平行的晶列必须满足方程u-v+w=0显然，等晶列都平行面。13.试求面心立方结构的〔111〕和〔110〕面的原子面密度。解：平均每个〔111〕面有个原子。〔111〕面面积所以原子面密度平均每个〔110〕面有个原子。〔110〕面面积所以〔110〕面原子面密度14.六角晶系中见P343，晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢轴上的截距为；在六度轴上的截距为，试写出的面指数。15.试画出面心立方晶体〔11〕面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二维晶胞基矢。，它即是〔11〕面上二维晶胞基矢之一，以为二维晶胞的另一基矢，显然这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面ABCD上做周期重复，即得〔11〕面上的原子分布。[注]：〔1〕晶面是〔11〕晶族中通过原点0的那个晶面，因为族中所有晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。〔2〕〔11〕晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子分布的正交对称性，但也可以得出同样的〔11〕上的原子分布图。16某二维晶体具有长方形结构，其晶格常数之比为2∶1，试画出该晶格的第一和第二布里渊区。解：由题意，正格子基矢为：，令：相应的倒格子基矢为：，而倒格子及第一〔黄色区域〕、第二〔蓝色区域〕布区如下图。17.晶面指数假设考虑指数为〔100〕和〔001〕的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是惯用立方晶胞，假设采用初基轴，这些面得指数是多少？初级矢量：。答案：〔100〕面垂直于x轴，相对于初基轴的指数是〔101〕。〔001〕相对于初基轴的指数是〔011〕，18.假设晶胞基矢互相垂直，试求晶面族〔hkl〕的面间距。解：互相垂直，可令晶胞体积倒格子基矢：而与〔hkl〕晶面族垂直的倒格矢故〔hkl〕晶面族的面间距19．设二维矩形格子的基矢为，试画出第一、二