第3章圆锥曲线与方程章末题型归纳总结

第3章圆锥曲线与方程章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求轨迹方程经典题型二：焦点三角形问题经典题型三：线段和差最值问题经典题型四：离心率取值与范围问题经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系经典题型六：三角形与四边形面积问题经典题型七：圆锥曲线定点定值问题经典题型八：斜率问题经典题型九：中点弦问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求轨迹方程例1．（2023·江苏·高二专题练习）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为动点满足关系式，所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12，而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即，又，，所以动点M的轨迹方程为.故选：C.例2．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得：到与的距离之和为，且，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：C例3．（2023·高二课时练习）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆圆心，圆圆心，设两圆交点为，则由题意知，，所以，又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆，且，，则，所以轨迹的方程为，设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，联立，消得，则，即，由于，则由根与系数关系知，即．当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程，故所求轨迹方程为．故选：A．例4．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由点，，可得，又由，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，且，可得，则，所以点的轨迹方程为.故选：C.例5．（2023·全国·高二专题练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】设，因为，所以；因为，所以，即，所以，整理得，其轨迹是椭圆.故选：B.例6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点，所以直线与双曲线相切，联立，消去并整理得，所以，即，将代入，得，得，因为，，所以，所以，，即，由可知，所以过点且与垂直的直线为，令，得，令，得，则，，由，得，，代入，得，即，故选：D例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.例8．（2023·江苏·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，所以，即，整理得，故选:C.例9．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，因为，所以，又因为直线与直线的斜率之积为，所以，整理得.故选：C.例10．（2023·全国·高二假期作业）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，所以的轨迹为抛物线，，所以点的轨迹方程为.故选：D例11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，，即.所以动点M的轨迹方程：.故选：C.例12．（2023·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】设直线，将它与抛物线方程联立得：，则，设，则，所以，故或，当时，在直线上，故舍去，所以，所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.故选：B.经典题型二：焦点三角形问题例13．（2023·江苏·高二专题练习）椭圆焦点三角形的性质椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形，它们具有下面的性质.（1）焦点三角形的周长为；（2）当时，最大；（3）；【答案】.【解析】（1）由，得，故.（2），①，在中，由余弦定理得：，把①代入可得，②，因为，当且仅当时等号成立，所以，取最小值时取最大值.故由以上可得，当时，最大.（3）由②可得，③.，把③代入面积公式，即，故.故答案为：（1）；（2）；（3）.例14．（2023·江苏·高二专题练习）椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于两点，则的周长为；【答案】20【解析】由，得，得，因为两点都在椭圆上，所以由椭圆的定义可得，，因为，所以的周长为，故答案为：20例15．（2023·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是.【答案】20【解析】椭圆,所以，得，则椭圆的右焦点为，所以直线经过椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，的周长为.故答案为：20.例16．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则.【答案】10【解析】因为，，，两式相加得.又，所以.故答案为：10.例17．（2023·江苏·高二专题练习）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.【答案】/【解析】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：例18．（2023·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左、右焦点，若，则的内切圆半径为【答案】/【解析】因为，，所以，，则，等腰边上的高，所以，设的内切圆半径为，则，所以故答案为：．例19．（2023·浙江·高二校联考期中）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为.【答案】【解析】因为椭圆与双曲线共焦点，所以有，因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，，设，由椭圆和双曲线的定义可知：，由余弦定理可知：，所以有，因此的面积为，故答案为：例20．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则.【答案】1或9/9或1【解析】设双曲线的另一个焦点为，连接，易得ON是的中位线，所以，因为，，所以或，故或.故答案为：1或9.例21．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．【答案】/【解析】因为双曲线，则，，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为：例22．（2023·江苏·高二专题练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．【答案】34【解析】因为，所以，故，则，又，故，则，，所以的周长为.故答案为：34.例23．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为．【答案】【解析】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，所以，，因为在中，，所以由正弦定理可得，,因为为抛物线上一点，所以可设为由此可得，平方化简可得：，即，可得,.故答案为：.例24．（2023·高二课时练习）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则.【答案】【解析】由题意知，设，，的横坐标分别为，，，由，得，所以，由抛物线的定义得.故答案为：例25．（2023·甘肃白银·高二校考期末）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则.【答案】10【解析】依题意，过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为，则，.因为，所以.由，得，故.故答案为：经典题型三：线段和差最值问题例26．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.【答案】【解析】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，圆变形为，则圆心为抛物线的焦点，半径为.点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，过点作于点，由抛物线定义可知，所以取最小值时，即取最小值，，当三点共线，当时，等号成立..则的最小值为.故答案为：.例27．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为．【答案】【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点，如图所示．根据抛物线的定义知，，所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．故答案为：.例28．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为．【答案】【解析】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，又由曲线，可化为，可得圆心坐标为，半径，过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，根据抛物线的定义，可得，要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，即，当且仅当在一条直线上时，所以的最小值为.故答案为：.例29．（2023·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.例30．（2023·全国·高二专题练习）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】5【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，两圆的半径分别为，，易知，，故的最大值为.故答案为：5例31．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．【答案】【解析】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则，由，因为，所以，设，则，．可得函数在上单调递减，所以，即，故的最大值为．故答案为：．例32．（2023·浙江·高二校联考期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为．【答案】29【解析】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，根据双曲线定义：，所以.故答案为：例33．（2023·全国·高二专题练习）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为．【答案】/【解析】如图，设双曲线的右焦点为，由题知，因为，所以，因为，，当且仅当三点共线时等号成立，所以，，当且仅当三点共线时等号成立.所以，的最大值为故答案为：例34．（2023·高二课时练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.【答案】11【解析】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.例35．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：例36．（2023·全国·高二专题练习）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是．【答案】4，8【解析】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1，则由椭圆的定义可得故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小，所以，.故答案为：4，8.例37．（2023·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是．【答案】21【解析】由椭圆得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，则故答案为：21．经典题型四：离心率取值与范围问题例38．（2023·四川巴中·高二统考期中）如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（

）A．长轴长为3 B．离心率为C．焦距为2 D．面积为【答案】C【解析】由题意知：，椭圆的长轴长，A错误；椭圆短轴长为球的直径，即,椭圆的焦距为，C正确；椭圆的离心率，B错误；由图可知：椭圆的面积大于球大圆的面积，又球大圆的面积，椭圆的面积大于，D错误．故选：C．例39．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，得，所以，故椭圆的离心率.故选：B.例40．（2023·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，双曲线C的渐近线的倾斜角为，因此，即，所以C的离心率.故选：D例41．（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴左侧，且点在轴上方，点关于坐标原点对称的点为，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，作轴交于点，因为直线的斜率为，设直线方程为且，则，联立方程组，整理得，则，可得，，由，可得，所以，可得，则椭圆的离心率为.故选：D.例42．（2023·全国·高二期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，故其方程为：，令，则，结合在轴正半轴上，故，令，则或，故.故，故直线.设，因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，解得或，又因为，则，则，.故选：D.例43．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意双曲线的一条渐近线与直线垂直，得，即，则.，故选：B.例44．（2023·江苏·高二专题练习）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为，则，因为直线的斜率，由题意可得，则，解得，所以椭圆的离心率为.故选：D.例45．（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，设，因为，所以，又，，所以，因为，则，当时，取得最小值，即，即，所以，即椭圆的离心率为.故选：D.例46．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考开学考试）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，因为为等边三角形，则，所以，，所以，，则，所以，，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.例47．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，,所以,可得.在中，.由椭圆的定义可得，故，所以，所以.故选:A.例48．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，O为的中点，故，是等边三角形，即有，又P在椭圆上，故，即，即椭圆E的离心率为，故选：D例49．（2023·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴是以为底的等腰三角形，，过作交于，则，所以，∵，∴，∴，即，解得．∴该椭圆的离心率的取值范围是．故选：D．例50．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，则，而，即有，，，即，于是得，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D例51．（2023·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，设，则，，，则，若存在点使得，则存在点使得，即在上有解，即在上有解，令，显然，，所以，即且，由，即，解得或，由，即，解得或，又，所以，即.故选：B例52．（2023·高二课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C例53．（2023·山西晋城·高二校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由双曲线的几何性质可知，由条件可知，，在中，，即，；当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即，，由双曲线的几何性质知，所以离心率的取值范围是；故选：C.例54．（2023·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，则，所以，在中，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：B.经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系例55．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为.【答案】【解析】设过点的切线方程为，代入抛物线方程得：,其判别式，即，故得，，又的解为，所以切点的横坐标为，代入抛物线方程可求得切点坐标为，设，令，则，即切点的坐标为;令，则，即切点的坐标为，故直线的斜率故直线的方程为，当时，即直线过定点.例56．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．【答案】【解析】联立双曲线、直线方程，消去整理得，由题意，设方程的两根为，则，解得．故答案为：例57．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．【答案】或【解析】依题意，联立方程，消去，得，设直线与双曲线的右支的两个交点为，，则，解得或，所以或.故答案为：或.例58．（2023·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则．【答案】/【解析】由椭圆方程得：右焦点，则直线方程为：，由得：，则，，，.故答案为：.例59．（2023·高二课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有条．【答案】3【解析】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意．②当斜率存在时，设直线方程为．联立得，当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意；当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意．综上共有3条直线．故答案为：3例60．（2023·高二课时练习）若直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意，直线恒过定点，要使得直线与椭圆恒有公共点，则满足点在椭圆上或在椭圆的内部，即，解得，又由椭圆的方程，满足，所以实数的取值范围为.例61．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数．【答案】【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得①.方程①的判别式.因为直线l与椭圆C有唯一公共点．则，解得.故答案为：.例62．（2023·高二课时练习）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.【答案】【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得①，当时，①可化为，此时，即直线与抛物线相交于.当时，由于①有解，所以，即，解得且.综上所述，直线l的斜率的取值范围是.故答案为：例63．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有条．【答案】3【解析】由题意知，直线的斜率存在.设直线斜率为，则切线方程为，联立消x得，当时，此时，与抛物线有唯一公共点；当时，由，解得，即过M点的切线有两条．综上可知，满足条件的直线有3条．故答案为：3.经典题型六：三角形与四边形面积问题例64．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求线段AB的长及的面积.【解析】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为.（2）由（1）可知，抛物线方程为，则，则直线的方程为，即，设，，联立直线与抛物线方程可得，消去可得，化简可得，则，由抛物线焦半径公式可得，；由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离，则.例65．（2023·全国·高二期中）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.【解析】（1）设点，点，则直线的方程为，与渐近线联立，得，解之得，即直线与双曲线的一条渐近线交点为，又直线与双曲线的一条渐近线的交点为，所以，即，因此双曲线方程为.（2）设，把代入，得，则，，，点到直线的距离，所以的面积为，令，所以，令，则，因为，所以，由，得，由，得，由，得，即当时，等号成立，此时满足，所以面积的最小值为.例66．（2023·全国·高二期中）已知椭圆过和两点.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.【解析】（1）依题意将和两点代入椭圆可得，解得；所以椭圆方程为（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；根据题意可知直线斜率均存在，且；所以直线的方程为，的方程为；联立直线和椭圆方程，消去可得；由韦达定理可得，解得，则；联立直线和椭圆方程，消去可得；由韦达定理可得，解得，则；则，；所以；即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；（ii）易知四边形的面积为，设，则，当且仅当时等号成立；由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，可得，由对称性可知，即当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6.例67．（2023·安徽·高二校考期中）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．(1)求抛物线的方程；(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．【解析】（1）抛物线：的准线方程为，依题意，，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，，则直线的方程为，由消去y得：，解得，，所以的面积.例68．（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线交轴，轴于两点．(1)求满足的关系式；(2)当点运动时，求点的轨迹的方程；(3)若轨迹与直线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．【解析】（1）由题有得．由，即，得．（2）由（1）可得，方程有两个相等的实根，故，而，所以，因此，即，直线，即，，则，轨迹的方程是．（3）令，则．由得，其中，．点到直线的距离，，，当且仅当时取等号，即当时取等号，则．当，取得最大值，．例69．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考阶段练习）已知动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若点，过点的直线与交于，两点，求面积的最大值.【解析】（1）由题意可设，所以可得，两边同时平方可得整理可得；即的方程为；（2）如下图所示：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程，设，，联立，消去整理得，易知，所以，，所以，所以面积，设，所以，易知在上单调递减，故当，即时，面积取得最大值，最大值为，所以面积的最大值.例70．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.【解析】（1）焦点为，则，即，点在椭圆：上，即，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为；（2）当直线斜率存在时，设其方程为，，，联立，可得，则①，又②，③以为直径的圆过原点即，化简可得，代入②③两式，整理得，即④，将④式代入①式，得恒成立，则，设线段中点为，由，所以，又，又由，则点坐标为，化简可得，代入椭圆方程可得，即，则，当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，易得，，，综上，四边形面积的取值范围为.例71．（2023·河南周口·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．(1)求双曲线的标准方程；(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．①证明：直线过定点；②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．【解析】（1）设双曲线的焦距为，由题意有解得．故双曲线的标准方程为；（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，由（1）可知点A的坐标为，联立方程消去后整理为，可得，，，由，有，由，可得，有或，当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，过点，符合题意，故直线过定点；②由①，设所过定点为，，，若在双曲线的同一支上，可知都在左支上，有，可得，故的面积为，令，可得，有，由函数为函数值都为正的减函数，可得当时，的面积的最小值为9．例72．（2023·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）如图，已知椭圆C：（）的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)设过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E，记的面积分别是，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得，，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设，，,，，所以直线的方程为，联立得，即，，则，所以D点的坐标为，同理，点的坐标为，，∵，∴，，则，即.例73．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知椭圆过(2，0)点，左右焦点分别为，，(1)求椭圆C的标准方程；(2)点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．【解析】（1）由题意，，∴，椭圆标准方程为；（2）设，直线联立方程组，得，，得，

，，

，由题意知，由，，代入化简得，故直线过定点，

由，解得，，

令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．经典题型七：圆锥曲线定点定值问题例74．（2023·高二课时练习）已知动圆与圆外切，与轴相切，记圆心的轨迹为曲线，．(1)求的方程；(2)若斜率为4的直线交于、两点，直线、分别交曲线于另一点、，证明：直线过定点．【解析】（1）设，动圆的半径为，圆的圆心为，半径为1，因为动圆与圆外切，可得或，化为或，所以点的轨迹的方程为：或．（2）证明：设直线的方程为，设，，，，联立，化为，△，解得．所以，，直线的方程为，与联立，解得，，所以，．同理可得，，，所以直线的方程为：，化为，，，根据对应系数相等可得，得，则，所以直线恒过定点，．例75．（2023·全国·高二期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.【解析】（1）因为椭圆的左焦点，可得，由定义知点到椭圆的两焦点的距离之和为，，故，则，所以椭圆的标准方程为.（2）由椭圆的方程，可得，且直线斜率存在，设，设直线的方程为：，与椭圆方程联立得：，则直线的方程为，直线的方程为，由直线和直线交点的纵坐标为4得，即又因点在椭圆上，故，得，同理，点在椭圆上，得，即即即即化简可得，即，解得或，当时，直线的方程为，直线过点，与题意不符.故，直线的方程为，直线恒过点例76．（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知椭圆：．(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【解析】（1）将直线与椭圆方程联立，即，得，即，故；（2）设直线：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①当时，直线：，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线：，过定点，，符合题意．例77．（2023·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴，所以，所以椭圆：，又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为由得所以，所以，因为，所以，所以即，化简得所以即所以，或，当时，直线的方程为，直线恒过定点，不满足题意；当时，直线的方程为直线恒过定点，满足题意；所以直线恒过定点.②当直线的斜率不存在时，设其方程为，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直线也过定点.综上，直线恒过定点.例78．（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．【解析】（1）当点在第一象限时，设，则，（当时取等号），∴，同理，当点在第四象限时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.（2）设直线的方程为，联立方程得，设，则，∵，即，即，即，即，∴，满足，∴，∴直线过定点.例79．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线，与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.【解析】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为，焦距为，所以周长为，即，，因为左焦点，所以，，所以，所以椭圆E的标准方程为.（2）由题意知，,，直线斜率均存在，所以直线，与椭圆方程联立得，对恒成立，则，即，则，同理，，所以，所以直线方程为：，所以直线过定点，定点坐标为.例80．（2023·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.【解析】（1）设，则，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，则.直线的方程为，代入抛物线的方程有.当时，，所以直线的方程为，即.所以此时直线过定点.当时，直线的方程为，此时仍过点，综上，直线过定点.例81．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）设点，圆与直线的切点为，因为动圆过点，且与直线相切，则，所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线，则动圆的圆心轨迹的方程为．（2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求，设直线的方程为，消去可得：，则，因为为抛物线上一点，所以，解得，，解得，代入，解得或，结合点均不与点重合，则，则，解得，故且或，所以直线即所以直线恒过定点.例82．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．【解析】（1）由已知得由解方程组得

所以椭圆的标准方程为.（2）当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为，联立，消得，，由题意，.设，则.因为，所以是的中点．即，得，①，又，的斜率为，直线的方程为②，把①代入②可得：，

所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述，直线恒过点.例83．（2023·四川成都·高二校考期中）已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）由已知条件可得，，解得，椭圆；（2）是定值，证明：因为点，，过点作椭圆的切线，斜率为，且，与联立消得，由题设得，即，因为点在椭圆上，，代入上式得，而，定值），是定值；例84．（2023·高二单元测试）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．【解析】（1）因为，所以，所以，可得椭圆的右焦点为，可得抛物线C的焦点为，∴，所以抛物线C的标准方程为，准线方程为；（2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设，因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在，且不为0，设过点的直线方程为，联立，消去得：，其判别式，令，得，由韦达定理知，，故为定值－1．例85．（2023·高二课时练习）已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．【解析】（1）设双曲线的标准方程为．易知椭圆的焦点坐标为，离心率为，所以，因为与的离心率之积为，所以的离心率为，所以，即，解得．故双曲线的标准方程为．（2）是定值，理由如下：设，其中，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去并整理得，所以．因为，则，即，所以．由题意得．，即为定值．例86．（2023·高二课时练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值例87．（2023·江苏南京·高二校考期中）已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)求证：直线、的斜率之和为定值.【解析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，所以，双曲线的方程为.（2）证明：由题意，设直线的方程为，设、，联立可得，，解得或，由韦达定理可得，，所以，.可得直线、的斜率之和为.例88．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）设椭圆C：的离心率为，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解析】（1）由题意直线l：，右焦点，F到直线l的距离为，解得，又，所以，则，∴椭圆C的方程为；（2）联立，解得或，不妨设，设，因为点P是椭圆上异于M，N外的一点，所以，则，，所以为定值.经典题型八：斜率问题例89．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.【解析】（1）因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得，所以，，所以，椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）设点、，联立可得，，解得，显然，否则直线过点，由韦达定理可得，，所以，，因此，.例90．（2023·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知椭圆过点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为A，求直线与直线的斜率之积.【解析】（1）由于椭圆过点，所以，所以，所以椭圆的离心率.（2）由（1）可知椭圆方程为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，与椭圆方程联立可求得（不妨设M在第一象限），又，所以，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，消去得，，由韦达定理得，所以.综上，直线与直线的斜率之积为.例91．（2023·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，若椭圆C焦点在轴上，焦距为，且经过点．(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．【解析】（1）设椭圆C的标准方程为，因为，可得，所以椭圆的焦点，，由椭圆的定义，可得，所以，则，所以椭圆C的标准方程为.（2）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，整理得，可得，解得，设，则，所以，代入整理得，当时，此时直线的方程为恒过，不符合题意；当时，可得，解得，此时直线的方程为恒过，又由，可得，解得，且，可得且，所以实数的取值范围是.例92．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．【解析】（1）由题意，，解得，所以.故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得，，且，所以．由题意，，故..此时，，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或.例93．（2023·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知双曲线:的左、右焦点分别为，，离心率为，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.(1)求的值；(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+=，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意得,,所以，所以，因为所以，所以双曲线E：，所以曲线E的左、右焦点分别为，，设，，同理可得∴.（2）设，直线方程为，代入双曲线方程可得：，所以，则，则，，，，同理，即，即，∴或，又，若，无解，舍去.∴，解得，，或，，若，，由A在直线上可得，，∴.此时，若，，由A在直线上可得，，∴此时∴存在点，或，满足例94．（2023·高二课时练习）已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．【解析】（1）双曲线的焦距，；双曲线的渐近线方程为，即，，又，，，双曲线的标准方程为：.（2）由（1）得：，，设，，由题意知：直线的斜率一定存在，则可设，由得：，，解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，，直线的方程为：，即.例95．（2023·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.【解析】（1）由题意得，，解得.所以双曲线方程为：，于是其渐近线为或，即或.（2）设，，因为，所以，整理得.因为点在双曲线上，所以，即，所以.例96．（2023·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.【解析】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，化简可得（2）设直线方程为：，则与椭圆方程联立可得：，则，故或，设，则，.故.

.例97．（2023·高二课时练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．【解析】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．将代入，得．于是，，且，．∴．故为定值2．经典题型九：中点弦问题例98．（2023·江苏·高二专题练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．【解析】如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得．当判别式，即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在．因为，，从而，这就是中点的轨迹的参数方程（其中）．消去得，，由，及，可得，点的轨迹方程为，，即点的轨迹是直线在椭圆内的部分．例99．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设动圆的半径为，依题意得，所以为定值，且，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，，，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，由点斜式得直线方程为，即.所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.例100．（2023·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．(1)求的方程；(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【解析】（1）由题可知，解得，，，故的方程为．（2）设，，则则，即．因为线段的中点坐标为，所以，，则．故直线的方程为，即．例101．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，.由得.则，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中点的轨迹方程为（或）.例102．（2023·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，因此，该双曲线的标准方程为.（2）假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，则有，．根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故直线的方程为，即．联立，消去得，，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．例103．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.【解析】设，，因为为弦的中点，所以，，因为直线与双曲线的相交于，两点，所以，两式相减得，即所以，故直线的方程为，即.经验证该直线与双曲线相交.例104．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，联立方程组，解得，所以双曲线C的标准方程为.（2）假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为，且，则，两式相减得，所以，因为的中点为，所以，所以，解得，直线的方程为，即，把直线代入，整理得，可得，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.例105．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是．(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值；(3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．【解析】（1），即，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线；（2）设，，，则，，两式相减得到：，即，故，故的中点为，代入直线得到，解得或（舍），故.（3）假设存在，直线方程为，双曲线方程为，设，，中点为，则，，两式相减得到，即，，又，解得，.此时直线方程为：，即，，化简得到，方程无解，故不存在.例106．（2023·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【解析】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.例107．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即例108．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．【解析】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.例109．（2023·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为，即，由消去x得：，，设，则有，由，得，于是直线l的方程，即，所以直线l的方程为.（2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线的方程为，由消去x得：，有，解得，设，则，于是线段的中点坐标为，显然点在直线上，即，解得，所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例110．（2023·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由，得，当时，有，得，当时，有，得，故的所有可能取值的乘积为，故选：C例111．（2023·高二课时练习）设集合A＝{1，2，3，4，5}，，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．16个【答案】B【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，n＝1，2，3，4四种结果；当m＝4时，n＝1，2，3三种结果；当m＝3时，n＝1，2两种结果；当m＝2时，n＝1一种结果.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．故选：B例112．（2023·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”．则椭圆中所有“好弦”的长度之和为（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【解析】由已知可得，所以，即椭圆的右焦点坐标为，对于过右焦点的弦，则有：当弦与轴重合时，则弦长，当弦不与轴重合时，设，联立方程，消去x得：，则，故，∵，则，可得，即，∴，综上所述：，故弦长为整数有，由椭圆的对称性可得：“好弦”的长度和为．故选：B．例113．（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（

）A．1 B．4或1 C．2或4或1 D．2或1【答案】A【解析】由题意在双曲线中，焦距即当即时，解得：（舍）或当即时，解得：（舍）或（舍）综上，故选：A.例114．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k，则直线方程为，联立，得，①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点.所