第10讲 难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)（解析版）

第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一有理数中新定义型的有关运算】 1【类型二一列数中的规律探究问题】 5【类型三计算中的规律探究问题】 8【类型四数轴上的规律探究问题】 12【类型一有理数中新定义型的有关运算】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义运算，则．【答案】【分析】根据新定义得出，然后进行乘法计算即可求解．【详解】解：∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的减法以及有理数的乘法运算，理解新定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a，b为自然数，定义，则的值（

）A．34 B．58 C．74 D．98【答案】C【分析】由，可知，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于理解题中新运算法则．2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（

）A． B．8 C． D．4【答案】C【分析】按照新定义进行代值，可得，进行计算即可求解．【详解】解：；故选：C．【点睛】本题主要考查了在新定义下含有乘方的有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．3．（2023秋·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则．【答案】【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为，当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为；【答案】1【分析】根据b值分别将将点A向右移动2个单位长度，将点A向左移动2个单位长度即可得到结果．【详解】解：∵当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；∴当时，P表示的数是；∵当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P；∴当时，P表示的数是；故答案为：1；．【点睛】本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是理解“联动点”的意义．5．（2023·江苏·七年级假期作业）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．，，，请你想一想：(1)；．(2)若，那么（填入“＝”或“≠”）．(3)计算：．【答案】(1)23，(2)≠(3)【分析】（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；（2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将和计算出来，再用作差法比较即可；（3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；；故答案为：23，．（2）∵，，∴，∵，∴∴．故答案为：≠．（3）．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．6．（2023秋·贵州安顺·七年级校联考期末）若，是有理数，定义一种新运算．例如：．试计算：(1)：(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将3看作a，将看作b，按照规定的运算法则进行计算即可.（2）把（1）的结果看作a，把看作b按照规定的运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式（2）原式【点睛】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，理解新运算规定的运算法则，对号入座是解题的关键.7．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）阅读材料：定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．(1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”．(2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个．(3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数．【答案】(1)B(2)4(3)①；②或24【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∴点B是点M，N的“倍分点”．故答案为：B．（2）解：设点D在数轴上所表示的数为x．根据题意，得．①当时，．∴．解得或．②当时，．∴．解得或．综上所述，点在数轴上对应的数有4个．故答案为：4．（3）解：根据题意，得，①当时，．∵点Р在点N的右侧，∴此时点Р在数轴上表示的数为．②当时，．∵点Р在点N的右侧，∵此时点Р在数轴上表示的数为24．综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．【类型二一列数中的规律探究问题】例题：（2023·全国·七年级假期作业）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第5个数为．【答案】【分析】根据分子是序号数的平方，分母是2的序号次方减1，由此即可写出第5个数．【详解】第一个数：，第二个数：，第三个数：，第5个数：．故填：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是掌握从一般到特殊的探究方法，找到规律，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023·全国·七年级假期作业）下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…第2021个数是（）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【分析】通过计算得到，是第1个数；，是第2个数；，是第3个数；，是第4个数；，是第5个数，则数的序号比指数大1，于是得到第2021个数是．【详解】解：∵一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，∴这些数变为：，…，∴第2021个数是．故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．2．（2021秋·广东汕尾·七年级校考期中）观察下面的一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：、、、，…，第6个数是，第100个数是．【答案】【分析】观察数的规律可知，每一项都是分数，且分子为1，分母为该数的序号与比该数的序号多1的数的积，即第n个数为；利用计算即可．【详解】解：第1个数：；第2个数：；第3个数：；…∴第6个数是∴第100个数：；故答案为：，．【点睛】本题考查了数字的变化规律及有理数的加法运算，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．3．（2021秋·七年级课时练习）观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由．（1），_______，_______；（2），_______，________；（3），_______，________；（4），_______，________；【答案】（1）；（2）；（3）32，；（4）0，4．【分析】（1）观察可看出后一个数比前一个大5，以此推断即可；（2）观察可看出分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，以此推断即可；（3）观察可看出第1个数的绝对值是，第2个数的绝对值是，第3个数的绝对值是，第4个数的绝对值是，并且正负相间，以此推断即可；（4）观察可看出第1个数减2得到第2个数，第2个数加4得到第3个数，再减2得到第4个数，加4得到第5个数，以此推断即可．【详解】（1）后一个数比前一个大5，后面两个数为；（2）分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，后面两个数为；（3）第1个数的绝对值是，第2个数的绝对值是，第3个数的绝对值是，第4个数的绝对值是，并且正负相间，后面两个数为32，；（4）第1个数减2得到第2个数，第2个数加4得到第3个数，再减2得到第4个数，加4得到第5个数，后面两个数为0，4．【点睛】本题考查了有理数的数字规律，大胆尝试，小心求证是解决本题的关键．4．（2022秋·全国·七年级专题练习）观察下面三行数：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）；；（2），或；（3）【分析】（1）第①行有理数是按照排列的；（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2，﹣1×22，23，﹣1×24，…，故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；故答案为：；；（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；故答案为：，或；（3）∵第①行的第10个数为，第②行的第10个数为，第③的第10个数为，所以，这三个数的和为：【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字．【详解】解：由，，，，，……可知计算结果中的个位数字以为一个循环组依次循环，∵，∴的个位数字是3，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（

）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而，所以的个位数字是8；故选：C．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，

32=9，末位数字为9，

33=27，末位数字为7，

34=81，末位数字为1，

35=243，末位数字为3，

36=729，末位数字为9，

37=2187，末位数字为7，

38=6561，末位数字为1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，

又2021÷4=505…1，所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．

故选:A．【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．3．（2021秋·全国·七年级专题练习）求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？(1)＝______，＝______；(2)＝______，＝______；(3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______；(4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______．试用你发现的规律计算×【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，．【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案．【详解】解：(1)＝，＝；(2)＝，＝；(3)(－1)4×24＝，(－1×2)4＝；(4)(－5)2×42＝，(－5×4)2＝．规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即am·bm＝(ab)m(m为正整数)．×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4．【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；请回答下列问题：（1）按以上规律列出第个等式：__________________；（2）用含的代数式表示第个等式：__________________为正整数；（3）求的值．（4）求的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．【详解】解：；；，，，；，，，，．【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下面算式的演算过程：

……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________．

____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算：．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．【详解】（1），，，故答案为：，，；（2）原式，，，，．【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一步从k0向左跳一个单位到k1，第二步从k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2处向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位k4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k0表示的数是（）A．0 B．100 C．50 D．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：……当n=100时，∴故选D．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．【详解】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数）（1）当移动次数为奇数时由题意得：解得则此时n的最小值为（2）当移动次数为偶数时由题意得：解得则此时n的最小值为综上，n的最小值为故选：B．【点睛】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键．2．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）点从原点向距离原点左侧1个单位的点处跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第4次跳动后，P点（即表示的数）为．

【答案】【分析】解：根据题意可得第一次跳动到的中点处时，；第二次从点跳动到的中点处时，；第三次从点跳动到的中点处时，，第四次从点跳动到的中点处时，，最后结合线段的和差即可求得答案．【详解】解：∵，∴第一次跳动到的中点处时，，第二次从点跳动到的中点处时，，第三次从点跳动到的中点处时，，第四次从点跳动到的中点处时，，∴第4次跳动后，，∴点表示的数为．故答案是：．【点睛】本题考查了数轴上的找规律问题，此类题目在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解决问题的关键．3．（2022秋·湖南长沙·