因式分解法解一元二次方程典型例题

典型例题一例用因式分解法解以下方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．解：〔1〕方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0y＋1＝0或y＋6＝0∴y1＝－1，y2＝－6(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0∴t1＝，t2＝3．(3)方程可变形为2x2－3x＝0x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0∴x1＝0，x2＝说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，那么可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否那么会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考典型例题二例用因式分解法解以下方程解：把方程左边因式分解为：∴或∴说明:对于无理数系数的一元二次方程，假设左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解以下方程。解:移项得：把方程左边因式分解得：∴或∴说明:在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，那么可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解以下方程〔1〕；〔2〕；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如〔2〕符合平方差公式的结构特征.解：〔1〕原方程可变形为或，∴.〔2〕原方程可化为，即，∴，∴或，∴.说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为的解题思想，是数学中的“化归思想〞.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五例用因式分解法解方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为的形式，然后通过或，求出.解：〔1〕，或.〔2〕，即.∴或，∴〔3〕，即或.∴.〔4〕，即或，∴.说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.典型例题六例用适当方法解以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕〔5〕〔用配方法〕解：〔1〕移项，得，方程两边都除以2，得，解这个方程，得，，即，〔2〕展开，整理，得方程可变形为或，∴〔3〕展开，整理，得，方程可变形为或∴〔4〕∵，∴∴,〔5〕移项，得，方程各项都除以3，得配方，得，解这个方程，得,即，说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式()，假设，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如〔l〕题．假设，,时，可用因式分解法求解，如〔2〕题．假设a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如〔3〕题；有的可用公式法求解，如〔4〕题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如〔5〕题．而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，得，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以，这会丢掉一个根．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．典型例题七例解关于的方程〔〕解法一：原方程可变形为或∵，∴解法二：∵，，，，又，∴∴说明解字母系数方程时，除了要分清数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，此题的解法一显然比解法二要简单．典型例题八例，试解关于的方程分析由，容易得到或．整理关干x的方程，得．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程。解：由，得,∴整理，得当时，原方程为，解得当时，原方程为，解得∴当时，当时，填空题1．方程的根是2．方程的解是3．方程的解是答案：1．2．3．.解答题用因式分解法解以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕.2.用因式分解法解以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕。3．用因式分解法解以下关于的一元二次方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕4．用适当的方法解以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.5．三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程的根，求这个三角形的周长.答案：1．〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.〔5〕，〔6〕