2024届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2024届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得或，所以或，所以，又，所以.故选：B2．“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为，根据三角函数的基本关系式，可得，反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.3．函数的部分图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据是奇函数，排除B，再取特殊值验证.【详解】因为所以是奇函数，排除B，由，排除A，由，排除D．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A选项：，不是奇函数，故A选项错误；B选项：，不是奇函数，故B选项错误；C选项：因为的定义域为，且，∴是奇函数．设，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性知，在上单调递减，故C选项正确；D选项：，因为在上都单调递增，所以在上单调递增，故D选项错误，故选：C．5．计算：的值（）A．0 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】.故选：B6．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】，，..故选：A8．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，有下列命题：①函数的图象关于直线对称

②函数的图象关于点对称③函数在上单调递增

④函数在上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，对于①，当时，，不是函数的最值，故①错误；对于②，当时，，故②正确；对于③，当时，，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令，解得，当时，，在上有4个极值点，故④错误．故选：B.9．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分段函数分段处理，在，各有1个零点，所以有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有5个零点即可.【详解】由题，当时，，显然在上单调递增，且，，此时在在有一个零点；当时，，，所以在上单调递减，，此时在上只有一个零点；所有当时，有5个零点，令，则，即，或，Z，解得，或，Z，当时，；当时，；当时，；由题可得区间内的5个零点，即，解得，即.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.二、填空题10．已知是虚数单位，化简的结果为．【答案】【分析】运用复数运算法则计算即可.【详解】.故答案为：.11．在代数式的展开式中，常数项为．【答案】-5【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得的指数幂为0，即可求得的值.【详解】的展开式的通项为：令，解得，所以，的展开式中的常数项为.故答案为：-512．函数的部分图象如图所示，则．【答案】【分析】根据函数的图像结合正弦函数的图像及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数的图像可知，，则，.把代入，则，，所以，所以.故答案为：.13．在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为米．【答案】27【分析】根据已知可得，在中由正弦定理可得，再利用中计算可得答案.【详解】由图可得，在中，由正弦定理可得，即，在中，，可得米.故答案为：.14．已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围.【答案】【分析】写出的解析式并画出的图象，结合已知条件将问题转化为图象与图象在上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当，，当时，，此时，则，当时，，此时，则，当时，，此时，则，……因为有且仅有5个零点，所以图象与图象在上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当经过点时，两函数图象有4个交点，经过点时，两函数图象有6个交点，所以当图象与图象在上有且仅有5个交点时，则，解得.故答案为：.15．记（）在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为.【答案】/【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出的图象，进而可得，结合已知条件可知只需，即，由可得，联立两者进而可求得结果.【详解】设，（），定义域为，由单调性性质可知，在上单调递增，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，设，则的图象如图所示，

所以的图象如图所示，

则由图象可知，，所以，如图所示，

当时，有，则，①又因为，所以，即，所以，②由①②得，整理得，即，所以.故的最大值为.故答案为：【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)恒成立⇔；恒成立⇔；能成立⇔；能成立⇔.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题16．已知函数.(1)求的最小正周期及对称轴方程；(2)当时，求的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)，.【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【详解】（1），故周期为，令，解得，对称轴方程，（2）∵，∴，当时，即时，，此时，当时，即时，，此时.17．在中，角所对的边分别为，其中，已知.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据，所以或，化简即可得出，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角的大小得出，结合已知，得出，根据基本不等式得出即，即可由三角形面积公式得出答案；或将化简为，由三角形面积公式结合基本不等式得出的面积，即可得出答案.【详解】（1）方法一：由根据正弦定理边化角得：，即，所以，因为，所以，又，所以，又，所以.方法二：由根据余弦定理：得，即，因为，所以，所以，又，得.（2）方法一：由（1）及余弦定理知，所以，因为，所以，化简得，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的面积，所以面积的最大值为.方法二：由（1）及余弦定理知，所以.因为，所以，化简得，即，所以的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为，18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面的法向量，再由向量法求解.【详解】（1）解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.可得，，，，由为棱的中点，得，向量，，故，又为平面的一个法向量，又面，所以平面.（2）向量，，.设为平面的法向量，则，即，令，得为平面的一个法向量，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）向量，设平面的法向量，，即，令，得为平面的一个法向量，则.19．已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求C的方程；(2)如图，经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且面积为，求k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出的值，进而可得结果；（2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得出斜率，联立方程组得出点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于的方程，解出即可得结果.【详解】（1）由题意可得，解得，，，∴椭圆C的方程为.（2）易知椭圆左顶点，设直线l的方程为，则，，由，消y可得，设，，，∴，则有，，∴，，∴，∴直线EM的斜率，∴直线EM的方程为，直线AH的方程为，∴点，∴点M到直线的距离，∴，∴，∴，解得.20．已知函数.（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若使有两个不同的零点，证明：.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）当时对求导，证明时，即可.（Ⅱ）设函数，根据函数的单调性判断与的关系，根据恒成立，确定的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出，得到，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，因为，所以，（Ⅱ）设函数，则，令，当时，当时，，当时，，得，所以当时，在上为单调递增函数，且，所以有，可得．当时，有，此时有两个零点，设为，且.又因为，，所以，在上，为单调递减函数，所以此时有，即，得，此时不恒成立，综上．（Ⅲ）若有两个不同的零点，不妨设，则为的两个零点，且，，由（Ⅱ）知此时，并且在，为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，所以，，因为，，，且图象连续不断，所以，，所以，因为，综上得:.【点睛】方法点睛：求不等式恒