2022-2023学年高二数学上学期期中+期末高效复习课第三章圆锥曲线的方程章节综合检测新高考题型提高卷含解析

Page1第三章圆锥曲线的方程章节综合检测（新高考版提高卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（

）A．1B．2C．4D．6【答案】C【详解】由，可得其焦点，准线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，则，解得，故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个【答案】D【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.3．（2022·重庆·高二期末）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知方程可以变形为，即，∴其表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，又由，可得，故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（

）．A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等【答案】B【详解】解：椭圆，可知，，，长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．椭圆中，，，，长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．故选：B．5．（2022·全国·高二课时练习）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个焦点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（

）A．－4 B．－3 C． D．－2

【答案】D【详解】如图，连接，设，则，因为，，所以，，在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．故选：D6．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C7．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，根据可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.8．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设上的切点分别为H､I､J，则.由，得，∴，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，当时，；当时，由题知，，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，综上所述，.故选：B.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（

）A．的准线方程为B．直线与相切C．若，则的最小值为D．若，则的周长的最小值为11【答案】BCD【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所以，所以，故C正确；如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ABC【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC11．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（

）A．椭圆C的离心率为B．椭圆C上存在点P，使得C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2【答案】BC【详解】对于选项A，因为，，所以，即，所以椭圆C的离心率，故A错误；对于选项B，设点为椭圆上任意一点，则点P的坐标满足，且，又，，所以，，因此，令，可得，故B正确；对于选项C，由椭圆的定义可得，因此的周长为，故C正确；对于选项D，设点为椭圆上任意一点，由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以则，故D错误．故选：BC．12．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，【答案】BCD【详解】设，，，，，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m＝______．【答案】9或17【详解】解：因为表示椭圆，所以且，又椭圆的焦距为4，所以，即，当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；故答案为：9或17.14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．【答案】【详解】依题意可知，设，，因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，将其代入，得，又因为，所以，．故答案为：15．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．【答案】【详解】设椭圆设由椭圆的定义可得，可得取的中点，连接，则由勾股定理可得即为将带入上式化简可得，所以，所以，所以或者，所以或（舍），所以.故答案为：．16．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则当双曲线的实轴长为______时，取得最大值______．【答案】

4

4【详解】解：因为的周长为16，且，所以的周长为32，将代入双曲线得，解得，所以，因为①，②，所以①-②得，所以，所以，则，当且仅当即时，等号成立，所以当双曲线的实轴长为4时，取得最大值4，故答案为：4；4四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆：（），长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，．(1)证明：四边形为菱形；(2)若四边形的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程．【答案】(1)证明过程见解析；(2).（1）因为长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，，所以，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形为菱形；（2）由（1）可知：四边形为菱形，因为四边形的面积为120，边长为13，所以有，椭圆的标准方程为：.18．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或(1)由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.由得，则……①，……②，因为，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直线的方程为或，故答案为：，或.19．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)3(1)△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，故，因面积的最大值为，故，故，故椭圆的标准方程为：.(2)设，则由可得，此时恒成立.而，到的距离为,故的面积，令，设，则，故在上为增函数，故即的最大值为3.20．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．【答案】(1)椭圆，拋物线(2)（1）解：根据题意得：，解得，，，所以，抛物线焦点，所以，椭圆，拋物线（2）解：设，联立与椭圆，整理得：，

判别式：弦长公式：点到直线的距离为所以联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：，点到直线的距离为所以，因为，即，解得：.所以，直线在轴上截距或，所以，直线在轴上截距取值范21．（2022·上海金山·高二期中）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆雉曲线的焦点，点，为曲线所在圆雉曲线的焦点(1)若，求曲线的方程;(2)如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；【答案】(1)和(2)，（1）解：因为，，所以，解得，所以曲线的方程为和；（2）解：曲线的渐近线为，设直线则又由数形结合知，所以设点，，，则所以，，所以，即点的轨迹为，；22．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.(1)求椭