2022届高考数学真题和模拟重组卷一（新高考地区专用）（解析版）

冲刺2022年高考真题重组卷01（新高考地区专用）

数学试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.(2021•全国•高考真题)设集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},则4口何8)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{153}

【答案】B

【解析】

由题设可得48={1,5,6},故Ac(S3)={1,6},

故选：B.

2.(2020•全国•高考真题)若z=l+2i+『，则团=()

A.0B.1

C.72D.2

【答案】C

【解析】

因为z=l+2i+尸=l+2i—i=l+i，所以恸=/齐=0.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题.

3.（2021♦全国♦高考真题）若ae（0,g],tan2a=J贝ljtana=（）

V2J2-sma

A.叵B..D-半

1553

【答案】A

【解析】

cosa

,/tanla=-----------

2-sina

八sin2a2sinacoscr_cosa

tan2a=--------=

cos2al-2sin2a2-sin。

f万、,、2sma1有/日.1

,/aen0,—,二.cosa声。，------—=-------,『件得sina=一,

V2)l-2sina2-sina4

r—-A/15sinaV15

cosor=5/1-sin-cr=------，tana=--------=-------.

4cosa15

故选:A.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

4.(2020・全国•高考真题)已知A为抛物线C：V=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y

轴的距离为9,则p=()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

设抛物线的焦点为巴山抛物线的定义知|AF|=4+^=12,即12=9+多解得p=6.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

5.(2021•全国•高考真题)已知a=logs2,&=logs3,c=；,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【解析】

a=log52<log5>/5=；=logs25/2<log83=b,即a<c<b.

故选：C.

6.(2021.全国•高考真题)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,()111(),10101,1011(),1101(),

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为《=0.6,

故选：c.

7.(2020•全国•高考真题)数列｛0｝中,4=2,对任意m,neN\am+n=aman,若

4+I+4+2_|1_a**,。=2"—2'，则”=()

【答案】C

【解析】

在等式%"+“=a,„a„中，令〃7=1,可得a„tl=ana1=2a,

所以，数列｛4｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则可=2x2"—=2”,

,010

aI+,-(l-2)2^-(1-2)

2*+I(2I0-1)=25(2,0-1)-

,ak+l+必+2+…+4+K)==

2k+>=25)则％+1=5,解得％=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等

题.

8.(2021.全国.高考真题)设a*0,若x=。为函数〃x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a'b.

.•J(x)有x="和=8两个不同零点，且在。左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，

x=a为函数/(x)=a(..a)2(x-/>)的极大值点，，在左右附近都是小于零的.

当。<()时，由x>h,/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知匕<a,a<0,故时>/.

当a>0时,由尤〉b时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知〃«>0,故外>/.

综上所述，灿>/成立.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2022・全国•高三专题练习)下列说法正确的有()

A.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB

B.等差数列仅〃｝中，田、。3、0成等比数列，则公比为g

23

C.已知。>0,b>0,a+h=1,则—的最小值为5+2通

ah

D.在△ABC中，已知一二=一2二=一1，则A=60。

cosAcosBcosC

【答案】ACD

【解析】

对于A,在△48C中，当A>8,则由正弦定理可得sinA>sin8,所以A正确，

对于B,设等差数列｛m｝的公差为d,则〃3="i+24,〃4=«^+^,因为“八出、〃成等比数列，所

以(q+2疗=q(q+3d),解得&=0或4==1",当"=。时，公比为1,当q=T4时，公比为3，所以

B错误，

对于C,因为a>0,b>0,a+b=\,所以入。=(2+%+。)=2+即+”+325+2庐•”=5+2#,

abyab)ba\ba

当且仅当¥=竺时，取等号，所以c正确，

ba

对于D,因为一：=3==，所以由正弦定理得当=吗=丝二，所以tanA=tan3=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

因为A,B,Ce(0,m,所以A=8=C=W，所以D正确,

故选：ACD

10.（2021•全国•高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足MN_LOP的是（)

【答案】BC

【解析】

设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角,

在直角三角形OPC，OC=0，CP=1，故tanNPOC=*=¥，

故MN±OP不成立.，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为。，连接PQ,Q2,则OQLN7,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SNLOQ,而SNRMN=N,故。。,平面朝™,

又MNu平面SNTM,OQ1MN,而OQn「Q=Q，

所以MNL平面OPQ,而POu平面。PQ,故MN±OP,故B正确.

时于C,如图(3),连接80,则BD//MN,由B的判断可得OPJ_8。,

故OPLMN,故C正确.

对于D,如图(4),取AD的中点Q,A8的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为/)P=PC,故PQ//AC,椒PQHMN,

所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图⑷

因为正方体的棱长为2,故PQ=gAC=0,OQ=y]AO2+AQ2==^3,

PO=>/^^石产="[斤=石，QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故？O,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

11.(2021.全国.高考真题)已知。为坐标原点，点6(cose,sine),g(cos/?,-sin尸)，

6(cos(c+/?),sin(<z+尸))，A(l,0),则()

A.|西=|西|B.|福卜|碉

c.OAOP3=OP.OKD.函•西=困函

【答案】AC

【解析】

A：。升=(cosa,Sina),OR,=(cos0,-sin/?),所以|西|=>/cos2a+sin2a=1.|丽|=^(cos/?)2+(-sin；0)2=1.

故|研R函I，正确：

B：AI\=(coscr-l,sina),AP2=(cos/7-l,-sin^),所以

|西|=J(cosa-l)2+sin2a=Jcos。a-2cosa+l+sin2a=J2(l-cosa)=^4sin2=2|sin-y|,同理

|砧|二J(cos夕—1尸+sin?尸=21sin4|,故|斯年|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OP^=1xcos(6Z4-p)+Oxsin(cr4-/?)=cos(cr+p),

Of]OP,=cosa-cos/?+sincr•(-sin/?)=cos(a+p),正确；

D：由题意得：函Oq=lxcosa+Oxsina=cosa,OR,OP3=cos(ixcos(ez4-/3)+(-sinp)xsin(a+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说丽.西土漉.的故错误；

故选：AC

12.（2021•全国•高考真题）设正整数〃=4-2°+q・2+…+412I+%"',其中a”{0,l},记

口（九）=%+4+•••+%.则（）

A.G（2〃）=G（H）B.G（2〃+3）=矶〃）+1

C.G（8〃+5）=G（4〃+3）D.矶2"-1）=〃

【答案】ACD

【解析】

对于A选项,G（〃）=q）+。］+••,+%,2〃=4•+q•2~+…•2"+4•2'”，

所以，况2〃）=%+4+…+%=M〃）,A选项正确;

对于B选项,取〃=2,2n+3=7=l-2°4-b2,+l-22,二。⑺=3,

而2=0.2。+1.2、则少⑵=1,即0⑺。妫2）+1,B选项错误；

34+30234+3

对于C选项,8n+5=a0-2+aI-2+...+ajt-2*+5=b2+l-2+a0-2+a1-2+...+aJt-2*,

所以，G（8〃+5）=2+/+q+…+%,

4〃+3二旬•2“+4•2,+…+%.•2+3=1•2°+1•2,+4•2〜+《•2,+…+%•2"〜，

所以，3（4〃+3）=2+4+q+…+外,因此，3（8〃+5）=口（4〃+3）,C选项正确；

对于D选项，2"-l=2°+2i+…+2"-1故。（2"-1）="，D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2019•全国・高考真题）（1+2X2）（1+x）4的展开式中x■'的系数为

【答案】12

【解析】

由题意得/的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

14.（2017•山东•高考真题）若直线2+；=1（a>0,匕>0）过点（1,2）,贝IJ24+/7的最小值为________

ab

【答案】8

【解析】

解：因为直线±+¥=1（a>0,。>0）过点（1,2）,所以1+^=1,

abab

因为a>0,bX）

所以2.+匕=（攵+0）（，+：）=2+y+2+224+2^^=8,

当且仅当华=2,即a=2,b=4时取等号，

ba

所以/(X)=2cos12x-目

〃/7兀、-(11兀、，~4九、八(5九、八

因为/(-］)=2cos(---1=1,/(y)=2cosly1=0；

7jr4TT

所以由(/«-/(--))(/«-/(—))>0可得f(x)>1或f(x)<0；

43

因为〃l)=2cos(2-£|<28S《_£|=1,所以,

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(均<0,即cos(2x-己)<0,

解得女兀+£<x<z兀+2,z$z,令左=o,可得c<x<旦，

3636

可得x的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/(幻<0,又F(2)=2COS(4-E)<0,符合题意，可得X的

最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】

关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解。，根据特殊点求解心

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2021•全国•高考真题)(10分)

已知数列｛4｝的各项均为正数，记S”为｛4｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一

个成立.

①数列｛4｝是等差数列：②数列｛后｝是等差数列；③叼=3《.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】

选①②作条件证明③：

［方法一］：待定系数法+。“与S,,关系式

设厄=an+b(a>0),则S“=(

当〃=1时，4=S=(a+b『；

当〃22时，an=S〃-S〃_］-^an-a+b^=a(2cin-a+2b)；

因为｛叫也是等差数列，所以(a+4=a(2-力)，解得2=0；

所以%=/(2〃-1),6=",故生=3/=3%.

【方法二］：待定系数法

设等差数列｛/｝的公差为4等差数列｛疯｝的公差为4，

则疯=用+（〃-1）4，将5"="4+"（：Dd代入底=8+（n-D4，

化简得家+（%-〃=4>2+仅册4-2d：）“+（"-dJ对于V〃€N*恒成立.

d=2d；,

则有，2q-d=4屈％-4d：,解得d=日,（1=2%.所以%=3q.

飙'-4=0,

选①③作条件证明②：

因为%=3q,｛%｝是等差数列，

所以公差"="2-4=2q,

2

所以S“=nat+“（：Jd=nat,即=飙""，

因为7^7_£=用（〃+1）_用〃=瓜，

所以｛底｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

［方法一］:定义法

设,则5“=（“”+8『，

当〃=1时，4=S［=（a+〃）2：

当n22时，an=Sn-Sll_,=（an+t）y-（an-a+ft）'=a（2an-a+2b）；

因为％=3q,所以a（3a+2Z））=3（a+Z>y,解得力=0或方=--£；

当匕=0时，卬=/,%=/（2〃-1）,当〃22时，%-可」=2/满足等差数列的定义，此时｛%｝为等差数列；

当6=-当时，y［s^=an+b=an-^a,同=~|<0不合题意，舍去.

综上可知｛%｝为等差数列.

［方法二］【最优解】：求解通项公式

因为%=34，所以店="，叵=加+出=2日,因为｛后｝也为等差数列，所以公差

d1=Fi-至=弧，所以心\施+（"-1）4="式，故5,="%，当”22时，

a„=S„-S„_,=n2a,-（n-l）2^=（2«-1）«,,当〃=1时，满足上式，故｛4｝的通项公式为例=（2〃-1）4,所

以a,-=（2"-3）4，%-%=24,符合题意.

【整体点评】

这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住己知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，

法一：利用等差数列的通项公式是关于"的一次函数，直接设出其=曲+。（。>0）,平方后得到S“的关系

15.,n=1（.

式，利用4=°c、.得到｛a,J的通项公式，进而得到。2=3q,是选择①②证明③的通式通法：法

rt2

pn-\-p-

二：分别设出｛%｝与｛S,,｝的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系

4=用，"=2q,进而得到g=3q；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出5“及底，进而由

等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于”的一次函数，直接设事

疯=〃〃+优。>0）,结合a“,S”的关系求出%,根据可求b,然后可证｛《,｝是等差数列；法:：利

用区是等差数列即前两项的差4=底-店=用求出公差，然后求出£的通项公式，利用

［S.,72=1（.

°c、°，求出｛%｝的通项公式，进而证明出结论.

18.（2021•全国•高考真题）（12分）

记AABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,J已知〃=ac,点。在边AC上，B£»sinNABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosNABC.

【解析】

（1）设AABC的外接圆半径为凡山正弦定理，

bc

得sinZABC=—,sinC=—,

2R2R

bc

因为8£>sinNABC=asinC,所以8。=a,即%）乃=四.

2R2R

又因为Z>2=ac,所以80=6.

（2）［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

2»2,2

因为4）=2£心，如图，在A45C中，cosd十一。,①

2ab

3

由①②得。2+/-，2=3/+（勺2-从,整理得2/-/从+。2=0.

又因为b'ac,所以6〃一lkzc+3c2=0,解得〃.或a音，

2（£）2+C2_S

当4=£/2=衣=J时，cosZABC=^--------3_=，（舍去）.

336

2

aa2i—）十c-------

当4=汇,/="=二时，cosNABC=-^----2_

7

所以cos/43C=—.

12

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，己知AD=2Z)C，则50即二^4人%，

即,x2及sinZ.ADB=—x—acxsinZ.ABC,

---------------------'（、

而。2=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAZ）3=NABC,从而NAB0=NC.

bcr\RA

由。2=w,BP-=r»即[7：二=，即△ACBsaABD,

bCBBD

2

又白=ac,所以c=§〃

cosZABC=---------

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合

21

由（1）知3£>=〃=AC,再由AO=2OC得AO=—Z?,CO=—8.

33

在△AQB中，由正弦定理得

sinZABDsinA

又NABD=/C,所以_6，化简得sinC=]sinA.

sinCsinA

22

在AABC中，由正弦定理知c=5%又由从=碇，所以

24222

2.2_>2CT-\--Cl~---Cl-7

在AABC中，由余弦定理，得cosZA8C=3:一一=-93一=

2时2x2/12

3

7

故cos/4BC=—.

12

［方法四I：构造辅助线利用相似的性质

如图，作OE〃Afi，交BC于点，则△DECSA/WC.

111AD=2DC,得DE=3，EC=g,BE=^.

在△应:。中，cosZBED=-^~/-----.

g2。c

33

在AABC中cosZ.ABC=---------.

2ac

因为cosZABC=-cos/BED,

乙,—,—

33

整理得6/-1仍2+3。2=（）.

又因为从=ac,所以6/-1lac+3。？=0,

即。=|"或a="1c.

下同解法1.

［方法五1：平面向量基本定理

〜HUMUUU

因为A0=2DC,所以AO=2OC.

_.―_.21―.

以向量BA,BC为基底，^BD=-BC+-BA.

所以而,Jm丽.就+1丽2,

999

g|Jb1=—cr+—accosZABC+—c2,

999

又因为b'ac,W9ac=4a2+4ac-cosZABC+c2.③

由余弦定理得〃=/+C2-2/8$443（7,

所以ac=片+<?2-2accosZABC@

联立③@,得6a2_1底+3c2=0.

31

所以“=一。或。=一。.

23

下同解法1.

［方法六］：建系求解

以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点O垂直于4c的直线为y轴,

OC长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则0（0,0）,A（-2,0）,C（l,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以点8在以。为圆心，3为半径的圆上运动.

设3（x,y）（-3<x<3）,则j?+y2=9.⑤

由》2=〃c知，忸AH8C|=|AC「，

即J（x+2）2+y2.J（x—1）2+y2=9⑥

7795

联立⑤⑥解得x=-（或%=户3（舍去），y嗑,

代入⑥式得a=|BC|=3限,c=|BA|=\[6,b=3，

2

由余弦定理得cosZABC=.

lac12

【整体点评】

（2）方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题：

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将

其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加宜

观化.

19.(2020•全国•高考真题)(12分)

如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.AABC是底面的内接正三角

形，P为£>0上一点，PO=—DO.

(1)证明：平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

【解析】

(1)［方法一］:勾股运算法证明

山题设，知△D4E为等边三角形，设AE=1,

则£>0=迫，CO=BO=1AE=1，所以20=逅。0=变，

22264

PC=\IPO2+OC2=J^=PB=PA

4

又AABC为等边三角形，则一^=2。4,所以5A=@,

sm602

3

P^c+PB-=-=AB2,则ZAP8=90»,所以E4_LPB,

4

同理月4_LPC,又PCflPB=P,所以P4J_平面PBC；

［方法二］:空间直角坐标系法

AR

不妨设"=26，则AE=AD=—^=4,由圆锥性质知。平面43C,所以

sin600

DO=>JAD2-AO2=V42-22=25/3>所以PO=旦DO=拒.因为。是AABC的外心，因此AE_LBC.

6

在底面过。作BC的平行线与•的交点为W,以。为原点，诉方向为x轴正方向，赤方向为y轴正方

向，历方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O-Ayz,

则A(0,-2,0),仇外,1,0),C(-V3,l,0),£(0,2,0),P(0,0,&).

所以衣=(0,2,夜)，丽=(-6,-1,夜)，CP=(73,-1,72).

故丽•丽=0-2+2=0，APCP=0-2+2=0.

所以APLCP.

又BPC\CP=P,故AP_L平面PBC.

［方法三］:

因为AABC是底面圆。的内接正三角形，且AE为底面直径，所以A£_L8C.

因为。0（即尸O）垂直于底面，BC在底面内，所以

又因为尸Ou平面R4E,Mu平面R4E,PO\AE=O,所以8CL平面R4E.

又因为以u平面B4E,所以叫L3C.

设AEn8C=F,则尸为8c的中点，连结

设£X?=a,且PO=^DO,

6

则AF=—a,PA=立^a，PF=\a.

222

因此B42+PF2=A产，从而R4J_PF.

又因为PFnBC=b,所以R4,平面P8C.

［方法四］:空间基底向量法

如图所示，圆锥底面圆。半径为R,连结DE,AE=AD=DE,易得OD=J5R,

D

因为尸。=逅。£＞，所以PO=^R.

62

以次,而，丽为基底，0。_1_平面486,则/=正+而=_丽+如而，

6

RP=BO+OP=-OB+—OD,h.OAOB=-^-R2,OAOD=OBOD=Q

62

2

所以加而/_砺+逅历:\LoB+^db］=OA.OB-dA-^-OD-dB-^-OD+-dD=0.

I6JI6J666

故Q・丽=0.所以而_L而，即AP_L8P.

同理APL”.又8PnCP=P，所以APJ•平面P8C.

(2)［方法一］:空间直角坐标系法

过O作ON〃BC交AB7点、N,因为PO_L平面A3C,以O为坐标原点，04为x轴，ON为)，轴建立如图

所示的空间直角坐标系，

6C(T¥，。)，

no/16V2pT：z1

PB=一一—），PE=（--,0n,一一—）,

44424

设平面PCB的一个法向量为3=&,%4),

隔，得

Lb-::况:：St—…一

所以5=（&,0,-l）,

设平面PCE的一个法向量为正=（々,%"2）

fnPC=Q—x）—_yp2.z^=0.—

由一，得《~%2,令］,得加空

22

m-PE=0-2X2-V2Z2=03

所以相=（1,，^,-&）

3

nm2&2石

,,cos<m,n>=————-

故\n\-\m\fTVio-

V3

设二面角5-PC-E的大小为6,由图可知二面角为锐二面角，所以cosJ=2叵.

5

［方法二］【最优解】：几何法

设BCn4E=F，易知尸是BC的中点，过F作尸G〃"交PE于G,取PC的中点”,

联结GH,则狼〃尸3.

由R4J-平面PBC,得FG1.平面P8C.

由（1）可得，BC2=PB2+PC2，得PB工PC.

所以根据三垂线定理，得GHLPC.

所以ZGHF是二面角B-PC-E的平面角.

设圆。的半径为心则A/=A8sin60o=±3r,AE=2r,EF=1-r,E—F=1-,所以FG=1-PA,

22AF34

FH=$B=；PA,肾;

FG1

在RtAGFH中,tanZGHF=——=—

FH2

cosZG//F=—

5

所以二面角8-PC-E的余弦值为W.

［方法三］:射影面积法

如图所示，在PE上取点儿使HE=lpE,设8CnAE=N,连结NH.

4

由（1）知NE=、AE,所以〃尸A.故M7_L平面PBC.

4

所以，点，在面PBC上的射影为N.

S

故山射影面积法可知二面角3-PC-E的余弦值为cosO=”里.

、”CH

在APCE中，令PC=PE=&,则CE=1,易知SJCE=且.所以S/CH=3S/CE="^

244A16

3

又以3=1/咏=3球故co八s"产SPCN=亲义=可2V5

2O°&PCHJ

16~

所以:面角PC-E的余弦值为乎.

【整体点评】

本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算证明，是在给出

数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的学生提供了可行

的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，此解法在解答

题中用的比较少；

（2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，

通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法

求解二面角，提高解题速度.

20.（2018•全国•高考真题）（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格

品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有

产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0<P<D,且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P）,求/（P）的最大值点Po；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的P。作为。的值.已知每件产品

的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解析】

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）=<4p2（l-p1.

因此尸（p）=%[2p（l-8P2（1-p）[=2C；°p（l-p）'7（l-10p）.

令f'⑺=0,得p=0.1.当pe（（）,（）.l）时，/'（〃）>0；当pe（0.1,l）时，

所以的最大值点为外=。1;

（2）由（1）知，p=0.1.

（i）令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知y〜8（180,0.1）,X=20x2+257,即

X=40+25F.

所以EX=E（40+25Y）=40+25"=490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于欧>400,故应该对余下的产品作检验.

【点睛】

该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公

式，再者就是对•其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型

随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.

21.（2018•全国「高考真题）（12分）

已知斜率为左的直线/与椭圆C：占+二=1交于A,8两点，线段A8的中点为例（1，，”）（机>0）.

43

（1）证明：

2

（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点，且丽+而+而=0.证明：周，府|而|成等差数列，并求

该数列的公差.

【解析】

（1）设Aa，x）,3（W，%），则乎+日=1,苧+[=1.

两式相减，并由上二&=/得

43

由题设知百芋=1,且抖=〃?，于是

22

&=-3-①

4m

31

由题设得故&

（2）由题意得尸（1,0）,设尸（£,%），则

（玉-1,%）+（与-1,乂）+伍-1,%）=（0,0）.

由（1）及题设得七=3-（玉+%2）=1,必=一（乂+%）=-2a<0.

又点?在c上，所以，〃=；,从而|方|=|.

于是

|FA卜J®T）'+）；=小1-1）~+3（1-曰=2-y.

同理|喝=2-5.

所以|西|+|而|=4-3&+々）=3.

故2府卜|冏+|而|,即匠尸丽|成等差数列.

设该数列的公差为d,则

2同引而呵=；|西一占卜;J（X|+》2丫-4入径.②

3

将机=9代入①得2=-1.

4

71

所以/的方程为y=r+9代入C的方程，并整理得7/—1以+；=0.

44

故玉+工2=2//=击，代入②解得同=噜.

所以该数列的公差为题或-通.

2828

点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算

量，第二问由已知得到所+两=0,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的

计算能力，难度较大.

22.(2021•全国・高考真题)(12分)

设函数f(x)=ln(“-x),己知x=0是函数y=^(x)的极值点.

(1)求〃；

(2)设函数gax一就丁.证明:g(x)<i.

【解析】

(1)由/(x)=ln(a_x)n/'(x)=——,y=.x/(x)=>y'=ln(a-.x)+X,

x—Clx—Cl

又x=0是函数y=W(x)的极值点，所以y'(0)=lna=0,解得a=l；

(2)［方法一］:转化为有分母的函数

由(［)知，+L其定义域为(e,O)U(O,l).

xln(l-x)In(l-x)、x

』,、I111r11x-\

要证g(x)<l,即证--+-<1,即证/3-r<lt—=——.

In(l-x)xIn(l-x)xx

(i)当/£(0』)时・，■—)—<0,±匚<0,即证ln(l-x)>上.令/(x)=ln(l—x)-——,因为

ln(l-x)xx-lx-\

—1―1x

^(X)=--^―=^>0,所以尸(x)在区间(0,1)内为增函数，所以/(x)>尸(0)=0.

(ii