522同角三角函数的基本关系（五大题型）

5．2．2同角三角函数的基本关系【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题题型三：与关系的应用题型四：利用同角关系化简三角函数式题型五：利用同角关系证明三角恒等式【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．（23·24·湖北·学业考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设.故选：A例2．（23·24上·重庆·阶段练习）已知第二象限角的终边过点，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为角的终边过点，所以，所以.故选：A例3．（23·24上·定西·开学考试）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，而，所以.故选：D变式1．（22·23下·遂宁·阶段练习）若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以，解得；因为，所以，所以.故选：A.变式2．（22·23下·宜宾·期中）已知，其中，的值为（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【解析】因为为第四象限角，所以.故选：A.变式3．（22·23下·省直辖县级单位·期中）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以，.由可得，.故选：B.变式4．（21·22下·黔东南·期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，∴或，因为，，所以.由及得，∴，所以．故选：A变式5．（21·22上·临汾·期末）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.，所以，，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：A.【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题例4．（23·24上·奉贤·阶段练习）若，那么．【答案】1【解析】故答案为：1例5．（23·24上·全国·课时练习）若，则.【答案】【解析】，，解得：.故答案为：.例6．（23·24上·南昌·阶段练习）若，则.【答案】【解析】，.故答案为：.变式6．（21·22上·全国·单元测试）已知，则＝.【答案】【解析】因，则，又，则.故答案为：变式7．（22·23·全国·随堂练习）已知，计算：(1)；(2)【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以变式8．（22·23上·商洛·阶段练习）已知，求下列各式值．(1)(2)【解析】（1）的分子和分母同除以得，解得，故；（2）.变式9．（22·23下·自贡·期中）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【解析】（1）由于，所以，所以.（2）.变式10．（22·23·全国·单元测试）已知，.求:(1);(2).【解析】（1）所以，解得或.∵，∴，∴.（2）原式.【方法技巧与总结】①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．题型三：与关系的应用例7．（23·24·鞍山·二模）已知是第四象限角，且满足，则．【答案】【解析】由是第四象限角，可得，则，因为，可得，可得，又由，因为，可得，联立方程组，可得，所以.故答案为：.例8．（22·23·全国·专题练习）若，则.【答案】【解析】，两边平方得，∴，则．故答案为：．例9．（22·23下·遵义·期中）已知为第四象限角，且，则.【答案】/【解析】因为为第四象限角，则，，则，因为，将代入上式可得，因此，.故答案为：.变式11．（22·23上·红河·期末）已知为第一象限角，则.【答案】【解析】由平方得，解得：，又因为第一象限角，故.故答案为：变式12．（23·24上·长寿·期末）已知，则.【答案】或【解析】由可得，即所以，可得；①当时，联立，可得，即；②当时，联立，可得，即；故答案为：或变式13．（22·23下·乐山·阶段练习）已知，若，则的值为【答案】【解析】因为，，则有，有，即，，因此，所以.故答案为：变式14．（22·23下·广安·阶段练习）已知，且，则．【答案】【解析】因为，则，即，而，即有，因此，所以.故答案为：变式15．（22·23下·日照·阶段练习）已知、是关于的方程的两根，则的值是________.【答案】【解析】∵、是方程的两根，∴，.∴，整理得，即.∴或.又、为实根，∴.即，∴不合题意，舍去.故.∴.故答案为：.变式16．（22·23上·济宁·期末）若，，则.【答案】/【解析】，故，故，，故，，，，故.故答案为：变式17．（22·23上·苏州·期末）已知，则．【答案】【解析】由得：，解得：；由得：又因为,且,所以即所以则故答案为：.变式18．（22·23·全国·课时练习）已知，则．【答案】【解析】由平方得，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，联立解得，所以，故答案为：.【方法技巧与总结】三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．题型四：利用同角关系化简三角函数式例10．（22·23·全国·随堂练习）化简与求值(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例11．（22·23下·萍乡·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．例12．（22·23·全国·随堂练习）化简．(1);(2)【解析】（1）由同角的平方关系可得，.（2）原式变式19．（22·23·全国·课堂例题）化简：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）因为，所以．原式．变式20．（22·23·全国·专题练习）化简：.【解析】因为，所以，原式【方法技巧与总结】化简要求（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．题型五：利用同角关系证明三角恒等式例13．（22·23下·潍坊·阶段练习）（1）若，化简：；（2）求证：.【解析】（1）原式，因为，所以，原式.（2）证明：.例14．（22·23·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）左边==右边，故得证，（2）左边==右边，故得证，（3）左边==右边，故得证，（4）左边==右边，故得证例15．（22·23下·许昌·期中）证明：.【解析】左边右边.所以.变式21．（20·21·全国·单元测试）求证:.【解析】方法一:左边======右边.方法二:左边=====

=右边.变式22．（22·23下·浦东新·开学考试）证明：．【解析】证明：，即.变式23．（22·23·全国·课时练习）证明下列恒等式：．【解析】左边右边，所以原等式成立.变式24．（21·22·全国·课时练习）求证：(1)；(2).【解析】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.变式25．（21·22·全国·课时练习）求证：(1)(2)【解析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．【详解】（1）左边右边.即证.（2）左边右边.即证：.【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．【过关测试】一、单选题1．（23·24·全国·专题练习）已知，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B2．（23·24上·福建·期中）已知是三角形的内角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是三角形的内角，所以，即，又，所以.故选：B3．（23·24上·六安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，即，显然，所以，则，又，所以，所以.故选：D4．（23·24上·连云港·阶段练习）是第二象限角，则（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【解析】因为是第二象限角，则，所以，.故选：B.5．（23·24上·徐州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故，即，即，因为，故，.故.故选：C6．（23·24上·咸阳·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，可得，可得，所以.故选：A.7．（23·24上·湖北·阶段练习）若实数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】由，则，又，得．故选：A．8．（23·24上·银川·阶段练习）若，则α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】显然，因此，从而，对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；对于C，因为为第三象限角，所以，C可能；对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.故选：B二、多选题9．（22·23下·上饶·阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由可得，，则，即解之得或,又，则，故，则选项B判断正确；由，可得为第四象限角，又，则，则选项A判断错误；，则选项C判断错误；，则选项D判断正确.故选：BD10．（22·23下·广东·期末）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为点绕点O逆时针旋转后到达点，所以，因为，所以，则由，解得，或，所以可以取或，故选：AD11．（22·23下·辽宁·期中）若，则α可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，所以，所以，所以，对于A，因为为第四象限角，所以，故A正确；对于B，因为为第二象限角，所以，故B错误；对于C，因为为第三象限角，所以，故C正确；对于D，因为为第四象限角，所以，故D正确.故选：ACD.12．（22·23下·长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．，则 D．若，则【答案】AD【解析】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．当时，，，所以C错误．反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．故选：AD．三、填空题13．（24·25上·呼和浩特·开学考试）若，，则．【答案】/【解析】由题设.故答案为：14．（22·23·全国·专题练习）如果，那么，，．【答案】1/0.6【解析】由，得，，．故答案为：1，，15．（22·23下·新疆·期末）已知α为第三象限的角，且，则．【答案】【解析】因为为第三象限的角，，所以，所以故答案为：．16．（22·23下·长沙·阶段练习）已知，，则的值为．【答案】【解析】由题意，两边同时平