2022届泰州高考临考冲刺数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线=1（。＞0力＞0）的左焦点为产，直线/经过点尸且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲线

的左支交于不同的两点A,B,若衣=2丽，则该双曲线的离心率为（）.

A.叵「2V3

L•---------D.乖）

33

2.执行如图所示的程序框图，如果输入re[-2,e2],则输出S属于（）

A.[-3,2]B.[-4,2]C.[0,2]D.[-3,e2]

3.《周易》是我国古代典籍，用“圭卜”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中表示一个阳爻，表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

4.在等差数列{4}中，若S,为前〃项和，2%=3+12,则几的值是()

A.156B.124C.136D.180

5.关于函数/(X)=|COSX|+COS|2M，有下列三个结论:①万是/(x)的一个周期；②f(x)在彳,亍上单调递增;

③f(x)的值域为卜2,2].则上述结论中，正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

6.已知集合4={幻]>一1},集合8={x|x(x+2)v0},那么AU8等于()

A.{x[x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|—l<x<2}

7.已知a,5是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且aua,bc.fi,allp,blla,则“a〃是"a〃”"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知实数+则a,b,c,的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<hC.b<a<cD.a<c<h

9.已知函数/(x)=lnx,g(x)=(2nz+3)尤+〃,若Vxe(0,4w)总有/(x)Wg(x)恒成立.记(2m+3)〃的最小值

为尸(/%〃)，则的最大值为()

111

A.1B•—C.-rD.—

eee

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

x-y+3>0

11.已知实数x，y满足约束条件（x+2yN0，则Z=3x+y的最小值为（）

x<2

A.-5B.2C.7D.11

2

12.斜率为1的直线1与椭圆千+y2=l相交于A、B两点，贝!||AB|的最大值为（）

A,R4石„4厢n8加

A.2B.--------C.--------D.--------

555

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新

能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动

力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新

能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.

2一%一1x<0Q

14.已知函数/（%）=,,；一，若关于x的方程=有且只有两个不相等的实数根，则实数a

/（x-2）,x>02

的取值范围是_______________.

15.函数/（%）=Jlog°.5（4x-3）的定义域是.

22

16.已知产为双曲线C：I-三=1（。>0力>0）的左焦点，直线/经过点/，若点A3。），8（0,勿关于直线/对称，

ab'

则双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在四棱锥P—A8CO的底面是菱形，底面ABC。，0,E分别是AO/B的中点，

AB=6,AP=5,NBAD=60°.

A

(I)求证：AC±PE；

(H)求直线QB与平面POE所成角的正弦值；

dll)在。C边上是否存在点尸，使BE与Q4所成角的余弦值为毡，若存在，确定点尸的位置；若不存在，说

10

明理由.

x=4costz

18.(12分)在直角坐标系直万中，曲线C的参数方程为「.(。为参数)，将曲线C上各点纵坐标伸长到

y=2sina

原来的2倍(横坐标不变)得到曲线C，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标

方程为4夕cos。+3夕sin。-25=0.

(1)写出G的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；

(2)曲线G上是否存在不同的两点"(4,回)，N(4，a)(以上两点坐标均为极坐标，0<4<2乃，()<凡<2)),

使点M、N至!1/的距离都为3?若存在，求14-21的值；若不存在，请说明理由.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+a|+|x-〃|,(其中a>0,b>0).

(1)求函数/(x)的最小值".

(2)若2c>A/»求证：c-Jc2-a/?<a<c+Vc2—ab-

2

20.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线。的标准方程为二+y2=i.以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

4-

极坐标系，直线/的极坐标方程为。sin［。+=36.

(1)求直线/的直角坐标方程；

(2)若点P在曲线C上，点。在直线/上，求IPQI的最小值.

21.(12分)设数列｛4｝是等比数列，T„=nal+(n-l)a2+---+2an_l+an>已知7；=1,7；=4,⑴求数列｛q,｝的首

项和公比；（2）求数列｛Z,｝的通项公式.

22.（10分）已知数列｛%｝的各项均为正数，S,,为其前〃项和，对于任意的〃eN*满足关系式2s“=34-3.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛%｝的通项公式是2=：j-----;--------,前〃项和为】，求证：对于任意的正数〃，总有7；＜：.

10§3an,10§3an+24

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

直线/的方程为x=2y-c,令。=1和双曲线方程联立，再由府==2而得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可・

a

【详解】

由题意可知直线/的方程为x=2y-c,不妨设“=1.

a

贝！Jx=/?y—c,且从=c?-l

2

将％=力一。代入双曲线方程/一方=1中，得到仅4_［卜2—阳勺+力4=0

设4（不乂）,8（孙％）

皿2柠cb4

贝”…2K

2b3c

由Ak=2屈，可得弘=一2%，故彳4

则8比2=1_凡解得〃="

则c=\lb2+1=

3

所以双曲线离心率e=£=巫

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

2.B

【解析】

r+2r-3,2,1]

由题意，框图的作用是求分段函数5(f)={「■'的值域，求解即得解.

\nt,/中，e\

【详解】

由题意可知，

?+2r-3,re[-2,11

框图的作用是求分段函数S(f)=「•'的值域，

Inr,eJ

当f€[l,e2],S€[0,2]

综上：Se[-A,2].

故选：B

【点睛】

本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

3.C

【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没

有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.

【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是C；=3；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是=3,于是所求的概率

P=2=3

Cl14，

故选：c

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

4.A

【解析】

因为%+。“=2%=。“+12,可得%=12,根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【详解】

•/%+孙=2%=«u+12,

二.%=12,

•••兀J"外）-[3X[2=]56.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前〃项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前"项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

5.B

【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.

【详解】

①因为/（x）=/（x+»）,所以万是的一个周期，①正确；

②因为/（乃）=2,2<2,所以,⑴在上不单调递增，②错误；

JT

③因为/（一幻=/（幻，所以/（X）是偶函数，又乃是/（X）的一个周期，所以可以只考虑xe0,-时，〃X）的值域.当

TC

XG0,—时,Z=COSXG[0,1],

2

/(x)=|cosx|+cos12x|=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-l=2r2+r-l

y=2『+"l在[0』上单调递增，所以/(x)w[—1,2],f(x)的值域为[—1,2],③错误;

综上，正确的个数只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质应用.

6.A

【解析】

求出集合然后进行并集的运算即可.

【详解】

:A={x|x>—1},B={x|-2<x<0),

:.A|JB={x|x>-2}.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

7.D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：aaa,bu0,a//fi,b//a,

由a〃b,不一定有a〃/?,a与“可能相交；

反之，由a〃“，可得a〃b或a与b异面，

：.a,》是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且aua,bcz/i,a//fi,b//a,

则“a〃歹是"a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

8.B

【解析】

4

根据l<ln3<§,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.

【详解】

4

解：V1<ln3<—9

3

4（4丫64

"=3+31n3>6,3<a<33<6'C<[^J=27<3,

c<a<b.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.C

【解析】

根据VxG（O,-HX））总有/（x）<g（x）恒成立可构造函数/?（x）=Inx-（2m+3）x-〃，求导后分情况讨论力（力的最大

值可得最大值最大值h[1/|=-In（2根+3）-1-〃，

即一In（+3）-1-"«（）.根据题意化简可得（2加+3）〃2（2〃?+3）[-In（2〃z+3）-1],求得

尸（利,〃）=（2m+3）[—In（2m+3）-1]，再换元求导分析最大值即可.

【详解】

由题，VXG（O,-H»）总有InxW（2机+3）x+〃即Inx—（2/n+3）x-〃W0恒成立.

设h（x）=lnx—（2a+3）x—〃，则的最大值小于等于0.

又利力=一_（2加+3）,

若2m+3W0则〃'（x）>0,可力在（0,+。）上单调递增，〃（%）无最大值.

若2m+3>0,则当x>丁二时，"（x）<0,/z（x）在（丁二,+刃]上单调递减，

2m+312"z+3）

当0<x<」一时,"（x）>0,〃（x）在（0,丁二]上单调递增.

2m+3V2m+3J

故在x=处〃（X）取得最大值1」]=ln1_]_“=_ln（2m+3）_]_〃.

2m+3''（2〃z+3j2m+3'，

故一ln（2〃z+3）—1一〃<0,化简得（2〃2+3）力之（2加+3）[—111（2加+3）-1].

故尸（〃2,力）=（2〃2+3）[-111（2m+3）-1],令1=2〃2+3,（，>（））,可令左（7）=-，（1117+1）,

故左'。）=-111—2,当/>5时，左'"）<0,左«）在递减;

当0<,<5时，K。）>（）«（/）在递增.

1

故在，=-TIn—+12・

eee

故网伏〃）的最大值为

故选:C

【点睛】

本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范围，再分析函数的最值，进而求导构造

函数求解（2m+3）n的最大值.属于难题.

10.A

【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积.

【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示，

1?

则该几何体的体积为：-xlxlx2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键.

11.A

【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.

【详解】

x-y+320

由约束条件＜x+2y＞0,画出可行域AAZ?。如图

x＜2

z=3x+)＞变为y=-3x+z为斜率为-3的一簇平行线，z为在y轴的截距,

•••二最小的时候为过C点的时候，

解［x+-2yy+=30=0叱fx=-12所以限,2」)、，

此时z=3x+y=3x(-2)+1=-5

故选A项

与

【点睛】

本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.

12.C

【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得，的范围，进而利用弦长公式求得IA8I的表达式，利

用，的范围求得履用的最大值.

【详解】

r25

解：设直线，的方程为尸小代入丁+E，消去y得/+2叱-5

由题意得A=(2力2-1(产-意＞0,即产VI.

弦长|AB|=46x或H＜生叵.

55

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问

题的突破口.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—

17

【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件3,即求条件概率:

P(B|A),由条件概率公式即得解.

【详解】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,

即求条件概率:…

7

故答案为：—

【点睛】

本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.

14.(«,3)

【解析】

3

画出函数Ax)的图象，再画y=]X+a的图象，求出一个交点时的。的值，然后平行移动可得有两个交点时的。的范

围.

【详解】

函数/(x)的图象如图所示：

3

因为方程./(X)^-x+a有且只有两个不相等的实数根，

3

所以V=/(x)图象与直线y=-x+a有且只有两个交点即可，

3

当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即a=3时，y=]X+a与函数/(x)有一个交点,

由图象可知，直线向下平移后有两个交点,

可得a<3,

故答案为：（f，3）.

【点睛】

本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题.

【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.

【详解】

解：由题意得，

x<l

logo5(4%-3)>0

，解得3，

4x-3>0x>一

4

3

所以2cx<1,

4

故答案为：

【点睛】

此题考查函数定义域的求法，属于基础题.

16.V3+1

【解析】

由点A（a,0）,关于直线/对称，得到直线/的斜率，再根据直线/过点尸，可求出直线/方程，又A,8中点

在直线/上，代入直线/的方程，化简整理，即可求出结果.

【详解】

丫22

因为F为双曲线C：鼻一』=1（。>0,6〉0）的左焦点，所以尸（―c,0）,又点A（a,0）,8（0,。）关于直线/对称,

ab

心8="=一2,所以可得直线/的方程为y=f（x+c）'又A’8中点在直线/上,所以?=整理得

0—。ab2b\2J

h2=tz2+2ac,又〃2=/—a2,所以/—2ac—2a2=0,

故2e—2=0，解得e=l±g,因为e>l,所以e=l+6.

故答案为e=1+A/3

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，

即可求出结果，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(II)主叵；(EQ)见解析.

86

【解析】

(I)由题意结合几何关系可证得AC_L平面POE,据此证明题中的结论即可；

(II)建立空间直角坐标系，求得直线PB的方向向量与平面POE的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；

(ni)假设满足题意的点尸存在，设而=%反(0<%<1),由直线BE与抬的方向向量得到关于2的方程，解方程

即可确定点F的位置.

【详解】

(I)由菱形的性质可得：AC1BD,结合三角形中位线的性质可知：故OE_LAC,

PO_L底面ABC。，ACq底面ABC。，故AC_LOP,

且OPcOE=O,故AC平面POE,

(II)由题意结合菱形的性质易知OPOPLOB,OA1OB,

以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-孙z,

则：P(0,0,4),B(0,373,0),0(0,0,0),ER,|^,0

设平面POE的一个法向量为m=(羽y,z),

m-OP=4z=0

则：」一33r，

ih-OB=-x+—\/3y=0

、22

据此可得平面POE的一个法向量为fh=(V3,-l,0),

而丽=倒,36,T),

设直线PB与平面POE所成角为0,

.\PB-ff\363/—

则sin6=।——~r=-----r==—J129.

|PB|x|ni2xV1386

(DI)由题意可得：0(—3,0,0),C(—6,3百,0),A(3,0,0),假设满足题意的点尸存在，

设E(x,y,z),DF=2DC(O<2<1),

x=-32—3

据此可得：(x+3,y,z)=/l(-3,3V3,0),即：<y=3同,

z=0

从而点F的坐标为尸(一34—3,3&,0),

据此可得：丽=(—32—3,3出入—36,0),中=(3,0,-4),

师M92+9361

结合题意有：%।|J=~/、2---------------T=丁，解得：丸=彳.

|BF卜附5xj9(/l+l)2+27(4-1)2102

故点尸为CD中点时满足题意.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生

的转化能力和计算求解能力.

47r

18.(1)夕=4,4元+3y—25=0(2)存在，[8]—4|=工—

【解析】

(1)先求得曲线c的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线G的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标

和直角坐标转化公式，求得直线/的直角坐标方程.

(2)求得曲线C,的圆心和半径，计算出圆心。到直线/的距离，结合图像判断出存在M,N符合题意，并求得10]-02\

的值.

【详解】

22

(1)曲线C的普通方程为工+二=1,纵坐标伸长到原来的2倍

,得到曲线G的直角坐标方程为

164

164

x2+y2=\6,其极坐标方程为。=4,

直线/的直角坐标方程为4x+3y-25=0.

(2)曲线G是以。为圆心，4为半径的圆,

|4xO+3xO-25|

圆心。到直线/的距离"==5.

"+35

,由图像可知，存在这样的点M，N,则MN//1,且点O到直线的距离QD=5—3=2,

27r47r

NMON=q,：.\3]-021=].

【点睛】

本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为

普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

19.(1)a+b.(2)答案见解析

【解析】

(1)利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；

(2)利用分析法，只需证明|a二行，两边平方后结合2c>a+4。>0即可得证.

【详解】

(1)/(x)=\x+a\+\x-b\..\(x+a)-(x-b)\=\a+b\=a+b,当且仅当(x+a)(x-。),,0时取等号,

二f(x)的最小值M=a+b；

(2)证明：依题意，2c>a+b>0,

要证c—<a<c+，即证|a—c|<A/C?—a/，即证tr—2ac+c-<<r—aZ?，即证

a2-2ac+ab<Q>即证。(a-2c+6)<0,又2c>a+8,a>0可知，a(a-2c+。)<0成立，故原不等式成立.

【点睛