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文档简介

专题突破1运动图像追及与相遇问题

必备知识•整合

一、匀变速直线运动的图像

1.直线运动的广匕图像

(1)意义:反映了直线运动的物体①位移随②时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义

①斜率的绝对值:表示物体速度的③大小。

②斜率的正负:表示物体速度的④方向。

(3)两种特殊的广匕图像

①若广£图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于⑤静止状态。(如图中甲所

示)

②若广匕图像是一条倾斜的直线,说明物体在做⑥匀速直线运动。(如图中乙所示)

2.直线运动的匕-图像

(1)意义:反映了直线运动的物体⑦速度随⑧时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义

①斜率的绝对值:表示物体⑨加速度的大小。

②斜率的正负:表示物体⑩加速度的方向。

⑶两种特殊的广七图像

①匀速直线运动的一[图像是与横轴⑪平行的直线。(如图中甲所示)

②匀变速直线运动的图像是一条⑫」^的直线。(如图中乙所示)

(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义

①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的⑬位移。

②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为⑭^^5_;若此面积在时间

轴的下方,表示这段时间内的位移方向为⑮负方向。

2主意图像与图像不是物体的运动轨迹,反映了物体位移或速度随时间变化的规

律。

二、追及与相遇问题

L追及问题的两类情况

⑴按结果分类

①若后者能追上前者,追上时,两者处于⑯同一位置,且后者速度一定不小于前者速

度。

②若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度⑰相等时,两者相距最近。

(2)按初始条件分类

①同向运动相隔一定的初始距离的问题:速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者

(如匀速直线运动)。

a.若两者速度相等时,追者位移仍小于被追者位移与同之和,则永远追不上,此时两者间有

最小距离。

b.若两者相遇时,速度也相等,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。

c.若两者相遇时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间

速度相等时两者间距有一个极大值。

②从同一地点出发开始同向运动的问题:速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)

追速度大者(如匀速直线运动)。

a.当两者速度相等时两者间有最大距离。

b.两者位移相等时,则追上。

2.相遇问题

(1)同向运动的两物体追上即相遇,两物体位移大小⑱之差等于开始时两物体间距。

(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和⑲」开始时两物体的距离时即相

遇。

A注意追及、相遇问题中速度相等是追上或追不上、距离最大或最小的转折点,应该注意。

L判断下列说法对错。

(D尸K图像表示物体的运动轨迹。(x)

(2)尸亡图像和LZ图像都不能描述曲线运动。(V)

(3)^1图像上两图线的交点表示两物体速度相等,不代表相遇。(J)

(4)两物体同向运动恰好不相碰,则此时两物体速度相等。(J)

(5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小、匀速运动的汽车相撞。(X)

(6)两个物体在追及过程中,物体之间的距离总是逐渐变小。(X)

2.(多选)(新人教版必修第一册P18-T5改编)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶,以x表

示它对于出发点的位移。图为汽车在夕0到夕40s这段时间的图像。下列分析正确的是

30

20

A.汽车离出发点最远的距离为30m

B.汽车在1020s内匀速运动

C.汽车在40s末回到出发点

D.汽车在20NOs内加速度大小为1.5m/s2

“答案AC

3.(2020广东湛江模拟)某同学在开展研究性学习的过程中,利用速度传感器研究某一物体以1

m/s的初速度做直线运动的速度丫随时间/变化的规律,并在计算机上得到了前4s内物体速度

随时间变化的关系图像,如图所示。则下列说法正确的是()

A.物体在1s末速度方向改变

B.物体在3s末加速度方向改变

C.前4s内物体的最大位移出现在第3s末,大小为3.5m

D.物体在第2s末与第4s末的速度相同

金答案C

4.平直公路上的甲车以10m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当甲车经过乙车旁

边时,乙车立即以大小为1m/s?的加速度沿相同方向做匀加速运动,从乙车加速开始计时,则

()

A.乙车追上甲车所用的时间为10s

B.乙车追上甲车所用的时间为20s

C.乙追上甲时,乙的速度是15m/s

D.乙追上甲时,乙的速度是10m/s

M答案B

关键能力•突破

考点一运动图像的理解及应用

害点深化

L应用运动图像的三点注意

(1)无论是尸匕图像还是「X图像都只能描述直线运动。

(2)片七图像和图像都不表示物体运动的轨迹。

(3)广匕图像和Lt图像的形状由x与t、/与1的函数关系决定。

2.应用运动图像解题“六看”

项目XT图像f图像

轴横轴为时间。纵轴为位移X横轴为时间t,纵轴为速度r

线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动

斜率表示速度表示加速度

面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移

纵截距表示初位置表示初速度

拐点表示加速度方向变化,交点表示速度

特殊点拐点表示速度方向变化,交点表示相遇

相同

例1(多选)如图所示为一质点做直线运动的速度-时间图像,下列说法中正确的是

A.整个过程中,如段和龙段的加速度相同

B.整个过程中,回段的加速度最大

C.整个过程中,C点对应时刻离出发点最远

D.8C段对应时间运动的路程是34m

卷审题关键(1)0^22s内,质点的运动方向是否发生变化?什么时刻离出发点最远?

提示:当图线过时间轴时质点运动方向发生改变,Q20s时图线过时间轴,即速度方向发生

了改变。夕20s时离出发点最远。

(2)片方图像中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么?

提示:图像中图线与时间轴所围的“面积”表示位移。

“答案ADlt图像的斜率表示加速度,由图知"段和龙'段在同一直线CE上,斜率相同,

故⑶段和庞段加速度相同,A正确;由题图知,整个过程中位段斜率绝对值最大,加速度最大,B

错误;Q20s时速度方向改变,所以〃点所表示的状态离出发点最远,C错误;比段和时间轴围成

的面积为34m,D正确。

解题感悟

用速度-时间图像巧得五个运动量

(1)运动速度:从速度轴上直接读出,负值表示反向运动。

(2)运动时间:从时间轴上直接读出。

(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的绝对值表示加速度的大小,斜率的正负反

映了加速度的方向。例题中a'段加速度与切段加速度方向相反。

(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的面积表示位移

的大小,横轴以上为“+”值,横轴以下为“-”值,整个过程的位移是它们的代数和,如切段的

位移为正值,应段为负值,四段的总位移为0。

(5)运动的路程:因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的绝对值的和。

例2(多选)(2020山东济宁模拟)甲、乙两质点同时同地在外力的作用下做匀变速直线运

动,其运动的:-大图像如图所示。关于甲、乙两质点的运动情况,下列说法中正确的是

()

A.乙质点做初速度为c的匀加速直线运动

B.甲质点做加速度大小为胃的匀加速直线运动

C.3时,甲、乙两质点速度大小相等

D.3时,甲、乙两质点速度大小相等

喑案BD根据匀变速直线运动的位移时间公式产外杉得于陪市,对于乙质点,由

图可知,乙=-:,乙的加速度为a乙=-多故乙质点做初速度为c、加速度为-与的匀减速直

J2aaa

线运动,故A错误;对于甲质点,由图可知,%甲=0,芍,甲的加速度为a甲号,故甲质点做初速

度为0、加速度大小为年的匀加速直线运动,故B正确;咛时,甲质点的速度ya甲巧•l=c,

乙的速度/乙=%乙+a乙夕仁年,^=0,故C错误;,时,甲质点的速度K,P=a>p喘•号G乙的速

度K片为?+a乙t=c-^•~;c,故D正确。

乙a42

解题感悟

非常规图像问题

L四类图像

(l)r1图像

由-为+a1可知图像与横轴所围面积表示速度变化量△匕如图甲所示。

⑵斗图像

由尸%什)£?可得:=%+/心图像的斜率为:a,如图乙所示。

⑶*x图像

由落诏=2ax可知v=VQ^2ax,图像斜率为2a。

(4)『v图像

x与丫的关系式:2aA=*诏,图像表达式:后■诏。

2a2a

2.解题技巧

(1)用函数思想分析图像:

图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间

的函数关系,分析图像的意义。

(2)要注意应用解析法和排除法,两者结合,提高图像类选择题的解题准确率和速度。

Is组过美

L[图像综合问题](2020福建三明质检)如图所示为物体做直线运动的图像,下列说法正确

的是()

A.甲图中,物体在0%这段时间内的位移小于写

B.乙图中,物体的加速度大小为2m/s2

C.丙图中,阴影面积表示。W时间内物体的加速度变化量

D.丁图中,夕3s时物体的速度大小为25m/s

“答案D

2.图像问题]研究表明,人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时间)比较短,

但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车以某一速度在试验场的水

平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶了一段距离。减速过程中汽车位移x与速度r

的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动。根据图甲和图乙提供的信息、,下列说法

错误的是()

发现情况开始般速汽车停止

〃…东企,〃今星

反应过程小流流过程

A.汽车在反应过程中运动的速度大小为20m/s

B.汽车在反应过程中运动的位移大小为25m

C.汽车在减速过程中的加速度大小为8m/s2

D.汽车在减速过程中所用的时间为2.5s

&答案B

考点二追及、相遇问题

多维探究

考向一相撞问题

例3在水平轨道上有两列火车1和B,相距x,A车在后面做初速度为外、加速度大小为2a

的匀减速直线运动,而8车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相

同。要使两车不相撞,求4车的初速度%满足什么条件。

④解题指导本题可运用“物理分析法”“数学分析法”“图像分析法”等方法解题。

=答案Vi)W76ax

上解析解法一物理分析法

._2a

A,«__1.

•~j8―。

设两车运动速度相等时,所用时间为t

由%-(2a)得

t=att=—3a

A车位移x尸%鸟(2a)/

6车位移

两车不相撞的条件:x计x?x#

即v1)t-a^

联立得vW\6ax

解法二数学分析法

设两车运动了时间t,则

斤%t4-at,2

两车不相撞需要满足

△下蜀+『人斤|aI?一匕什0

4'值少诏

贝IJ△X“in=-20

解得6a汽

解法三图像分析法

利用速度-时间图像求解,先作46两车的速度-时间图像,其图像如图所示

设经过^时间两车刚好不相撞,则对/车有匕

对8车有v=at{

联立以上两式解得个野

3a

经时间右两车发生的位移之差,即原来两车间的距离X,可用图中的阴影面积来表示,由图

像可知不力。•?=?.所以要使两车不相撞,/车的初速度%应满足的条件是%・标

223a6a

解法四相对运动法

巧选参考系求解。以8车为参考系,力车的初速度为外,加速度为a'=-2a-华-3a。4车追上

6车且刚好不相撞的条件是片0,这一过程A车相对于6车的位移为x,由运动学公式落诏=2ax

得:

02-VQ=2,(-3a)•x

所以v0=y/6ax

故要使两车不相撞,力车的初速度均应满足的条件是

解题感悟

L追及、相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条

件,也是分析判断的切入点。

(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得到。

2.常用解题方法

(1)物理分析法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速

度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。

(2)数学分析法:设两物体在「时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f&)=0,若方

程f⑷=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程At)=O存在正实数解,说明这两

个物体能相遇。

(3)图像分析法:①若用位移-时间图像求解,分别作出两物体的位移-时间图线,如果两物体

的位移-时间图线相交,则说明两物体相遇;②若用速度-时间图像求解,则注意比较速度-时间图

线与时间轴包围的面积。

考向二追及问题

例4一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以43m/s2的加速度开始行驶,恰在

这一时刻一辆自行车以/日=6m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车。

(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?

(2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少?

④审题关键(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么?

提示:汽车和自行车速度相等。

(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么?

提示:位移相等。

⑥解题指导本题可运用“物理分析法”“相对运动法”“数学分析法”“图像分析法”

等方法解题。

*答案见解析

金解析(1)解法一物理分析法

如图甲所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为3汽车和自行车

间的距离为△上,则有KC|=ati

一:人

曰白:

I□_____।□.।

।I।,•、Az3■

所以t\——-2s

a

△产人组二6mo

解法二相对运动法

以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量

初速度%=/汽初-入=0-6m/s=-6m/s

末速度匕=-汽车一入=0

加速度a'=a-a日=3m/s2-0=3m/s2

所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为

t,=M=2s

a

最大距离△产龙二尊=-6m

2a

负号表示汽车在后。

注意:利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:①选取哪个物体为研究对象;②选取哪个

物体为参考系;③规定哪个方向为正方向。

解法三数学分析法

设汽车在追上自行车之前经过时间本汽车和自行车相距为△X,则△尸入仔

代入已知数据得△产65|好

由二次函数求极值的条件知:力=2s时,Ax有最大值6m。

所以经过。=2s后,汽车和自行车相距最远,为△产6mo

解法四图像分析法

自行车和汽车的Lt图像如图乙所示。由图可以看出,在相遇前,小时刻汽车和自行车速度

相等,相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有

件5s=2s

A”自"6X2「

△---=——m=6mo

22

(2)解法一物理分析法

当汽车和自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为以则有入

解得片也竽s=4s

a3

此时汽车的速度K2=at2=12m/s。

解法二图像分析法

由前面画出的Lt图像可以看出,在力时刻之后,当由图线小、-汽和片友构成的三角形的

面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇,所以

t2=2f]=4s,v2=at2=3X4m/s=12m/so

解题感悟

追及、相遇问题两种典型情况

假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距选,有两种典型情况:

(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当斤⑼时,两者相距最远。

(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当斤%时,

①若已超越则相遇两次。

②若恰好追上,则相遇一次。

③若没追上,则无法相遇,两者之间有最小距离。

考向三运动图像与追及、相遇问题的综合应用

例5(多选)(2016课标I,21,6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其Lt图像如图所

示。已知两车在夕3s时并排行驶,则()

A.在户1s时,甲车在乙车后

B.在t=0时,甲车在乙车前7.5m

C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

金答案BD本题考查运动的图像及追及相遇问题,通过对甲、乙运动情况的分析,考查学

生的推理能力,渗透了科学思维中的模型建构与科学推理要素。由题中「七图像得a甲:

10m/s2,a2,=5m/s;两车在t=?>s时并排行驶,止匕时x单=|a甲d=jx10X3°m=45m,x乙=%£+

色乙/=10X3m+1x5X32m=52.5m,所以户0时甲车在前,与乙车的距离为占甲=7.5m,B

项正确。t=\s时,x甲'ga甲d=5m,不乙'=%计1乙d=12.5m,此时x「=x甲'+£=12.5m,所以另一

次并排行驶的时刻为夕1s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距£'=x「

x乙'=40m,故D项正确。

解题感悟

追及、相遇问题常见情境

(1)速度小者追速度大者

追及类型图像描述相关结论

匀加速

设不为开始时两物体间的距离,则应有以下结

%

追匀速

0论:

I」

①女友以前,后面物体与前面物体间的距离增大

匀速追

②仁友时,两物体相距最远,为Xo+Nx

匀减速

0

③do以后,后面物体与前面物体间的距离减小

匀加速追91

④一定能追上且只能相遇一次

匀减速02

0%»

(2)速度大者追速度小者

追及类型图像描述相关结论

设吊为开始时两物体间的距离,开始追时,后面物体与前面物体

间的距离在减小,当两物体速度相等时,即仁寿时刻:

①若△广两,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相

匀减速

撞的临界条件

追匀速

②若△水廊,则不能追上,此时两物体间距离最小,为XL△X

③若X/X。,则相遇两次,设右时刻两物体第一次相遇,则

为=2to-t,时刻两物体第二次相遇

夯基提能作业

A组基础达标

1.小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动。取小球的

落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向。下列速度r和位置x的关系图像中,能描述该过

程的是()

士答案A

2.一辆摩托车在夕0时刻由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的TE图像如图所示,根

据已知信息,可知()

A.摩托车的最大动能

B.摩托车在30s末的速度大小

C.在0W)s的时间内牵引力对摩托车做的功

D.10s末摩托车开始反向运动

金答案B

3.(2020山东济南三模)百公里加速是衡量车辆极限加速能力的指标,直接体现了车辆的动力特

性。某新款汽车百公里加速过程的广/图像如图所示,则此过程中位移和加速度大小约为

()

v/(km,h'1)

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

9O52

m/S

B.90m,15m/s"

C.320m,5m/s2

D.320m,15m/s2

士答案A

4.(2020山东济宁三模)从塔顶同一位置由静止先后释放两个小球46不计空气阻力。从释放

6球开始计时,在4球落地前,两球之间的距离随时间t变化的图像为()

也答案D

5.(2020山东泰安模拟)某物体做直线运动,设该物体运动的时间为。位移为x,其强个图像如图

所示,则下列说法正确的是(

A.物体做的是匀加速直线运动

B.Q0时刻,物体的速度为ab

C.0%时间内物体的位移为2a甘

L).0"时间内物体做匀减速直线运动,时间内物体做反向的匀加速直线运动

森答案D

6.甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动,它们运动的加速度随时间变化的

图像如图所示。关于两车的运动情况,下列说法中正确的是()

A.在0Xs内甲车做匀加速直线运动,乙车做匀减速直线运动

B.在02s内两车间距逐渐增大,21s内两车间距逐渐减小

C.在t=2s时甲车的速度为3m/s,乙车的速度为4.5m/s

D.在t=4s时甲车恰好追上乙车

森答案C由题图可知,在04s内甲车做匀加速直线运动,乙车做加速度均匀减小的变加速直

线运动,故A项错误;年1图线与1轴所围面积表示速度的变化量,由图可知,t=4s时,甲、乙两

车的速度相等,则在0笃s内两车间距逐渐增大,在24s内两车间距也在逐渐增大,故B项错

误;在t=2s时甲车的速度为-p=a甲/1.5X2m/s=3m/s,乙车的速度为仁士产X2

m/s=4.5m/s,故C项正确;在夕4s时,甲车的速度为「'甲=a甲3=1.5X4m/s=6m/s,乙车的速

度为/乙=|X3X4m/s=6m/s,此时两车相距最远,故D项错误。

7.(多选)一辆汽车正以匕=10m/s的速度在平直公路上匀速行驶,发现正前方有一辆自行车以

%=4m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为炉0.6m/s?的匀

减速运动,汽车恰好没有碰上自行车,则()

A.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10s

B.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为ms

C.关闭油门时,汽车与自行车的距离为30m

D.关闭油门时,汽车与自行车的距离为三m

森答案AC撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上,则有匕-aQ物代入数据解得户10s,选

项A正确,B错误;设汽车的位移为自行车的位移为题,则由位移关系有用=至+%即

晋广户外。代入数据解得尸30m,选项C正确,D错误。

8.蓝牙(Bluetooth)是一种无线技术标准,可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换

(使用2.42485GHz的ISM波段的UHF无线电波)。现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具车甲、

乙进行实验:如图所示,甲、乙两车开始处于同一直线上相距为力4.0m的Q两点,甲车从

a点以初速度%=4m/s、加速度a=1m/s?向右做匀加速运动,乙车从&点由静止开始以加速度

a2=2m/s?向右做匀加速运动,已知当两车间的距离超过s°=10m时,两车无法实现通信,忽略信

号传递的时间。已知遍=2.4。求:

--_________

Fo,

(1)甲、乙两车在相遇前的最大距离;

(2)甲、乙两车在相遇前能通信的时间。

*答案见解析

上解析(1)设当经过布时间两车速度大小相等,此时两车相距最远

即Va,t0=a210

解得to=4s

甲、乙两车在相遇前的最大距离为

△右+]诏一^2诏

解得As“=12mo

(2)设经过时间。两车相遇,

则有冰%错at写a用

解得t,=(4±2V6)s

舍去负解,可得t>=8.8s

设经过时间匕两车相距为s°,则有

ch-%t+-aif--at2=s()

222

解得t2=2s,t3=6s

甲、乙两车在相遇前能通信的时间为第0为s和第6力.8$,共4.8So

B组综合提升

9.(2020江西抚州模拟)近年来,交通运输部发出通知部署ETC推广安装。如图是小车分别经过

收费站人工通道和ETC通道的「大图像,已知小车加速、减速时加速度大小均为a,小车通过两

种通道时从开始减速到恢复到原速度所行驶的距离相等,则与走人工通道相比,走ETC通道节省

的时间为)

人T通道KTC通道

A.B,^11+At

aa

C.3△£D.%△I

aa

森答案C从开始减速到恢复到原速度所行驶的距离为

产2X也近

2aa

则小车通过ETC通道匀速运动的位移为

x匀二厂2XVp-Vl-Vl

2aa

小车在人工通道经过的时间为

t,=2X^+A1曳+△t

aa

小车在ETC通道经过的时间为

t-2x%也+%_2”:]

av1aa

所以与走人工通道相比,走ETC通道节省的时间为t=t-t^+^t,故C正确,A、B、D错误。

2a

10.(2020江苏徐州联考)某科学小组研制了一种探测器,其速度大小可随运动情况进行调节。如

图所示,在某次实验中,该探测器从原点0一直沿x轴正向移动,且其速度大小与位移大小成反

比。已知探测器在/、6两点的速度分别为4m/s和2m/s,从。点运动到6点位移为2m,则探

测器从/点运动到6点的时间为()

O4R

A.-sB.is

88

C.-sD-s

44

*答案A根据题述速度大小与

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