李子奈计量经济学第4版知识点归纳课后答案

第1章 绪 论复习笔记一、计量经济学计量经济学计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科。弗里希将计量经济学定义为经济理论、统计学和数学三者的结合。计量经济学模型模型、物理模型、几何模型、数学模型和计算机模拟模型等。经济数学模型、数理经济模型和计量经济学模型数理经济模型：揭示经济活动中各种因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。计量经济学模型：揭示经济活动中各种因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述。计量经济学的内容体系广义计量经济学和狭义计量经济学初、中、高级计量经济学（按照内容深度分类）高级计量经济学：以非经典的、现代的计量经济学模型理论、方法与应用为主要内容。理论计量经济学和应用计量经济学（根据研究对象和内容侧重点不同分类）经典计量经济学和非经典计量经济学经典计量经济学：一般指20世纪70年代以前发展并广泛应用的计量经济学，它们具有显著的共同特征。其理论方法方面的特征是：①模型类型：采用随机模型；②模型导向：以经济理论为导向建立模型；③模型结构：变量之间的关系表现为线性或者可以化为线性，属于因果分析模型，解释变量具有同等地位，模型具有明确的形式和参数；④数据类型：以时间序列数据或者截面数据为样本，被解释变量为服从正态分布的连续随机变量；⑤估计方法：仅利用样本信息，采用最小二乘方法或者最大似然方法估计模型。经典计量经济学应用方面的特征是：①应用模型的方法论基础：实证分析，经验分析，归纳；②应用模型的功能：结构分析，政策评价，经济预测，理论检验与发展；③应用模型的领域：传统的应用领域，如生产、需求、消费、投资、货币需求，以及宏观经济等。非经典计量经济学：一般指20世纪70年代以后发展的计量经济学理论、方法及应用模型，也称为现代计量经济学。微观计量经济学和宏观计量经济学（按研究对象分类）2070年代以后，单位根检验、协整理论以及动态计量经济学则成为宏观计量经济学的主要研究方向。计量经济学是一门经济学科计量经济学是经济学的一个分支学科，即它是一门经济学科。其原因如下：从计量经济学的定义来看，弗里希将计量经济学定义为经济理论、统计学和数学三者的结合。计量经济学在西方国家经济学科中占有重要的地位。计量经济学与数理统计学是有严格区别的。数理统计学作为一门数学学科，它可以应用于经济领域，也可以应用于其他领域。但它与经济理论、经济统计学结合而形成的计量经济学，则只限于经济领域。从建立与应用计量经济学模型的全过程可以看出，理论模型的设定和样本数据的收集，必须以对经济（最重要的原因）计量经济学方法论计量经济学将抽象演绎法和经验归纳法有机结合，或者说，它既是归纳的，又是演绎的。在计量经济学的应用研究中，这种结合不仅意味着彼此补充，也导致了彼此限制。二、建立经典单方程计量经济学模型的步骤和要点理论模型的设计确定模型所包含的变量正确选择解释变量的原则：①需要正确理解和把握所研究的经济现象中暗含的经济学理论和经济行为规律。这是正确选择解释变量的基础。②选择变量要考虑数据的可得性。确定模型的数学形式选择模型的数学形式的主要依据是经济行为理论。在某些情况下，如果无法事先确定模型的数学形式，那么就采用各种可能的形式进行试模拟，然后选择模拟结果较好的一种。拟定理论模型中待估参数的理论期望值拟定理论模型中待估参数的理论期望值，关键在于理解待估参数的经济含义。样本数据的收集几类常用的样本数据①时间序列数据：一批按照时间先后排列的统计数据。只有平稳的时间序列数据才能适合经典计量经济学模型，否则，它们之间必须存在经济上的均衡关系和统计上的协整关系。除平稳性外，在利用时间序列数据作样本时，还要注意以下几个问题：第一，所选择的样本区间内经济行为的一致性问题；第二，样本数据在不同样本点之间的可比性问题；第三，样本观测值过于集中的问题；第四，模型随机干扰项的序列相关问题。②截面数据：一批发生在同一时间截面上的调查数据。经典计量经济学模型理论是基于随机抽样的截面数据而建立的，随机抽样是经典模型对截面数据的最重要和最基本的要求。用截面数据作为计量经济学模型的样本数据，应注意以下问题：第一，样本与总体的一致性问题；第二，模型随机干扰项的异方差问题。用截面数据作样本，容易使模型随机干扰项产生异方差。样本数据的质量①完整性：即模型中包含的所有变量都必须得到相同容量的样本观测值。②准确性（包含两方面的含义：第一，所得到的数据必须准确反映它所描述的经济因素的状态，即统计数据或调查数据本身是准确的；第二，它必须是模型研究中所准确需要的，即满足模型对变量口径的要求。③可比性：即通常所说的数据口径问题。④一致性：即总体与样本的一致性。模型参数的估计模型参数的估计方法，是计量经济学的核心内容。模型参数的估计是一个纯技术的过程，包括对模型进行识别（对联立方程计量经济学模型而言、估计方法的选择、软件的应用等内容。模型的检验计量经济学模型必须通过四级检验，即经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。经济意义检验具体的检验方法为：①检验参数估计量的符号；②若所有参数估计量的符号都正确，则进一步检验参数估计量的大小；只有当模型中的参数估计量通过所有经济意义的检验，方可进行下一步检验。模型参数估计量的经济意义检验是一项最基本的检验，经济意义不合理，不管其他方面的质量多么高，模型也是没有实际价值的。统计检验计量经济学检验模型预测检验模型预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度，确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围，即模型的超样本特性。具体检验方法为：①用扩大了的样本重新估计模型参数，将新的估计值与原来的估计值进行比较，并检验二者之间差距的显著性；计量经济学模型成功的三要素理论：即经济理论，所研究的经济现象的行为理论，是计量经济学研究的基础；三、计量经济学模型的应用结构分析弹性：某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即是变量的变化率之比。乘数：某一变量的绝对变化引起另一变量的绝对变化的度量，即是变量的变化量之比，也称倍数。经济预测计量经济学模型作为一类经济数学模型，是从经济预测，特别是短期预测而发展起来的。它是以模拟历史，政策评价计量经济学模型用于政策评价，主要有三种方法：工具-目标法给定目标变量的预期值，即希望达到的目标，通过求解模型，可以得到政策变量值。政策模拟即将各种不同的政策代入模型，计算各自的目标值，然后比较其优劣，决定政策的取舍。最优控制方法将计量经济学模型与最优化方法结合起来，选择使得目标最优的政策或政策组合。检验与发展经济理论计量经济学模型的两方面功能：按照完整的计量经济学模型理论与方法，任何一项规范的计量经济学模型研究，都是首先设定模型，课后习题详解什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？（1（2）计量经济学方法通过建立随机的数学方程来描述经济活动，并通过对模型中参数的估计来揭示经济活计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？（1计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用计量经济学。任何一项计量经济学研究和任何一个计量经济学模型赖以成功的三要素是理论、方法和数据。计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？（1）202030205060①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表中最具有权威的一部分；1969～20035310位是与研究和应用计量经济学有关；③计量经济学方法与其他经济数学方法结合应用得到了长足的发展。（2）从当代计量经济学的发展方向来看，表现出以下基本特征：①计量经济学方法从主要用于经济预测转向经济理论假设和政策假设的检验；②计量经济学模型的应用从传统的领域转向新的领域，如货币、工资、就业、福利、国际贸易等；③计量经济学模型的规模不再是水平高低的衡量标准，能够从总量和趋势上说明经济规律的简单模型应用越来越广泛；④非经典计量经济学的理论与应用研究日益成为计量经济学研究的重要内容。建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤有：收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；估计模型参数；检验模型，包括经济意义的检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。计量经济学模型主要有哪些应用领域？各自的原理是什么？答：计量经济学模型的应用大体可以概括为以下四个方面：结构分析，即研究一个或几个经济变量发生变化及结构参数的变动对其他变量以至整个经济系统产生何种影响。其主要方法是弹性分析、乘数分析与比较静力分析。政策评价，即利用计量经济模型定量分析政策变量变化对经济系统运行的影响，是对不同政策执行情检验与发展经济理论，即利用实际的统计资料和计量经济学模型实证分析某个理论假说正确与否。如果按照某种经济理论建立的计量经济模型能够很好地拟合实际观察数据，则意味着该理论是符合客观事实的，反之则表明该理论不能解释客观事实。模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：计量经济学模型必须通过四级检验，即经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。经济意义检验，主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性，其主要方法是将模型参数的估计量与预先拟定的理论期望值进行比较，包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系，以判断其合理性；统计检验，目的在于检验模型的统计学性质，应用最广泛的统计检验准则有拟合优度检验、变量和方程的显著性检验等；计量经济学检验，目的在于检验模型的计量经济学性质，主要有随机干扰项的序列相关性检验和异方差性检验，解释变量的内生性检验和多重共线性检验等；模型预测检验，主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度，确定所建立的下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？t02tt为第t（t为第t配收入总额（单位：亿元。t100tt1为第t1年底农村居民储蓄余额（单位：亿元t为第t居民纯收入总额（单位：亿元。（1tt表示的是（2）不属于揭示因果关系的计量经济学模型。第t年的农村居民纯收入对当年及以后年份的农村居民储蓄有影响，但不会影响到t1年的农村居民储蓄余额，因此该模型中的解释变量Rt对被解释变量St1之间不存在因果关系，解释变量对被解释变量没有解释能力。指出下列假想模型中的错误，并说明理由：RSt8300.00.24RIt1.12IVtt为第t年社会消费品零售总额（单位：亿元It为第t年居民收入总额（单位：亿元（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和t为第t年全社会固定资产投资总额单位：亿元。答：该假想模型有两处错误：RIt的系数符号与经济理论和实际情况不符，该符号应该取正号；的解释变量。考研真题与典型题详解一、单项选择题在计量经济模型中，入选的每一个解释变量之间都（ D．独立的D【解析】计量经济学模型的所有解释变量共同对被解释变量起到解释作用，所有的解释变量之间应为相互独立的。下列关于截面数据的说法错误的是（ A．截面数据是一批发生在同一时间截面上的调查数据B．截面数据要求样本与总体一致C．用截面数据作样本，容易使模型随机干扰项产生异方差D．用截面数据作样本，可以与总体不一致【答案】D3（ ）【答案】C【解析】虚变量数据只取0或1。在生产函数模型中，资本用当年价格计算固定资本原值，这是违反了数据的（）原则。C对模型中参数估计量的符号、大小、相互之间的关系进行检验，属于（ 【答案】A【解析】经济意义检验主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性，主要方法是将模型参数的估计量与预先拟定的理论期望值进行比较，包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系。变量的变化率之比称为（乘数【答案】C【解析】弹性是变量的变化率之比；乘数是变量的变化量之比，也称倍数。二、判断题计量经济学是一门应用数学学科（ ）【答案】×【解析】计量经济学是经济学的一个分支学科，即它是一门经济学科，而不是应用数学或其他。理论模型的设计主要包括选择变量确定变量之间的数学关系拟定模型中待估计参数的数值范围（ ）【答案】√拟定理论模型中待估参数的理论期望值，关键在于确定模型的数学形式（ ）【答案】×【解析】拟定理论模型中待估参数的理论期望值，关键在于理解待估参数的经济含义。人口普查数据属于时间序列数据（ ）【答案】×【解析】时间序列数据是一批按照时间先后排列的统计数据，而“人口普查数据”是一批发生在同一时间截面上的调查数据，即属于截面数据。在建立计量经济学模型中，进行统计检验的目的在于检验模型的计量经济学性质（ ）【答案】×【解析】统计检验的目的在于检验模型的统计学性质；计量经济学检验的目的在于检验模型的计量经济学性质。乘数是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量（ ）【答案】×【解析】乘数是某一变量的绝对变化引起另一变量的绝对变化的度量，即是变量的变化量之比，也称倍数；弹性是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即是变量的变化率之比。最优控制属于计量经济学模型用于经济预测的方法（ ）【答案】×【解析】最优控制属于计量经济学模型用于政策评价的方法之一，另外还有两种方法：工具-目标法、政策模拟。三、简答题计量经济学中常用的样本数据有哪几种？请分别举例说明。答：常用的样本数据有三类：时间序列数据、截面数据和面板数据。20GDP、各年的商品零售总额、年进出口总额等；2000年人口普查数据、2008年的经济普查数据等；面板数据指在时间序列上取多个截面，在这些截面上同时选取样本观测值所构成的样本数据，反映了31（465个数据构成的样本数据。四、计算分析题下列设定的计量经济模型是否合理？并说明理由。22（1）Y0iXiYXii,2为i1随机干扰项。Y01X12X2为人均居民消费额，X12为前一期人均居民消费额，为随机干扰项。

X，X为某市城镇居民人均可支配收入，X为其人均消费性支出，为随机干扰项。

2 0 11 2 1（1Y工业、建筑业的增加值之和等于第二产业增加值，即Y机关系，也非因果关系。

X1X2，因此这两个变量与Y之间的关系并非随X1X2与被解释变量YY具有解释能力。该模型不合理。因为一般来说人均可支配收入影响人均消费性支出，而非相反，两者之间的正确的模X101X2。第2章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型复习笔记单方程计量经济学模型是相对于联立方程计量经济学模型而言的，以单一经济现象为研究对象，模型中只包括一个方程，是应用最为普遍的计量经济学模型。一、回归分析概述回归分析基本概念变量间的相互关系经济变量间的关系可分为两类：一类是确定的函数关系；另一类是不确定的统计相关关系。变量间的函数关系与相关关系并不是绝对的，在一定条件下两者可相互转化。相关分析与回归分析①相关分析：主要研究随机变量间的相关形式及相关程度。从变量间相关的表现形式看，有线性相关（往往表现为变量的散点图接近于一条直线）与非线性相关之分。两个变量X和Y的总体相关系数为： Cov CovX,Y VarXVarYCovX,YX和YVarX和VarYX和Y的方差。X与Y的一组样本Xi,ii,

n，则样本相关系数为：rXY

XiXiY i iniXiX2niYiY2n 其中，X与Y分别是变量X与Y的样本均值。多个变量间的线性相关程度，可用复相关系数与偏相关系数来度量。（些，后一个变量称为解释变量（或自变量。回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：第一，根据样本观察值对计量经济学模型参数进行估计，求得回归方程；第二，对回归方程、参数估计值进行显著性检验；第三，利用回归方程进行分析、评价及预测。③相关分析与回归分析的联系和区别总体回归函数总体回归（曲）线：在给定解释变量X条件下被解释变量Y的期望轨迹。EY|Xfx，表明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）X变化的规律。线性总体回归函数：EY|X01X。其中，0、1是未知参数，称为回归系数。经典计量经济方法中所涉及的线性函数指回归系数是线性的，对解释变量则可以不是线性的。随机干扰项（又称随机干扰项或随机误差项YEY|XEY|X称称为其他随机部分或非系统性部分。总体回归函数的随机设定形式（总体回归模型：YEY|X或Y01X(在线性假设下)它表明被解释变量Yi除了受解释变量X的系统性影响外，还受其他未包括在模型中的诸多因素的随机性影响，即为这些影响因素的综合代表。在总体回归函数中引入随机干扰项的原因：代表未知的影响因素；代表残缺数据；代表众多细小影响因素；代表数据观测误差；代表模型设定误差；变量的内在随机性。样本回归函数在样本散点图中，可以画一条直线尽可能地拟合该散点图。由于样本取自总体，可用该线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线，其函数形式为YˆfXˆˆX0 1称为样本回归函数SF样本回归函数的随机形式（样本回归模型：YXe0 1ii（样本（或剩余Yiˆi。iYeXe估计：

0 1YEY|X01X图2-1绘出了总体回归线与样本回归线的基本关系。图2-1 总体回归线与样本回归线的基本关系二、一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是：Y01X其中，Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，i为随机干扰项。n个样本观测点Xi,Yii2,的情况下，也可以写成如下形式：01Xi2,,n对模型设定的假设假设1：回归模型是正确设定的。模型的正确设定主要包括两方面的内容：模型选择了正确的变量，指在设定总体回归函数时既没有遗漏重要的相关变量，也没有多选无关的变量；模型选择了正确的函数形式，指当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，所设定的总体回归方程恰为该函数形式。当假设1被满足时称模型没有设定偏误。对解释变量的假设XX的样本方差趋于一个非零的有限常数，即：n XiXn i1

/n

，n对随机干扰项的假设假设3：给定解释变量X的任何值，随机误差项的均值为零，即：Ei|X0随机误差项的条件零均值假设意味着的期望不依赖于X的任何观测点取值的变化而变化，且总为常数0XXX是严格外生的，X为内生解释变量。（EiEEiXE00（2）当随机干扰项的条件零均值假设成立时，一定可得到随机干扰项与解释变量之间的不相关性，即vX,iEXiEXEiEXi0XiiXii的不相关性，即有CovX,iEXii0这时，也称X是同期外生的或称X与μ同期不相关性。假设4：随机干扰项μ具有给定X任何值条件下的同方差性及不序列相关性，即irX2,iniCovi,jX0,ij同样地，随机干扰项μ的条件同方差假设成立时，根据期望迭代法则一定有如下非条件同方差性质：iVar2i另外，在随机干扰项零均值的假设下，同方差还可写成如下的表达式rXE2XEX2E2

X2i i i i或rE2E2E22i i ii随机干扰项μ的条件不序列相关性表明在给定解释变量的任何值时，任意两个不同观测点的随机干扰项不相关。可等价地表示为vi,j

XE

X

X0假设5：随机干扰项服从零均值、同方差的正态分布，即：i|X

~N0,25以上假设称为线性回归模型的经典假设，前四个假设也专门称为高斯-马尔可夫假设。在经典假设下，线性回归模型中被解释变量Y有如下条件分布特征：Y|X

~N

0

X,2三、一元线性回归模型的参数估计参数估计的普通最小二乘法最小二乘法的判断标准已知一组样本观测值Xi,Yi:i2, ,，要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。i普通最小二乘法给出的判断标准是：样本回归线上的点Yˆ与真实观测点Yi之差的平方和inQn

e2

Yˆ2

Y

2最小。

i1

i i inni1nn

ii1

0 1 i最小二乘法的原理样本回归线上的点Yˆ与真实观测点Y之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反i i映二者在总体上的接近程度。估计方法及结果1根据微积分学的运算，当Qˆ0ˆ0Qˆ01

1、ˆ的下1列方程组：

iˆˆXi0 0

（正规方程组）Y

ˆˆXX0解得：

0 1 i iXYXYXi i i ii i i i0 nX2X2i i i ˆniXiiXii 1 nX2X2记x2XX2X21X2i i i n ixyXXYYYX1YXii i i i i n i i则参数估计量可以写成：1 x2iiˆ

YˆX0 1称为普通最小二乘法估计量的离差形式。记yiYiYi，则有：

ˆˆ

eXX1ei 0 1

0 1

1 i n iˆ

（样本回归函数的离差形式）1i其中，用到了正规方程组中的方程1ii

iˆˆXi0估计量和估计值的区别

0 1 1ˆ0的一个具体数值；1如果仅仅把参数估计结果看成ˆ和ˆ的一个表达式，那么，参数估计式则是Y的函数，而Y是随机变量，0 1 i i1ˆ0ˆ1参数估计的最大似然法最大似然法：通过似然函数极大化以求得总体参数估计量的方法。两种参数估计的不同原理：普通最小二乘法：当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；最大似然法：当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取n组样本观测值的概率最大。在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。参数估计的矩估计法矩估计的基本原理：用相应的样本矩来估计总体矩。矩估计的解与普通最小二乘法和极大似然法的结果相同。最小二乘估计量的统计性质考察参数估计量优劣性的主要准则：线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；无偏性，即它的均值或期望是否等于总体的真实值；有效性（最小方差性渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，它的均值序列是否趋于总体真值；一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。前三个准则也称作估计量的有限样本性质或小样本性质，拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（。后三个准则称为估计量的无限样本性质或大样本渐近性质。高斯-马尔可夫定理：在高斯-马尔可夫假定下，普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性和有效性等优良性质，是最佳线性无偏估计量。参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计1ˆ0ˆ的概率分布1

分别是Y

也服从正态分布，即：0 1 i 0 1i2ˆ 2 ˆ X2i21~N1,x2,0~N0,nx2

1的标准差分别为：1

i i 2i2ix212X2in x2X2in x2i0i的方差2的估计e2 e22的最小二乘估计量为ˆ2不具有无偏性，但具有一致性。

in

（无偏估计量2的最大似然估计量和样本距条件为ˆ2i，n1ˆ0ˆ的方差和标准差的估计量分别是：11ˆ的样本方差：11的样本标准差：1

2 ˆ2iS1ˆ x2iS1ˆ0的样本方差：

Sˆ1i0S2i0

ˆx2ii2Xiˆ0的样本标准差：

ˆ nx2X2in xiX2in xi20四、一元线性回归模型的统计检验拟合优度检验拟合优度检验：是检验模型对样本观测值的拟合程度。检验的方法：构造一个可以表征拟合程度的指标（称为统计量，该指标是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。总离差平方和的分解已知由一组样本观测值Xii,n得到样本回归直线：YˆˆˆXi 0 1 iY的第i个观测值与样本均值的离差yi

可分解为两部分之和：yiYiY

iˆˆYiˆii iYi i

是样本回归线理论值（回归拟合值）与观测值Yi的平均值之差，可认为是由回归线解释

YiYˆ是实际观测值与回归拟合值之差，是回归线不能解释的部分。图2-2是离差分解示意图。图2-2 离差分解示意图i i 对于所有样本点考虑这些点与样本均值离差的平方和可得y2ˆ2e2或SSS i i

y2

YY2

称为总离差平方和，反映样本观测值总体离差的大小；iii ˆ2ˆY2S称为回归平方和，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小；iii i e2Yˆ2S称为残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变i y2yˆ2e2表明Y的观测值围绕其均值的总离差平方和可分解为两部分：一部分来自回归i i iY的总离差平方和的比例来判断样本回归线与样本观测值的拟合优度。R2统计量用可决系数R2ESS1RSS检验模型的拟合优度。在总离差平方和中，回归平方和所占的比重越大，残差平方和所占的比重越小，回归直线与样本点拟合得越好。如果模型与样本观测值完全拟合，则有R21。因此，该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。11

已经估计出后，可决系数的一个较为简单的计算公式为：2ˆ2xi22R1

y2 i0R21，是一个非负的统计量。变量的显著性检验假设检验假设检验的基本任务：根据样本所提供的信息，对未知总体分布的某些方面的假设作出合理的判断。假设检验的程序：先根据实际问题的要求提出一个论断（统计假设H0；然后根据样本的有关信息，对H0的真伪进行判断，作出拒绝H0或接受H0的决策。变量的显著性检验用以进行变量显著性检验的方法主要有三种：F检验，t检验，z检验。以下仅介绍t检验。e2假设真实的2未知，而用它的无偏估计量ˆ2

in

替代时，可构造统计量： 1 1 1 1 ix2Sˆ1n2的t1显著性检验的t统计量。【注】自由度：构成样本统计量的独立的样本观测值的数目或自由变动的样本观测值的数目，用df表示。n由于正规方程组等价于

i0i1n

，它构成了对残差e的两个限制条件，因此在一元线性回归模型中，凡eX0 ii ii1包含残差ei的统计量，其自由度都会减少2个。在变量显著性检验中的原假设与备择假设分别为：H0:10,H1:00给定一个显著性水平，查ttn2ttn2H下的一02 2个小概率事件。

tn2，则在HX是显著的，通过变量显著2性检验；如果未发生t

0tn2，则在显著性水平HX是不显著的，未02通过变量显著性检验。0对于一元线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：0 0 0 ˆ2Xn x 0 0 ˆ2Xn x2i2iSˆ0同样地，该统计量服从自由度为n2的t00。参数检验的置信区间估计ˆiii,，可预先选择一个概率0，并求一个正数，使得随机区间ˆ

,

的真值的概率为1，即：i i iP(ˆˆ)10i i i如果存在这样一个区间，称之为置信区间；1称为置信系数（置信度称为显著性水平；置信区间的端点称为置信限或临界值。由于：ˆti i~tn2i,1Sˆit,t如果给定置信度1，那么t值处在

的概率是1，表示为：2 2 Pttt1 2 2经过简单变形得到1i的置信区间是：t S,t S i i 2 i 2 i缩小置信区间的方法：第一，增大样本容量n；第二，提高模型的拟合优度。五、一元线性回归分析的应用：预测问题对于一元线性回归模型YˆˆˆX，如果给定样本以外的解释变量的观测值X，可以得到被解释变量的0 1i 00预测值Yˆ，可以此作为其条件均值EY|XX0或个别值Y的一个近似估计。严格地说，这只是被解释变量的0预测值是条件均值或个别值的一个无偏估计0在总体回归函数为EY|X01X的情况下，Y在XX时的条件均值为0EY|XX001X0通过样本回归函数YˆˆˆX，求得XX的拟合值为0 1 0YˆˆˆX0 0 10EX0 0 10另一方面，在总体回归模型为Y01X的情况下，Y在XX0条件下的值为：Y001X0由此说明，在XX0

EY001X00时，样本估计值EY|X0

和个别值Y0的无偏估计，故可用Yˆ作为0EY|XX0与的预测值。0总体条件均值与个别值预测值的置信区间总体条件均值预测值的置信区间由于YˆˆˆX0 1且 2 1~N1,x2 ii ˆ X2 i 0~N0,nx2 i 则：E001X021X0X 0 n x2 i NN0

1,21

X0

X20 10

x2 ii将未知的2代以其无偏估计量ˆ2，则可构造t统计量：tn2tn2其中：

t0 0 1 0Sˆ0ˆ2ˆ21XX20nx 2i00于是，在1的置信度下，总体均值EY|X0的置信区间为：000ˆtSYˆ00

EY|X

0

t02 20总体个别值预测值的置信区间由0X0知Y~N(

,2)0 0 1 0于是： 1 XX22 0 02ˆ 0,102 n 将未知的2代以其无偏估计量ˆ2，则可构造t统计量：YˆYt0 0~tn200SYˆY00其中：ˆ21 ˆ21 1XX20 nix 20 0从而在1的置信度下，Y的置信区间为：0Yˆt

YY0 0 0 0 0 0 02 2对于YE0与个别值0（置信区间nX（插值预测精度高；X越远离其均值，置信带越宽，预测精度将下降。课后习题详解为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？答：计量经济学所研究的变量是具有因果关系的随机变量，变量之间是相关关系，而不是确定的函数关系。,,

Xi,

i1,2,,,

XiXii,

i,,n;,,n;

ii i i,n;,n;

Xi

i,n;,n;

X

i,,,,

ˆˆXiˆi

i

ii i i其中带“^”者表示“估计值”。

Xii；EY|XiXi；

Xi；ˆˆX；i iˆi1（3（4（5（8）错误；（2（6（）正确。一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可以估计？（1）针对普通最小二乘法，一元线性回归模型的基本假设主要有三大类：①关于模型设定，假定回归模型的设定是正确的；③关于随机干扰项，包括条件零均值、条件同方差、条件不序列相关性以及服从正态分布等。（2）在违背基本假设的情况下，此时仍有可能用普通最小二乘法估计该模型，但其估计量不再具有良好的的估计结果进行修正，有可能得到更好的估计结果。线性回归模型

Xi

,i,i1nii1

0？为什么？YX

E

1n答：线性回归模型i i i的零均值假设

i0i10

，因为i i Ei0E|X0XXi i 干扰项代表的因素对Y

1ni的平均影响为0。而ni1i

0只是随机干扰项一个样本的平均值，而样本平均值只是总体平均值（期望）的一个估计量，不能简单将两者等同起来。

0

的最小二乘估计，试回答：X10Y变10倍，又会怎样？X2，对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果给Y的每个观测2，又会怎样？X*解（1）设X*为原变量X的单位扩大10倍后的变量，则有X ，所以：10Y

XX

1X**0 1 0 1*

0 因此，当解释变量X的单位扩大10倍时，回归中的截距项不发生变化，但斜率将变为原回归系数的1/10。* Y* Y*同理，设Y为原变量Y单位扩大10倍后的变量，则有Y ，所以Y0X ，即10 0Y*1010X01因此，当被解释变量Y的单位扩大10倍时，回归中的截距项与斜率项均是原回归系数的10倍。（2）设X*X2，则Y01X0X 2*2XX*0 1 1因此，当解释变量的每个观测值均增加2时，回归的斜率不会发生变化，但截距项由原来的0变为021。同理，可设Y*Y2，则Y

0

Y*2Y*

021X。可见，当被解释变量的每个观测值均增加2时，回归的斜率仍不发生变化，但截距项由0变为02，也就是回归直线向上平移了2个单位。

Xii中，用不为零的常数去乘每一个X值，这会不会改变Y的拟合值及残差？如果对每个X都加上一个非零常数，又会怎样？解：

Xii的样本回归模型记为YiˆˆXe则有：

0 1 i iˆyii1 x2iˆYˆX0 1Y的拟合值与残差分别为：YˆˆˆXi 0 1 i0 iiˆˆXi0 i （1）X*Xi

X* X*

iXnx*X*X*xi i i记新总体模型对应的样本回归模型为：i i

0

X*e*ˆ

x*

xiyi

1xiyi

1ˆ1 x* 2x

x2 1i 2i i ii 2ˆ YˆX*Y1ˆXYˆXˆ0 1 1 0X*于是在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为：X*Yiˆ

01 i1X0 1 iˆˆX0 1 ii e*i

X*0 1 Y1X0 1 i 0 1 i YiˆˆXi0 1因此，对X乘非零常数后，不改变Y的拟合值与模型的残差。i （2）记X*X，则有：i X*Xx*xi i于是新模型的回归参数分别为：11

x*i i

x*i i2i i2

ˆ*i*

x2 1ˆ0Y11Y1

X*X1 YX1 0 1在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为：iˆˆi

01 iX*X*

0 1 1 iˆˆX0 1 ii e*i

0

X*iY*Xii 0 1 1 i i0 iYˆˆˆXi0 i因此，对X都加大一个非零常数后，也不改变Y的拟合值与模型的残差。假设有人做了如下的回归：

xe0 i yx分别为YX0 i

将分别取何值？i i i i 1 0解：根据题意，知：

YxiXiX将模型yiˆˆxe中的xi与yi看作是一般的解释变量与被解释变量，则根据OLS估计可得：0 1i

xyiy1x12yx由于：

0 1x1x1

X0n i n iy1y1YY0故有：

n i n iˆyii1 x2i0ˆ00即离差形式下，回归方程没有截距项，只有斜率项。8

ˆY分别为YXX对Y的回归中的斜率，证明：

r2rX与Y证明：根据题意得：

XYiiˆXY

x2yiiy2i因此：

ˆY

xy2ii x2yii

r2其中，xiXiX，yiYiY分别为离差形式。0 记样本回归模型为0

e，试证明：i 估计的Y的均值等于实测的Yi 残差和为零，从而残差的均值为零：

YˆYX不相关：

∑ei0

，e0残差项与估计的Y不相关：

iXi0ii1）ii

，所以：

∑eYˆ0i 0 1 iˆ1nˆ1

ˆˆXnin

i

0 1 i1nni

ˆ1n0ni0

ˆXi1ˆ1

1nX0 1n

ii1XYXX0 1 1 1Y估计正规方程组中的第一个正规方程：nYn

0i1得：

i 0 1 ii0e1e0n i估计正规方程组中的第二个正规方程：nYn

ˆˆXX0即得：

ii1

0 1 i in（4）由（2（3）的结论可得：

iXi0i1eˆi

Xiii 0 1ˆiˆiXi0 10证明：一元线性回归总离差平方和分解式中： ye 0i 证明：因为yiYiY，由第9题（1）得到：9题（2）和（4）

yiei

YYYi ii iiYi yiei

0Y0010X和Y的观察值得到的：iXiXiYi

11101680204200iX2315400iiY2i假定满足所有的经典线性回归模型的假设。求：01的估计值及其标准差；R2；

1333000195%10吗？（1）n0，则：01的估计值分别为：

X∑XinYn

10111011110ˆXiXiY1 Xii

X2XiYinXYiX2nX2i20420010168111315400101682177200.534433160Y

1110.534416821.220 1

21.220.5344X。i i又：∑e2

Y

ˆ

Y2Yˆˆ2i i i i ii i i i0 i01iY2i i i i ii i i i0 i01i

2X

22X2

ˆX133300221.22111020.53442042001021.220.53440.5344315400221.220.53441680620.81故随机干扰性方差的估计值为：i2ˆ2 e 10i2n2 102X2 2i ˆX2 2i ˆn XX2iSˆ0

77.6031540010331608.5913ix277.6033160Sˆix277.60331601i（2）由（1（2）Y1，e21，所以：iYY2Y2i ii 2i

111210133300222111011121010090因此，可决系数：

RSS

∑e2R21 1i TSS iY21620.810.936510090（3）5%的显著性水平下，自由度为1028t0.02582.3060195%的置信区间分别为：t S ,t S 0

ˆ 0 ˆ0 0221.222.3062.30641.0315t S ,t S 1 1 2 1 2 10.53442.3060.0484,0.53442.3060.04840.4227,0.6460由于10不在1的置信区间内，故拒绝零假设10。2007年各地区税收YGDP的统计资料。表2-1 单位：亿元vws软件（或其他软件：GDP变化的一元线性回归方程，并解释斜率的经济意义；对所建立的回归方程进行检验；20088500亿元，求该地区税收的预测值及预测区间。（1）首先作YP的散点图。vwsuck／rph（2-3Srsst对话框（2-42-32-4PKrph窗口（2-5图2-5在Graph窗口的GraphType栏中选择ScatterDiagram，点击OK按钮，即出现如图2-6所示的散点图。图2-6其次，表2-2给出了以手工方式计算参数估计值的相关数据。表2-2由此表可得：

ˆi1 x2i

3975580.40.07155957878.6ˆYˆX621.00.0718891.110.63*0 1软件下，为了得到税收YGDPQuick／Estimate图2-7qutonSpcfcton对话框（2-82-72-8YCP0K按钮，得到如下估计结果（2-9图2-9由此可知，税收Y随GDP变化的一元线性回归方程为：Yˆ10.630.071GDPR20.7603斜率的经济意义是：2007年，中国内地各省区GDP每增加1亿元时，税收平均增加0．071亿元。5%的显著性水平下，自由度为2的t2.045。因此，从参数的t检验值看，斜率项显著不为零，但不拒绝截距项为零的假设。另外，拟合优度R276%的变化可以由GDP的变化来解释，因此拟合情况较好。2008GDP8500亿元时，预测的税收为Yˆ10.630.0718500592.87（亿元）GDP2-2GDP的均值与离差平方和：GDP8891.1i2i又在图2-9中已知RSS2760310，从而随机干扰项的估计的方差为：ˆ2于是预测的Y的方差为：

RSS/n22760310/2995183.1SYˆ

221GDPGDP2n02gdpi95183.1

85008891.257.71

31 55957878.6 在5%的显著性水平下，自由度为31229的临界值为2.045。于是在95%的置信度下，预测省区的2008。年的税收收入均值的置信区间为：593.242.04557.71593.24118.02或475.22,711.26。同样地，易知95%的置信度下预测的2008年某省区税收入个值的置信区间为： 1 02593.242.045 95183.11 593.242.045313.87593.24641.86或48.62,1235.11。

31 55957878.6 考研真题与典型题详解一、单项选择题一个参数估计量的大样本性质，并不需要满足（ 。[北京航空航天大学2009研渐近无偏性一致性【答案】C关于两个变量X和Y相关系数的计算，错误的是（ n XiXin i iniXiX2niYY2iA． i iiiniX 2iinX2iniY Y2i iin2n n B．

XiinXii i iiinn X 2iiinXi2n Y n2iiinYi2n n C．

nXiiXiirXYD．

n XiYinXYi1nni1nnX nX22ii1Y nY22i【答案】Bn n i iniXiX2niYY2i

XiXiY n XiYiXiYXYiXY ii1n n X 2XXX22i iY2YYY22iiin i ii1nnX nX22i1YnY22iin nXiYinXY2in n nX2n2X2 nY2n2Y2i iiin n n n iiin X n2 iiin X n2niXi2nn Y Y2n iiiiii2下列属于线性总体回归函数的是（

01XiiEY|Xi01Xi

ˆˆXeD．

0 1 i iˆˆXi 0 1 i【答案】B【解析】A项为总体回归函数的随机设定形式；C项为样本回归函数的随机形式；D项为样本回归函数。设样本回归模型为

e，用最大似然法确定，则正确的是（ 0 1 i i 1ˆXiXiY1

Xi

X2YYˆXiXiYY1 2iˆ X2YXYX i i i i iˆ

nX2X2i nXiiXii D．1 2X【答案】A【解析】在满足一元线性回归模型的基本假设的条件下，最大似然法的参数估计量可以写成：XYXYXi i i i i i i i i 0 nX2X2i

niX

iXii 1 nX2X2i 记：x2XX2i iX21X2i n i

XiXiY那么：

1 n

ii1 x2iˆi

YˆX0 1下列样本模型中，哪一个模型的参数估计值违背了经济理论与实际意义？（ ）．i

收入）i i B．Qd(商品需求)100.8I(收入)0.9Pi i ˆiˆ67i）i【答案】B【解析】B项，当收入一定时，如果商品价格上涨一个单位，那么商品需求量上涨0.9个单位。这与经济理论是相矛盾的，一般地，商品价格上涨，商品的需求量会相应的下降。（

0iXii

，通常假定i服从正态分布，如果利用最小二乘法估计参数，那么1ˆ1

是F分布1ˆ1

是t分布1ˆ1

是2分布1ˆ1

是正态分布【答案】D【解析】由于普通最小二乘估计量ˆ和ˆ分别是Y的线性组合，因此ˆ和ˆ的概率分布取决于Y，在是1 0 i 1 0 i iY

也服从正态分布。i 1 0在一元线性回归模型中，应用最大似然法估计的随机干扰项i的方差2具有（ D1 e2 e2最大似然估计量ˆ2

YˆˆX i不具有无偏性（最小二乘估计量ˆ2i是n i 0 1i n

n22的无偏估计2然估计量也不具有线性性和有效性。下列各项中，不属于估计量的大样本性质的有（ A．一致性B．无偏性C．渐近无偏性D．渐近有效性【答案】B【解析】考察总体的估计量其优劣性的准则：①线性性；②无偏性；③有效性；④渐近无偏性；⑤一致性；⑥渐近有效性。前三个准则称作估计量的小样本性质，后三个准则称为估计量的大样本或渐近性质。对于一元线性回归模型以表示利用最小二乘法估计的标准误差表示样本相关系数则（ A．ˆ0时，r1B．ˆ0时，r1C．ˆ0时，r0D．ˆ0时，r1或r1e2e2in2iˆ2i

e2

ˆ0e20

Yˆ，n2

i i i模型与样本观测值完全拟合，自变量与因变量是完全正相关或者完全负相关的，即r1和r1。在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型,nYi01Xii,i,n服从（ 0Xi0Xit0XiD．正态分布且均值为0【答案】AN0,N0,2, i,ni所以Yi~N

01Xi

2设Y表示实际观测值，表示回归估计值，则（ YYYY【答案】C【解析】利用最小二乘法进行估计时，可以得到正规方程iˆˆXi0那么iˆ

0 10 XiY。0 在满足回归模型基本假定的条件下，用最大似然法估计线性回归方程,nYi01Xii,i,n其代表的样本回归直线通过点（ X,YX,ˆX,YX,Y【答案】D【解析】在满足基本假定的条件下，最大似然法和最小二乘法的估计结果是相同的，由于

YˆX，可得Yˆ

0 10 X，所以对于两种估计结果而言，样本回归直线都通过点XY。0 以Y表示回归估计值，则用普通最小二乘法得到的样本回归直线X，满0 1i足（ i．iˆ0ii．ˆY20ii ．Yˆ2i i．YY20i【答案】A用普通最小二乘法可以得到正规方程组iˆ

Xi0 0 1iˆˆXiXi0由第一个正规方程

0 1iˆˆXi00 1和YˆˆˆX可得：

i 0 1iiiˆ0i已知某一直线回归方程的样本可决系数为0.81，则解释变量与被解释变量间的相关系数为（ A．0.41B．0.81C．0.90D．0.95【答案】CR22xi2

ˆxiyi【解析】由

1y2和1 x2得： i i xy2 x2

xy2R2iii

ii r2x2

y2

x2y2 i i i i所以R2r R2用一组有15个观测值的样本估计模型01Xi，在0.01的显著性水平对1的显著性作t检验，则1显著地不等于零的条件是其统计量t的绝对值（ 大于t0.00513．小于t0.00513．大于t0.00514D．小于t0.00514【答案】A【解析】0.011的显著性作t15-2＝13，如果|tt0.005131显著不为零；如果|tt0.00513，那么就要接受原假设，即10。考察某市城镇居民人均可支配收入和人均消费性支出之间的关系，可以建立一元线性回归模型Yi01Xii（X表示人均可支配收入、Y表示人均消费性支出）0200

0.39Sˆ0

0.03，那么对应的t统计量为（ 0A．2.6B．2.8C．3.9D．13.00【答案】D【解析】00

0.39t0 13Sˆ 0.030一元线性回归模型i01XiiS0n52的最大似然估计量为（ A．4.00B．4.17C．4.25D．5.00【答案】Ai【解析】2的最大似然估计量iˆ2

e2n

100425根据某地区2001～2009年农作物种植面积X与农作物产值Y，可以建立一元线性回归模型，估计结果得到样本可决系数R2，回归平方和，则回归模型的方差2的无偏估计为（ A．1.429B．1.667C．10.000D．12.857【答案】AESS【解析】由R2 和得，TSSTSSESS90100R2 所以，

RSSTSSESS1009010iˆ2i

e2

101.429n2 92二、判断题经典线性回归模型（OLS）中的干扰项不服从正态分布的估计量将有偏的（ ）[北京航空天大学2013研]×【解析】对参数估计量的无偏性证明可得：E0E0iiE0iEiE00E(X)0i估计量也是无偏的。在回归模型中，随机干扰项反映了自变量对因变量的影响（ ）【答案】×对于一元线性回归模型在经典线性回归的假定下参数的最小二乘估计量是最小方差无偏估计（ ）【答案】√对于一元线性回归模型，最小二乘方法是被解释变量的估计值与观测值的差值平方和达到最小时所求得的值作为参数的估计量（ ）【答案】√在经典线性回归的假定中，随机干扰项服从0均值的正态分布，对方差则没有具体的要求（ ）【答案】×【解析】在经典线性回归的假定中，随机干扰项服从条件同方差假设。在一元线性回归模型中，采用最大似然法估计的总体方差的估计量2是无偏估计（ ）【答案】×【解析】在一元线性回归模型中，采用最大似然法估计的总体方差的估计量ˆ2不是无偏估计，而采用最小二乘法得到的估计量是无偏估计。对一元线性回归模型进行拟合优度检验利用的是t统计量（ ）【答案】×【解析】对一元线性回归模型进行拟合优度检验利用的是可决系数R2统计量，对变量的显著性检验构造的统计量是t统计量。对于一元线性回归模型，如果自变量是显著的，那么自变量所对应的系数应该显著的不为0（ ）【答案】√估计量和估计值并没有什么区别，二者是同一概（ ）【答案】×【解析】“估计值”是参数估计量的一个具体数值，而当把估计结果看成是一个表达式时，那么“估计量”就是一个随机变量。三、简答题利用最小二乘法对回归模型进行估计时，为什么要对模型进行基本假定？答：回归分析的目的是要通过样本回归模型（方程）尽可能准确地估计总体回归模型（方程。回归分析估计方法中应用最普遍和广泛的就是最小二乘法，为保证根据最小二乘法得到的参数估计量具有优良的统计特性，试述回归分析与相关分析的联系和区别。（些（或（总体回归分析与相关分析的联系回归分析和相关分析都是对变量之间的非确定相关关系的研究，均能通过一定的方法对变量之间的线性依赖程度进行测定。回归分析与相关分析的区别（1R2反映了回归平方和占总离差平方和的比重，表示由解释变量引起被解释变量的变（2）样本可决系数与相关系数的联系与区别X对随机变量Y的解释程度；②在取值上，可决系数是样本相关系数的平方；③样本相关系数是由随机的X和Y抽样计算得到，因而相关关系是否显著，还需进行检验。四、证明题rSxSSx ySy分别为样本标准差。[北京航空航天大学2011研]证明：因为ˆ为一元线性回归模型一次项系数的估计值，则ˆxy。x2样本的标本差：Sx

，Syx2nx2n1y2n1

。x2nx2n1y2n1 rSy

x2 / x2 x2y2x2x2y2x2y2r对于一元线性回归模型

01Xi，试证明：2XCvˆ0,1 2证明：

Covˆ0,1Eˆ0011Eˆ0Eˆ01E1EY1XYXE11E1XE1E11E11 XEˆEˆ21 XVar12Xi∑x2iXi，证明：

∑ei0如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组Xi

，则可得1的两个不同的估计值：Y

ˆ∑XiYii1 X ，1i

∑X2Ei0条件下，估计量1、ˆ1均是无偏的。拟合线ˆ1X通常不会经过均值点X,Y，但是拟合线Y1X经过均值点X,Y。ˆ11S估计量。1）i0得：解得：

Yi1Xi0Y1 X由正规方程iXi0，即Xii1Xi0得：ii1iXYˆX2ii1i解得：

1

XiYiiX2iEi0条件下，估计量1、ˆ1的期望分别为：E

EYX1 X 1E1 X n 1

XiinEinEi1

E1Xi1X

n n XX 1Eˆ

1E∑XiYi1 ∑X2 i 1i∑X2i

∑EXiYi 1 ∑EX

i∑X2i

i 1

i i 1 ∑X2 1 ∑XE∑X2 1

i ∑X2 i i1ˆ1

i i1i假如拟合线X经过均值点X,Y，则Y必须等于X；但是X等于XiYiX，通常不等i1 1

X2于YX,Y不太可能位于拟合线ˆ1X1XYY1X经过均值点X,Y。SSSe2YˆX2S对ˆ求偏导，并令偏0，即：

i i 1 11SYˆXX01解得：

i 1i i1

XiYiiX2i五、计算分析题（在相等的风险水平下ˆ2.6X，i ii第i年政府债券价格（100元债券Xi第i年利率（按百分比。请回答下列问题：解释方程中两个估计系数的意义，估计的符号与期望的符号一样吗？为何方程左边的变量是而不是Y？i i在估计的方程中是否遗漏了随机干扰项？（198.200，所以常数项的实际经济意义不大。估计系数-5.6（降低（上升）5.6个单位。估计系数的符号为负，与预期相符，即利率的变动会引起债券平均价格的反向变动。iY而i不是，若左边的变量为，则原方程可等价表示为样本回归模型：5.6Xi在估计的方程中没有遗漏随机干扰项，因为随机干扰项是不可观测的，并且该方程是样本回归方程，而不是回归模型，所以不必加入随机干扰项。第3章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型复习笔记一、多元线性回归模型多元线性回归模型的形式多元线性回归模型一般形式（总体回归函数的随机表达形式：kXkY0X12X2kXk其中k为解释变量的数目，jj,k称为回归系数还可以写成如下形式：

01Xi12Xi2kXiki,YX

i1,2,,n其中 Y2YYnn10

1

1 2

2， 多元线性回归模型的非随机表达式为：,Xk0,Xk0X12X2 kXk样本回归函数表达式为：

kk11

nn1Xk kYˆˆˆXXk k其随机表达式为：

0 1 1 2 2Xk kYXXXk k0 11 2 2其中e称为残差或剩余项，可看成是总体回归函数中随机干扰项的近似替代。以上两式也可表示如下： Yi01Xi12Xi2kXik,i2,,n Yi01Xi12Xi2kXikei,i1,2,,n对应的矩阵表达式分别为：YˆXˆ，YXˆe其中ˆ

e10 ˆ

e2ˆ

e ˆ

enk，1：回归模型是正确设定的。X1X2X3（无完全多重共线性。

，XkXj之间不存在严格线性相关性假设3：随机干扰项具有条件零均值性Ei|X1,X2,

Xk

i1,2,n假设4：随机干扰项具有条件同方差及不序列相关性ri|X1,X

Xk

i1,2,,n,XkCovi,j|X1,,Xk假设5：随机干扰项满足正态分布

0 i

j i,j2,,ni|X1,X2, Xk

N0,2与一元线性回归模型的假设相比，假设2中对各Xj之间不存在严格线性相关性的要求是多元回归模型所特3Ei0Covi,XjEXji0上述假设2至假设5还可用矩阵符号来表示：假设2：nk1矩阵X的秩RXk1，即X列满秩。假设3：E|X0假设4：In阶单位矩阵。5|X~N0,2In。二、多元线性回归模型的参数估计普通最小二乘估计普通最小二乘估计及其矩阵表达随机抽取容量为n的样本观测值Xi1,Xi1,Xi1,Yii2, ,根据最小二乘原理参数的最小二乘估计值为：那么：

ˆXX1XY

…

ini 0 1

i1 2 i

k ik离差形式的普通最小二乘估计离差形式下参数的最小二乘估计结果为：ˆxx1xy Xk kˆYXk k0 11则多元回归分析中样本回归模型的离差形式为：

en其矩阵形式为：

1i1 2i

k ik iyxˆe其中的方差的普通最小二乘估计普通最小二乘法下，随机干扰项的方差的无偏估计量为：i2

eeˆ2

nk1

nk1最大似然估计参数的最大似然估计为：

ˆXX1XY其结果与参数的普通最小二乘估计是相同的。多元线性回归下随机干扰项方差的估计为：YXˆYXˆˆ2

i2n n矩估计对多元线性总体回归模型YX，存在如下一组矩条件：EX0。n1XYXˆ0。XX。nˆXX1XY。1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件，这就是工具变量法。如果存在大于K1个变量与随机干扰项不相关，可以构K1个方程的矩条件，这就是广义矩估计法。参数估计量的统计性质线性性ˆXX1XYCYCXX1XXY的线性组合。无偏性XEˆXEXX1XY XEXX1XXX有效性的方差-

XX1XEXVarˆ

XEˆEˆˆEˆ

XXEX XEXX1XXXX1 X2XX1根据高斯-马尔可夫定理，其表示的方差在所有无偏估计量的方差中是最小的，所以该参数估计量具有有效性。样本容量问题最小样本容量ˆXX1XY（包括常数项nk1。满足基本要求的样本容量一般经验认为，当n30或者至少n3k1时，才能满足模型估计的基本要求。，才能完成模型的参数估计。三、多元线性回归模型的统计检验拟合优度检验（1）可决系数与调整的可决系数总离差平方和：

YY2ii ；SYˆ2ii ；iSˆY2，它反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，残差平方和越小，表明样本回归线与样本观测值的拟合程度越高。且iSYˆ2ˆY2SSi i i可决系数R2：用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度，即 R2 1R2就不是一个合适的指标，必须加以调整。调整的可决系数R2：在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以需将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响，即：R21

RSS/nk1TSS/n1其中，nk1为残差平方和的自由度，n1为总离差平方和的自由度。调整的可决系数与未经调整的可决系数之间的关系为：R211R2（２）赤池信息准则（AIC）和施瓦茨准则（SC）

n1nk1AICee2(k1)1ln(2)n nee k1SCn n

lnn1ln(2)这两个准则要求：仅当所增加的解释变量能够减少AIC或SC值时才在原模型中增加该解释变量。（F检验）F即检验模型kXik,i,nYikXik,i,nkk0kk0

是否显著不为零。原假设与备择假设分别为：H0:2H1:jjk不全为零H0成立的条件下，统计量

0,F /kRSS/nk1服从自由度为k,nk1的F分布。因此，给定显著性水平，可通过Fk,nk1或Fk,nk1来拒绝（或不拒绝）原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。关于拟合优度检验与方程总体线性的显著性检验关系的讨论关联：模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强。两个统计量之间存在下列关系：R21或F

n1nk1R2/k(1R2)/(nk1)FR2R2＝0F0R2FR2＝1FF检验是所估计回归总显著性的一个度量，也是R2的一个显著性检验。亦即，检验原假设H0:10,20,价于检验R2＝0这一虚拟假设。

k0，等变量的显著性检验（t检验t统计量由于ˆj服从如下正态分布：于是，构造的t统计量为：

ˆj

ˆj~Nj,2cjjˆjjt tnk1t检验

Sˆj

jjn