复变函数第一章第一节

复变函数与积分变换张慧清huiqingzhang@2前言二、发展简介：十六世纪中叶：十七世纪：十八世纪：Euler一、研究对象和研究内容：3十九世纪：CauchyRiemannWeierstrass4三、学习中的注意点：1、方法2、态度第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考6第一章复数与复变函数1.复数的代数运算和共轭运算一、复数的基本概念二、复数的代数运算三、复数的共轭运算7一、复数的基本概念：1、复数的定义：

形如的数称之为复数，其中为虚数单位，为实数，分别称为的实部和虚部，记作：虚部为零，即为实数，实部为零，称为纯虚数。

2、

复数相等：设83、共轭复数若，它的共轭复数就定义为：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭的。二、复数的代数运算：1、加减法：2、乘除法：9三、复数的共轭运算：102.复数的几何表示一、复平面：1.定义：建立平面直角坐标系，让平面上的点表示复数,则复数的全体和平面上的点建立了一一对应关系，这样的平面称为复平面，其中轴称为实轴，轴称为虚轴。2.复数的点表示法：任意复数可用复平面上的点来表示。113.复数的向量表示：复数和从原点指向点的向量是一一对应的，所以可以用从原点出发的向量来表示复数。复数代数运算的几何意义：1）加法：

和相加即为以、为边的平行四边形的对角线指的向量所对应的复数。2）减法：

减即为从端点指向端点的向量。124.复数的三角表示式：习惯上把表示式称为复数的直角坐标表示式或代数形式，利用直角坐标系和极坐标之间的联系则其中表示所对应向量的长度，称为的模，记作,称为的幅角，记作把其中落在之间的角称为主幅角，记为则有：1）模和幅角的定义三角表示式132）主幅角的计算下面的公式给出了主幅角的计算方法：

在第一、四象限

在第二象限

在第三象限

在正轴

在负轴

在正轴

在负轴14例1.将下列各复数表示为三角形式：解:(1)因在第三象限，所以：又所以：155.复数的指数表示式：利用欧拉公式从复数的三角表示式即得指数表示式6.几个重要不等式：二、复球面16现在建立这样的对应关系：这样，除N点之外，球面上的所有点和复平面上的所有点之间建立了一一对应关系，该球面即称为复球面。注意到当复数的模越大时，它所对应的复球面上的点越靠近N,因此我们可以认为N和复平面上一个模为的点相对应，这样的一个点成为无穷远点，记为。若把无穷远点添加到复平面中，则称为扩充复平面，与其对应的球面称为扩充复球面。17（为特定整数）3.复数的乘幂与方根一、乘积与商1.乘积：设则：可以看出:1）表达式：182）几何意义：即为把旋转并将模伸长倍所得向量。2.

商：设则：(为正，逆时针，为负，顺时针)可看出：19例1.证明三角形的内角和为。证明：设三角形的三顶点为三顶角为所以：即：则：又因只能为零。即得结论。20二、幂与根：1、幂：n个相同的复数的乘积称为的n次幂，记作设则：特别地，时：称为莫勒弗公式。2、根：若则称为的次方根，记作设21即得：当时，有n个不同的值，即得n个相异根：由得：22例2：求解：因所以：23例3求下列方程所表示的曲线:解24化简后得25§4、平面点集的几个基本概念1、点集：点的有限个或无限个集合称为点集。由于复平面上的点和复数是一一对应的，所以复平面上的点集可看作是复数的集合。2、-邻域：设为复平面上一点，对于任意给定的正数满足的点集称为点的-邻域，满足的点集称为的去心-邻域。若为任意正数，满足的点集称为的邻域，满足的点集称为的去心邻域。263、聚点、孤立点、外点、内点、界点1）聚点：对于点集E,若的任意邻域都有E的无穷为E的聚点或极限点。E,但非E的聚点，称为E的孤立点。多个点，称2）孤立点：若4）内点：若E，且有一邻域含于E内，则为E的内点。5）界点：E的异于内点的聚点及E的孤立点均称为E

的界点，E的全部界点称为E的边界。3）外点：若E，又非E的聚点，则称为E的外点。274、开集、闭集若点集E的点均为内点，则称E为开集。若E的聚点均属于E，则称E为闭集。5、区域：1）区域：满足下面两条件的点集E称为区域。A）E是一个开集。B）E是连通的。2）闭区域：区域加上边界称为闭区域。3）有界区域：若一个区域E可以被包含在一个以原点为

中心的圆里面，则称E为有界的。否则，为无界的。286、约当曲线：1）连续曲线：设是的两个实函数，在闭区间上连续，则方程组确定了一条平面曲线，若令则即为曲线参数方程的复数形式，和分别称为该曲线的起点和终点。292）重点：若对于但则称点为曲线的重点。3）凡没有重点的连续曲线，称为约当曲线或简单曲线。除外无重点的连续曲线，称为约当闭曲线。4）设约当曲线的参数方程为在上，及存在、连续且不全为零，则该曲线称为光滑曲线，由有限条光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线。5）对于光滑闭曲线或分段光滑闭曲线，我们称之为围道。围道方向的规定：30假设一观察者沿围道而行，围道内部在观察者的左方，则规定该方向为围道正向，反之，为负向。7）单连通区域：若区域D的任意一条约当闭曲线的内部仍属于D，则D称为单连通区域，否则为多连通区域。单连通域多连通域31§5复变函数一、复变函数的定义：1、单值函数：设E为一复数集，若对E内每一复数，按照一定的规则函数2、多值函数：有唯一的复数与之对应，则称在E上确定了一个单值若对于E内每一个复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在E上确定了一个多值函数集合E称为定义域，的全体称为值域。323、复变函数的表示：设是定义在点集E上的单值或多值函数，设

又可记为：例：函数

可写为这里33二、复变函数的几何意义取两张复平面------平面，平面，用平面上的点集到平面的点集的映射来表示复变函数。若中的点被映成中的点，则称为的象，而称为的原象。3435且是全同图形.36例2讨论函数把下列曲线映成何种曲线：1）以原点为心，2为半径的第一象限的圆弧；2）3）其中均为常数。解：1）曲线可表示为：则：表示的是以原点为心，4为半径的上半圆周。372）设则：所以表示的是一条直线。3）的象的参数方程为：消去得：表示的是以原点为焦点，向左开口的抛物线。38例3解39所以象的参数方程为40A)41(如下页图)B)42

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.43使得当时，有：

内，如果有一确定的数存在，对任意给定的存在

§6、复变函数的极限和连续性一、极限：1、定义：设函数定义在的去心邻域成立，则称为当时的极限，记为：44注2、若已经证明一复变函数极限存在，可取一特殊路径来求出它的极限。例1设试证在原点无极限。注1、极限与的方式无关。45证明：令则：沿轴：沿所以在原点处无极限。462.极限计算的定理定理一说明47证明：必要性：因对使得当时：因所以对当时：48同理即充分性：因所以对使得当时：即是当时：49即得：3、运算法则：定理2、如果则：50二、函数的连续性1.连续的定义:51定理三例如,52定理四53特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.54