复变函数与积分变换第二章-2

§2.3初等函数1

对于复数，称为指数函数。对于任意的实数y有,即，欧拉(Euler)公式。指数函数

在全平面上有定义。定义等价于：指数函数

在全平面上解析，且

。复变量的指数函数是实变量指数函数在复平面上的解析拓广。当y=0时，有。§2.3.1指数函数2指数函数的性质

指数函数的非零性，即总有由于，所以，总有。加法定理：

由定义有即设[证]3从欧拉公式可知，对于任意整数k有再由指数运算法则得到复变量指数函数当趋向时没有极限。因为，当z沿实轴正向趋向于

时,有而当z沿实轴负向趋向于

时，有周期性：指数函数是以2kπi为周期的周期函数.因此，z趋向∞时的极限不存在。[证]4【例2.15】计算和的值。解:根据指数定义5【例2.16】利用复数的指数表示计算。解因为故所求之值有3个，即，及,也就是6§2.3.2对数函数复变量的对数函数也是定义为指数函数的反函数。定义

满足方程的函数，称为对数函数。记作。令，，则所以即由于，而

是z的辐角，故恰有，故有7其中：是通常正数的自然对数。

对数函数为多值函数。并且每两个值相差

的整数倍。

如果规定取主值，就得的一个单值

“分支”，记作，把它称为的主值。

故因此，可表示为对于每一个固定的k,上式为一单值函数,称为

的一个分支。

当时的主值，这就是实变数对数函数。

8【例2.17】求

,

及它们相对应的主值。解:1)因为【例2.18】求。解:因为所以主值为：

2)（k=0,±1,±2,…）

主值为：

，故(k=0,±1,±2,…)(k=0,±1,±2,…)9【例2.19】计算及解根据定义，10遇到的三种对数函数:1)实变量的对数函数。它对一切正数x有定义，且是单值的；2)复变量的对数函数

Lnz

。它对于一切不为0的复数z有定义，且每个z对应无穷多值；

3)复变量对数函数的主值

。它对于一切不为0的复数z有定义，且为单值，即取Lnz

无穷多值中的一个，其虚部等于z的主辐角。特别，当z为正实数时，主值lnz恰与实数的对数相一致。

利用辐角的相应性质，容易验证，对数函数具有下列性质。11对数函数的性质：(1)运算性质注意：其中n为大于1的整数。不成立（×）

（×）

12【例如】可见，的值比2Lnz的值多。另外，在实数范围内，的自变量z可取负实数，而2Lnz

的自变量z只能取正实数，所以不正确。

同样有：，因为13(2)解析性主值w=lnz，在除去原点及负实轴的复平面上是解析的，且

因为其中，除原点外在其他点都是连续的，而argz在原点与负实轴上都不连续。在除去原点和负实轴的复平面内处处连续。

在区域内的反函数w=lnz是单值的。由反函数的求导法则可知

因此，lnz在除去原点及负实轴的平面内解析。14

又由于（k为整数），因此:

Lnz的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。

今后，我们应用对数函数时，都是指它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支。15【例2.20】求下列函数在复平面上的可导和解析点集.解：由对数函数的解析特征可得，除满足以下方程的点集外，

f(z)在复平面上的其它区域解析，

and

即

and

可得：

and

因此，f(z)在复平面上除去的其它区域内解析。16§2.2.3幂函数定义

函数规定为（a为复常数，），称为复变量的幂函数。还规定：当a为正实数且z=0时，。（由于是多值函数，所以一般也是多值函数。）幂函数的性质：1)

幂函数是多值函数。174)

当时，3)

当（n为正整数）时，是一个n值函数；2)

当a为正整数n时是一个单值函数；幂函数的性质：185)

当a为有理数（与为互质的整数，）时，，k为整数。由于p

与q互质，当k取0，1，…，q-1时，是q个不同的值。但若k再取其他整数的值时，将重复出现上述q个值之一，所以是q值函数，有q个不同的分支。幂函数的性质：196)当为无理数或复数（）时，是无穷多值函数。

例如：

由于Lnz的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，因而不难知道的相应分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的。7)

解析性：的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。幂函数的性质：20【例2.21】求1),2)的值.解：根据幂函数定义计算1)2)21【例2.22】求的模和主辐角。解：22所以因此：的模为：主辐角为：23§2.3.4三角函数欧拉公式将三角函数与指数函数联系起来，即可得

表明：正弦函数和余弦函数可以用指数函数来表示。若将这两个等式右端的实数y改为复数z，它们仍有意义。因此就可以用它们来作为复变量的正弦和余弦函数的定义。24定义

函数与分别称为复变量z的余弦函数与正弦函数。记作与，即25

性质（1）

及均为单值函数；

（2）

及均为以为周期的函数；

（3）

为偶函数，为奇函数；

（4）（5）（6）

解析性

在复平面上均为解析函数，且26注意：域内不再成立。例如，当时，随而模也无限增大。1)

在实数域内成立的不等式及在复数2)

和都是无界的。3)

及不总是非负的，可能取任何复数值。

例如就是一个负数。

还可检验是一个虚数。27其他复变函数的三角函数的定义如下：28§2.3.5反三角函数反三角函数作为三角函数的反函数定义如下:定义

如果,则w叫做复变量z的反余弦函数,记为,即将两端同乘以,得或于是有，再由对数函数的定义即得所以可见，反余弦函数是多值函数。29用同样方法可定义反正弦函数及反正切函数，并且它们对应的函数有如下关系：它们均是多值的。30§2.3.6双曲函数与反双曲函数定义

分别称作复变量z的双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数以及双曲余切函数。双曲函数与三角函数之间有如下关系：31双曲函数的特点：双曲函数是单值函数；双曲函数是以虚数为周期的周期函数；

为奇函数，为偶函数；双曲函数均在复平面内解析，且32反双曲正弦函数，反双曲余弦函数，反双曲正切函数，反双曲余切函数。反双曲函数分别为：反双曲函数都是多值函数。双曲函数的周值性决定了它们的反函数的多值性。33【例2.23】解方程sinz+i

cosz=4i

解