云南省2022年中考数学总复习训练-体验集训第二十一讲矩形、菱形、正方形

1．(2021·无锡中考)如图，D，E，F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是(C)A．△BDE和△DCF的面积相等B．四边形AEDF是平行四边形C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形【解析】A.连接EF，∵D，E，F分别是△ABC各边中点，∴EF∥BC，BD＝CD，设EF和BC间的距离为h，则S△BDE＝eq\f(1,2)BD·h，S△DCF＝eq\f(1,2)CD·h，∴S△BDE＝S△DCF，故本选项不符合题意；B．∵D，E，F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，故本选项不符合题意；C．∵D，E，F分别是△ABC各边中点，∴DE＝eq\f(1,2)AC，DF＝eq\f(1,2)AB，若AB＝AC，无法判定DE＝DF，∴无法判定四边形AEDF是菱形，故本选项符合题意；D．∵四边形AEDF是平行四边形，∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故本选项不符合题意．2．(2021·成都中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(C)A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD【解析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A．添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B．添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C．添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D．添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意．3．(2021·海南中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为(B)A．2B．3C．4D．5【解析】连接AC，BD，交于点O，AC交EF于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为eq\f(1,2)AC·BD，∵点E，F分别是边BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝eq\f(1,2)BD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，设AC＝a，BD＝b，∴eq\f(1,2)ab＝8，即ab＝16，∴S△AEF＝eq\f(1,2)·EF·AG＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)b×eq\f(3,4)a＝eq\f(3,16)ab＝3.4．(2021·重庆中考)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为(C)A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON＋∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON＋∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DOM＝∠CON，,OD＝OC，,∠MDO＝∠NCO，))∴△DOM≌△CON(ASA)，∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积＋△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积＋△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2.5．(2021·包头中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则eq\f(2OE＋AE,BD)的值为(D)A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,3)D．eq\f(5,4)【解析】∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，∴BD＝eq\r(DO2＋BO2)＝eq\r(16＋9)＝5，∵CE⊥CD，∴∠DCO＋∠ECO＝90°＝∠CAO＋∠ACO，∴∠CAO＝∠ECO，∴tan∠ECO＝eq\f(EO,CO)＝eq\f(CO,AO)，∴eq\f(EO,3)＝eq\f(3,4)，∴EO＝eq\f(9,4)，∴AE＝eq\f(7,4)，∴eq\f(2OE＋AE,BD)＝eq\f(2×\f(9,4)＋\f(7,4),5)＝eq\f(5,4).6．(2021·宁波中考)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O.当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是(A)A．S1＝S2 B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【解析】如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J.∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OE，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO＝eq\f(1,2)·DH·OJ，S△DHG＝eq\f(1,2)·DH·GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可证S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC＝eq\f(1,2)·CG·DH，S△ADH＝eq\f(1,2)·DH·AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，7．(2021·南充中考)如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为3．【解析】在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵F为BE的中点，AF＝3，∴BE＝2AF＝6.∵G，H分别为BC，EC的中点，∴GH＝eq\f(1,2)BE＝3.8．(2021·山西中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为eq\f(5,2)．【解析】∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC＝3，OB＝eq\f(1,2)BD＝4，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝eq\f(1,2)AB，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝eq\r(32＋42)＝5，∴OE＝eq\f(5,2).9．(2021·恩施州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．∵OA＝OD，∴平行四边形AODE为菱形．∴OE⊥AD.10．(2021·连云港中考)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．11．(2021·遂宁中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：AE＝CF；(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠F,∠AOE＝∠COF,OA＝OC))，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF；(2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：如图，连接BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．12．(2021·邵阳中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.(1)证明：△ADE≌△CBF.(2)若AB＝4eq\r(2)，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【解析】(1)由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵AB＝AD＝4eq\r(2)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋（4\r(2)）2)＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF＝4－2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝eq\r(DO2＋EO2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).∴4DE＝8eq\r(5).故四边形BEDF的周长为8eq\r(5).【素养提升题】(2021·绍兴中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°.连接EF，作点D关于直线EF的对称点P.(1)若EF⊥BD，求DF的长；(2)若PE⊥BD，求DF的长；(3)直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．【解析】(1)如图1，∵点D、点P关于直线EF对称，EF⊥BD，∴点P在BD上，图1∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∠ADB＝30°.∴AD＝4eq\r(3)，∵点E是边AD的中点，∴DE＝2eq\r(3)，∵EF⊥BD，∴DF＝3；(2)①如图2，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°.∴∠PED＝60°，由对称可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝30°，∴△DEF是等腰三角形，∴DF＝EF，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°，DE＝2eq\r(3)，∴QE＝eq\r(3)，∵∠PEF＝30°，∴EF＝2，∴DF＝EF＝2；②如图3，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°，∴∠PED＝120°，由对称可得，PF＝DF，EP＝ED，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝120°，∴∠EFD＝30°，∴△DEF是等腰三角形，∵PE⊥BD，∴QD＝QF＝eq\f(1,2)DF，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°，DE＝2eq\r(3)，∴QE＝eq\r(3)，QD＝3，∴DF＝2QD＝6.综上①②，DF的长为2或6；(3)由(2)得，当∠DQE＝90°时，DF＝2(如图2)或6(如图3)，当∠DEQ＝90°时，第一种情况，如图4，∵EF平分∠PED，∴∠DEF＝45°，过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝eq\r(3)a，∴eq\r(3)a＋a＝2eq\r(3)，∴a＝