中考数学二轮复习常考相似模型综合训练

常考相似模型专题1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为()A.2eq\r(3)B.3eq\r(2)C.2eq\r(6)D.5第1题图2.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则eq\f(CF,EF)＝.第2题图3.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长.第3题图参考答案1.C【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AD,AD＋BD)＝eq\f(2,3)，∵BC＝6，∴DE＝4，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∵∠ECD＝∠B，∴△DCE∽△CBD，∴eq\f(DC,CB)＝eq\f(DE,CD)，即CD2＝BC·DE＝24，∴CD＝2eq\r(6).2.eq\f(\r(21),3)【解析】∵∠DCE＝∠BCA＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，∵∠BAC＝∠CED＝30°，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,CE)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴△BCD∽△ACE，∴eq\f(BD,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BDC＝∠AEC，∠CAE＝∠B＝60°.∵∠BDC＝∠BAC＋∠ACD，∠AEC＝∠AED＋∠CED，∠BAC＝∠CED＝30°，∴∠ACD＝∠AED.又∵∠DFC＝∠AFE，∴△DFC∽△AFE.∵BD＝1，AD＝5，∴AB＝6.∴AC＝AB·cos∠BAC＝3eq\r(3)，BC＝AB·sin∠BAC＝3.∵eq\f(BD,AE)＝eq\f(\r(3),3)，BD＝1，∴AE＝eq\r(3).∵∠CAE＝∠B＝60°，∠BAC＝30°，∴∠DAE＝90°，∴在Rt△DAE中，DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝2eq\r(7)，∴CD＝DE·sin∠DEC＝eq\f(1,2)DE＝eq\r(7).∵△DFC∽△AFE，∴eq\f(CF,EF)＝eq\f(CD,AE)＝eq\f(\r(7),\r(3))＝eq\f(\r(21),3).3.(1)证明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC，∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△DAB∽△DBC，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(AD,BD)，∴BD2＝AD·CD；(2)解：由(1)可知：BD2＝AD·CD.∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝4eq\r(3)，∴BC＝eq\r(BD2－CD2)＝2eq\r(3)，∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠CDB＝∠ADB，∴DM＝BM，∵∠ADB＋∠A＝∠MBD＋∠MBA＝90°，∴∠A＝∠MBA，∴AM＝BM＝DM＝eq\f(1,2)AD＝4.∵BM∥CD，∴∠MBC＝90°.∴CM＝eq\r(BM2＋BC2)＝eq\r(16＋12)＝2eq\r(7)，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，∴eq\f