正、余弦函数的图象与性质

正、余弦函数的图象与性质[知识回顾]2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：，，．8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．PvxyAOMT9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，PvxyAOMT10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：，，．12、同角三角函数的基本关系：；．13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限．函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴[考点例题精讲]考点一：正余弦函数图象的应用例1利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：变式训练41：求下列函数的最大值与最小值：(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2∵sinx∈[-1，1]，

变式训练42（选做）：求函数y＝sin2x＋acosx＋a－(0≤x≤)的最大值解：∵y＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－(cosx－)2＋＋a－∴当0≤a≤2时，cosx＝，ymax＝＋a－当a＞2时，cosx＝1，ymax＝a－当a＜0时，cosx＝0，ymax＝a－考点五：利用单调性，比较正余弦函数值的大小例5：比较下列各组数的大小．分析

化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小．解

(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°∵0＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°，从而-sin14°＞-sin70°，即sin194°＞cos160°．而y=cosx在[0，π]上是减函数，故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39变式训练51：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0(1)sin(－)－sin(－)；(2)cos(－)－cos(－)．解：(1)∵－＜－＜－＜．且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数∴sin(－)＜sin(－)即sin(－)－sin(－)＞0(2)cos(－)＝cos＝coscos(－)＝cos＝cos∵0＜＜＜π且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数∴cos＜cos即cos－cos＜0∴cos(－)－cos(－)＜0考点六：求正余弦函数的单调区间例6：函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?解：函数y＝sinx在下列区间上是增函数：2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)为所求变式训练61：求下列函数的单调区间解(1)设u=2x当u∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)时，cosu递增；当u∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)时，cosu递减．变式训练62（选做）：求函数y＝－cosx的单调区间解：由y＝－cosx的图象可知：单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)变式训练63（选做）：求函数y＝sinπ的单调增区间误解：令ｕ＝π∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上递增∴2kπ－≤π≤2kπ＋解得－4k≤x≤－4k＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k，－4k＋2］(k∈Z)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝π，忽视了ｕ是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝π，则u是x的减函数又∵y＝sinｕ在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上为减函数，∴原函数在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上递增设2kπ＋≤π≤2kπ＋解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增解法二：将原函数变形为y＝－sinπ因此只需求sinπ＝y的减区间即可∵ｕ＝π为增函数∴只需求sinｕ的递减区间∴2kπ＋≤π≤2kπ＋解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)∴原函数的单调递增区间为［4k＋2，4k＋4］(k∈Z)考点七：其他方面的应用（选做）例7

下列函数中是奇函数的为∴(D)为奇函数，应选(D)．函数不具有奇偶性．说明：奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视．[拓展与提高]1、函数的部分图象是2、函数y=－x·cosx的部分图象是()3、4、5、方程2sin2x=x－3的解的个数为_______.6、在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是A.（，）∪（π，） B.（，π）C.（，） D.（，π）∪