椭圆性质总结

椭圆一.考试必“背”1椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3．参数方程：椭圆的参数方程4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：范围：|x|≤a，|y|≤b；对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；准线方程：；或焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0;平面几何性质：离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越______，是_____。焦准距；准线间距二、焦点三角形结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，当点P位于___________时最大，cos=______________.|PF1||PF2|的最大值为______________.结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。结论三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。结论四：四心的轨迹(1)、焦点三角形内心的轨迹及其方程．(2)、焦点三角形重心的轨迹及其方程：(3)、焦点三角形垂心的轨迹及其方程：(4)、焦点三角形的外心的轨迹及其方程（）．坐标原点），求直线的斜率的取值范围.（最值、求取值范围）12.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．（最值）13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．SJS14．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，且，求的值（点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．FT15、（13分）在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．（1）求轨迹的方程；（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点．（过定点）16.（12分）已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）17.(2010年高考天津卷理科20)(本小题满分12分)已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆