考点36事件的相互独立性条件概率与全概率公式

考点36事件的相互独立性、条件概率与全概率公式1.【2023全国甲卷】某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A

【解析】【分析】本试题考查概率的概念及运算，条件概率的概念及计算，以及考生的运算求解能力．【解答】解：从该校的学生中任取一名学生，记A表示事件：“取到的学生爱好滑冰”，B表示事件：“取到的学生爱好滑雪”．

由题设知P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7．

由P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，得

P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.6+0.5−0.7=0.4．

所求的概率为P(A|B)=P(AB)2.【2022全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>pA.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D

【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．

根据题意计算出P甲，P乙，【解答】

解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为

P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙由题意

P甲=p1[p2(1−p3)+p3(1−3.【2021全国Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【答案】B

【解析】【分析】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．

分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．【解答】

解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，

两次取出的球的数字之和是7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，

P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16，

A：P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，

B：P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)，

C：P(乙丙)=136≠P(4.【2023新高考Ⅱ卷】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α;发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1−α)(1−β)2

B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1−β)2

C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1−β)2+(1−β)3

D.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法原理，属于综合题．根据题设的信号传递的概率值利用相互独立事件的概率乘法原理分别计算每种情况的概率即可求解．【解答】解：A.根据相互独立事件的概率乘法原理知：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)2，故B.根据相互独立事件的概率乘法原理知三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为为(1−β)β(1−β)=β(1−β)2，故C.采用三次传输方案，若发送1，译码为1,则收到1的情况有2 ①2个1和 ②3个故概率为3β(1−β)2+(1−β)D.三次传输方案译码为0的概率：P单次传输方案译码为0的概率：P2P1−P2=(1−α)[3α(1−α)+(1−α故选：ABD．5.【2022天津】52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为

；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为

．【答案】11【解析】【分析】本题主要考查概率的乘法公式，以及条件概率公式，属于中档题．

由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率．【解答】

解：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，

则P(BC)=452×351=1221，

P(B)=4526.【2020天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为

；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

【答案】16【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．

根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】

解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，

则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，

7.【2023新高考Ⅰ卷】甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率．(2)求第i次投篮的人是甲的概率．(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(X1=1)=1−P(X1=0)=q1，i=1，2，⋯，n，则E(i=1nXi)=【答案】解：(1)第二次是乙投篮的概率为0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6．(2)第i次是乙投篮的概率为(1−pi)且pi+1=则p故pi则pi=1(3)

当n≥1时，E(Y)=16i=1综上，E(Y)=518[1−(【解析】本题主要考查了全概率公式，构造等比数列和等比数列前n项和公式以及求两点分布的期望，属于较难题．(1)根据题意直接运用全概率公式即可得出结论;(2)由题意可得甲第i次投篮的概率为pi,则第i次是乙投篮的概率为(1−pi)，再根据题意列出关于pi+1的递推关系，运用配凑法可得出pi+1−13=258.【2022新高考Ⅰ卷】一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

(i)证明：R=P(A|B)P(A|B)．P(AP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】解：(1)得到2×2列联表如下：不够良好良好总计病例组4060100对照组1090100总计50150200∵K2=200×(40×90−60×10)2100×100×50×150=24>6.635，

∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;

(2)(i)证明：∵P(B|A)=P(BA)P(A)，P(B|A)=P(BA)P(A)，

P(B|A)=P(BA)P(A)，P(B|A)=P(B A)P(A)，

∴R=P(B|A)P(B|A)÷P(B|A【解析】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属中档题．

(1)列出2×2列联表，计算K2求解即可；

(2)(i)利用条件概率的计算公式即可证明；

(ii)9.【2020全国Ⅰ卷】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．【答案】解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P=((2)设甲输掉一场比赛为事件A，乙输掉一场比赛为事件B，丙输掉一场比赛为事件C，四场比赛能结束为事件N，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)

=1所以需要进行第五场比赛的概率为P=1−P(N)=1−1(3)

丙获胜的概率为：P=P(ABAB)+P(