2023学年完整公开课版反比例函数

第12课时反比例函数回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究考点聚焦考点1反比例函数的定义及图像定义形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．表达式

或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)．防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；图象特征反比例函数

(k是常数，k≠0)的图象是_______，因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴______,双曲线相交且关于________对称．原点在每个象限内，y随x增大而增大二、四象限(x，y异号)k<0在每个象限内，y随x增大而减小一、三象限(x，y同号)k>0性质

所在象限图象

函数

考点2反比例函数的性质大小比较当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1>y2；当x1<0<x2时，y1<0<y2当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1<y2；当x1<0<x2时，y1>0>y2考点3反比例函数比例系数k的几何意义2．计算与双曲线上的点有关的图形面积S△AOP＝______，S△APB＝________，S△APP′＝________.21|k|21|k|2|k||k|1．反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：由双曲线y＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为______.如图，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|，同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.2121求函数解析式的方法步骤

利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝；②代入图象上一个点的坐标，即(x，y)的一对对应值，求出k的值；③写出关系式与一次函数的图象的交点的求法

求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组解决反比例函数的实际问题时，要先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，要特别注意自变量的___________．与实际实际问题结合考点4反比例函数的应用

取值范围皖考探究探究一反比例函数的概念命题角度：反比例函数的概念；例1(2014·邵阳)已知反比例函数y＝的图象经过点(－1,2)，则k＝________.－2【点拨】把(－1,2)代入y＝，得2＝，k＝2×(－1)＝－2.方法总结：用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤：(1)设出解析式y＝(k≠0)；(2)把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解这个方程求出待定系数的值；(4)将所求得的待定系数的值代回所设的解析式.1．若反比例函数

的图象分布在第一、三象限内，则m的值是____.解析：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限内2．(2014·天水)已知函数y＝的图象如图所示，以下结论：①k＜0；②在每一个分支上y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则a＜b；④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是(

)A．4个B．3个

C．2个D．1个B变式题

3例2

[2014·株洲

]D解析方法一：分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．方法二：根据反比例函数的图象和性质比较．探究二反比例函数的图象与性质命题角度：反比例函数的图象与性质．方法点析

比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，可通过画函数图象的方法比较大小.则函数y＝2⊕x(x≠0)的图象大致是(

)1.(2014·河北)定义新运算：D变式题2．如图，反比例函数(k>0)的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交于A，B两点，且A(1，)，图中阴影部分的面积是______(结果保留π)．xyoBA探究三待定系数法(2)点B在．理由如下：过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D，(如图)∟∟CD例3已知反比例函数y＝的图象经过点A(1，)

(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．探究四与反比例函数中k有关的问题命题角度：反比例函数中k的几何意义．例4

[2014·永州

]1方法点析

利用反比例函数中k的几何意义时，要注意点的坐标与线段长之间的转化，并且利用解析式和横坐标，求各点的纵坐标是求面积的关键．变式题(2014·凉山州)下列图形中阴影部分的面积相等的是(

)A．②③

B．③④

C．①②

D．①④【点拨】①中无法确定阴影三角形的边长，所以面积也不能求出来；②中易知阴影部分是直角三角形，其两个直角边长都是2，所以面积是2；③中阴影部分是直角三角形，则其面积为2；④二次函数与x轴的两个交点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，与y轴交于(0，－1)，所以阴影部分是直角三角形，其面积是×2×1＝1，由此可知只有②③面积相等均是2.故选A.21A

(2)在x轴上有一点E(O点除外)，使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．探究五反比例函数与一次函数的结合命题角度：反比例函数与一次函数的综合运用．例5

[2014·重庆

](1)求该反比例函数和一次函数的解析式；由B(n，－2)得BD＝2，由tan∠BOC＝，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A，B两点横坐标与纵坐标的积相等求m的值，由“两点法”求直线AB的解析式；解析D∟过B点作BD⊥x轴，垂足为D，解析点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE＝CO即可，根据直线AB的解析式求CO的长，再确定E点坐标．(1)如图，过B点作BD⊥x轴，垂足为D，∵B(n，－2)，∴BD＝2.在Rt△OBD中，tan∠BOC＝即，解得OD＝5.

将A(2，m)代入y＝中，得m＝5，∴A(2，5)．将A(2，5)，B(－5，－2)代入y＝ax＋b中，则一次函数的解析式为y＝x＋3.(2)由y＝x＋3得C(－3，0)，即OC＝3.∵S△BCE＝S△BCO，∴CE＝OC＝3，∴OE＝6，即E(－6，0)．∟又∵B点在第三象限，∴B(－5，－2)．将B(－5，－2)的坐标代入y＝中，得k＝xy＝10，∴反比例函数的解析式为解：方法点析

此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路，在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，常常采用分割法，把所求的图形分成几个三角形或四边形，分别求出面积后再相加．方法总结：利用反比例函数解决实际问题的一般步骤如下：(1)审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；(2)确定问题中的两个变量，列出它们之间的反比例函数解析式；(3)代入数值解决问题.考点六反比例函数的应用例6(2014·云南)将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式)．(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际问题．该轿车可以行驶875千米．反比例函数中k的确定（教材母题

）回归教材

解

依题意，反比例函数的图象在第一、三象限，所以k－1＞0，∴k＞1.

[点析]根据反比例函数的增减性或图象的位置确定比例系数的符号，是中考常见题型，体现了数形结合思想．皖考预测A

BCD解析：∵k2＋1＞0，∴

的图象一定在第二、四象限，B，C都符合；又∵y＝kx的图象经过原点，∴符合上述两项的是C.故选C.C2．(2014·资阳)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点且与反比例函数

(m≠0)的图象相交于点A(－2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？∴一次函数的解析式为y＝－2x－3.一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．大棚内温度y(℃)随时间x

(时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小