专题1.7 勾股定理章末八大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（原卷版）

专题1.7勾股定理章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1【题型2勾股定理在网格问题中的运用】 2【题型3勾股定理在折叠问题中的运用】 4【题型4以弦图为背景的计算】 6【题型5勾股定理的证明方法】 7【题型6勾股定理与全等综合】 10【题型7由勾股定理确定在几何体中的最短距离】 12【题型8由勾股定理构造图形解决实际问题】 13【题型1由勾股定理求两条线段的平方和（差）】【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．（1）若BC=10，直接写出AC（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE【变式1-1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-M【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=3，CD=2，则AD2【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A4,4，B

(1)如图1，判断△AOB的形状并说明理由；(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且AM⊥AN，探究线段OM，ON，OA之间的数量关系并证明；(3)如图3，延长BA交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接AN交x轴于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【题型2勾股定理在网格问题中的运用】【例2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括52)．【变式2-1】（2023春·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为m2+16n2,9m2+4n2【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：

（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出x2+32【变式2-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．【题型3勾股定理在折叠问题中的运用】【例3】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是．【变式3-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面积．【变式3-2】（2023春·浙江·八年级期末）如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC边上的高线长．(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．【变式3-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=3，则该三角形的面积为___(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝【题型4以弦图为背景的计算】【例4】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，则小正方形的边长为（

）A．5 B．6 C．7 D．2【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1、S2、（1）若S1=25，S3=1（2）若S1+S2【变式4-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接ACAC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为．【变式4-3】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+【题型5勾股定理的证明方法】【例5】（2023春·广西百色·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)证明勾股定理取4个与Rt△ABC（图1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它们拼成边长为a+b的正方形DEFG

(2)应用勾股定理

①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是a+b2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）(2)已知：两数x，y满足x+y=14，xy=24，求x-y的值．(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）【变式5-2】（2023春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b-a2，从而得到等式c2=【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【题型6勾股定理与全等综合】【例6】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，E是AC上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．

(1)求证：AB(2)如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；(3)如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线BD折叠，若BC=9，CD=3，那么AF的长为．【变式6-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（

）

A．538 B．22 C．14【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断BF与DC的关系，并说明理由．

(2)如图2，若点D、E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求

(3)若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=___．(4)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=__时，MF的长最小？最小值是___．

【题型7由勾股定理确定在几何体中的最短距离】【例7】（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 D．【变式7-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆的周长为(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是cm；(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是cm【变式7-2】（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是cm【变式7-3】（2023春·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，如何求最短路程呢？(1)问题分析：蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，可以有几条路径？在图中画出来；(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为18cm，高为12cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点②若圆柱体的底面圆的周长为24cm，高为4cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点③若圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程．【题型8由勾股定理构造图形解决实际问题】【例8】（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【变式8-1