聚焦中考数学复习知识点二次函数的应用

第19课二次函数的应用

基础知识题型分类要点梳理题型一利用二次函数解决抛物线

型问题基础自测题型二利用二次函数解决商品销

售问题题型三二次函数在几何问题中的

应用易错警示14.注重养成良好的解题习惯知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.利用函数知识解应用题的一般步骤：

(1)设定实际问题中的变量；

(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；

(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；

(4)利用函数的性质解决问题；

(5)写出答案．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(中考真题-安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝____________．a(1＋x)2

解析∵一月份新产品的研发资金为a元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份的研发资金为：a×(1＋x)，∴三月份的研发资金为：y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-天门)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关5则羽毛球飞出的水平距离为______米．解得：x1＝－1(舍去)，x2＝5，故羽毛球飞出的水平距离为5米．基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)

个，则当x＝_______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．4解析∵若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，∴y＝(8－x)x，即y＝－x2＋8x，题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-天水)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y＝

a(x－6)2＋h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为

2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引(1)当h＝2.6时，求y与x的函数关系式；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是多少？题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2米的点A处发出，∴抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引故球会出界．题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引当球刚能过网，此时函数解析式过点(9，2.43)，抛物线y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入解析式，综上所述，若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高利用二次函数解决抛物线型问题，一般先根据实际问题的具体情况建立平面直角坐标系，选择合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后把求出的结果转化为实际问题的答案．此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引解析由题意可得：y＝a(x＋6)2＋4，将点(－12，0)代入，即选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：题型一利用二次函数解决抛物线型问题

题型分类·深度剖析知识点索引点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．y＝－(x＋6)2＋4题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75，其图象如图．

(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)由图可知，y＝ax2＋bx－75的图象过点(5，0)，则y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25，即抛物线的顶点坐标是(10，25)，即当x＝10时，y最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)，又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题是营销问题，基本等量关系为：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价－每件进价；再根据所列二次函数求最大值．本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(中考真题-扬州)某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元(不包含债务)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收人＝支出)，求该店员工的人数；(3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x＋b1，∴y＝－2x＋140.当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x＋b2，∴y＝－x＋82.题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引(2)设员工人数为a，当x＝48时，y＝－2×48＋140＝44，则(48－40)×44＝106＋82a，解得a＝3，即该店员工的人数为3人．题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引(3)设需要b天还清所有债务，则b[(x－40)·y－82×2－106]≥68400，当40≤x≤58时，－2x2＋220x－5870的最大值为180，题型二利用二次函数解决商品销售问题

题型分类·深度剖析知识点索引当58＜x≤71时，－x2＋122x－3550的最大值为171，综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解析设A点坐标为(0，a)(a＞0)，题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引∵DE∥AC，∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，为3a，题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(中考真题-宜宾)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，与x轴交于A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断△MAB的形状，并说明理由；

(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)

交抛物线于C、D两点，连接MC、

MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，∴抛物线的解析式为：y＝x2－1.题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引(2)△MAB是等腰直角三角形，由抛物线的解析式为：y＝x2－1可知A(－1，0)，B(1，0)，∴OA＝OB＝OM＝1，∴∠AMO＝∠MAO＝∠BMO＝∠MBO＝45°，∴∠AMB＝∠AMO＋∠BMO＝90°，∴AM＝BM，∴△MAB是等腰直角三角形．题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引(3)MC⊥MD.分别过C点、D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设C(n，n2－1)，D(m，m2－1)，∴OE＝－n，CE＝1－n2，OF＝m，DF＝m2－1，∵OM＝1，∴CG＝n2，DH＝m2，题型三二次函数在几何问题中的应用

题型分类·深度剖析知识点索引∵∠CGM＝∠MHD＝90°，∴△CGM∽△MHD，∴∠CMG＝∠MDH，∵∠MDH＋∠DMH＝90°，∴∠CMG＋∠DMH＝90°，∴∠CMD＝90°，即MC⊥MD.题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列14注重养成良好的解题习惯

知识点索引试题杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x

个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．题型分类·深度剖析易错警示系列知识点索引(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？题型分类·深度剖析易错警示系列知识点索引学生答案展示解：(1)由题意，得x＝1，y＝2；x＝2，y＝4，故y＝2x.(2)纯收益g＝33x－150－2x＝31x－150.(3)由g＝31x－150可知，x越大，g越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g>0，∵当x＝4时，g＝－26<0；当x＝5时，g＝5>0，∴5个月后，能收回投资．题型分类·深度剖析易错警示系列知识点索引剖析这种解法中没有认真读题、