无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题（解析版）

第18页/共18页天一中学2021/2022学年度第一学期高三测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据交集的概念计算可得结果.【详解】由得，得或，所以或，因为，所以或.故选：B2.“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的包含关系直接判断即可.【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.3.若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（）A. B.2 C.2或 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义列方程求实数x的值.【详解】若是纯虚数，则，解得：，故选：B．4.若函数f(x)=sin(4x-)()在区间(0，)上单调递增，则实数φ的取值范围是（）A.[] B.[] C.[] D.[]【答案】D【解析】【分析】求出相位的取值区间，再结合正弦函数的单调递增区间列出不等式求解即得.【详解】当时，，又，则，因函数在上单调递增，且函数f(x)=sin(4x-)()在区间[0，]上单调递增，于是得，解得，所以实数φ的取值范围是.故选：D5.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角和的正切函数公式可求的值，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求得结果.【详解】解：∵，∴，∴故选：C.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2=0.69)（）A.2.1天 B.2.4天 C.2.8天 D.3.6天【答案】D【解析】【分析】根据给定函数模型求出r的值，再根据所给条件列出方程求解即得.【详解】因R0=3.28，T=6，且R0=1+rT，则，于是得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有，即，而ln2=069，则，所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天.故选：D7.在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（）A.0 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．【详解】由题意等腰梯形的高为，如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，所以时，取得最小值．故选：B．8.已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导函数，由导函数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，得出有3个不等实根时的范围，同时可得出中间根的范围，然后化简，引入新函数，再用导数求得函数的值域．【详解】，当或时，，时，，所以在和上都递增，在上递减，极大值，极小值，当时，，时，，所以当时，有三个不同的实根，设3个不同的实根为，则，．，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，又，，所以的取值范围是，即为的取值范围．故选：A．【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，用导数求函数的值域．解题关键是用导数确定出函数的极值后，要得出方程有3个根的范围时还需确定函数的变化趋势，本题中不是说在极大值和极小值之间方程就有3个根的，需确定函数的变化趋势才能得出正确结论，这也是易错的地方．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，集合，则下列说法正确的是（）A.(0，0)∈B B.AB={0，1} C.B=[0，+∞) D.BA【答案】CD【解析】【分析】求出函数y=x和函数y=的值域分别得集合A和集合B，再逐一验证各选项判断作答.【详解】依题意，，，对于A，，而，A不正确；对于B，，B不正确；对于C，因，则C正确；对于D，因，即BA，D正确.故选：CD10.对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（）A.函数的图象关于y轴对称B.C.函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D.对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且【答案】ABD【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；对于B：由A知为偶函数，当时，，若即只需证，令，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以恒成立，故选项B正确；对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为.故选项C错误；对于D：，即，即，当时，，，区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.11.已知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（）A.=+ B.a+3c的最大值为C.△ABC面积的最大值为 D.a+c的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D.【详解】对于A，在△ABC中，因2=，则，A正确；在△ABP中，由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，于是得当时，，，C不正确；在△ABP中，令，则，，由正弦定理得：，则，，其中锐角由确定，而，则当时，，取最大值，D正确；而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B不正确.故选：AD12.关于函数，.下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为B.有两个零点C.有两个极值点D.存在唯一极小值点，且【答案】ABD【解析】【分析】求得导函数，得到出的导数值，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程，从而判定A；利用导数研究函数的单调性，极值情况，进而判定零点情况，从而判定BCD.【详解】，，，，切线方程为,即,故A正确；，当时，，当时，，,∴，∴时，，∴单调递增，，，在内，存在唯一的零点,且，且在内，，单调递减；，，单调递增，∴为极值点，且为极小值点.由，∴，∵，∴，∴，∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，故C错误，D正确；又∵,结合函数的单调性可知∴有两个零点，故B正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在复平面内，复数．对应的点位于第____象限．【答案】四【解析】【分析】利用复数的除法运算计算给定复数即可得解.【详解】依题意，，则在复平面内，复数对应的点坐标为，而是第四象限内的点，所以该复数对应的点位于第四象限.故答案为：四14.等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______【答案】##12.5【解析】【分析】如图，根据单位向量的概念可得，，利用几何图形可得，即可得解.【详解】如图，由于=+，所以，则，所以在等腰直角中，，，所以，即腰长为5，故的面积.故答案为：.15.19世纪丹麦数学家琴生对数学分析做出卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，定义：函数f(x)在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．若函数f(x)=在(1，4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】求出函数f(x)的导数，再对求导并根据给定定义列出恒成立的不等式即可得解.【详解】因函数f(x)=，则，，依题意，，而函数在(1，4)上单调递增，即，因此，，所以m的取值范围为.故答案为：16.已知中，则则最小值是___【答案】【解析】【分析】利用正弦定理余弦定理得到，利用和角的正切得到,再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以,又所以,所以.因为中，,所以所以,所以,所以，因为，所以为锐角.因为，所以，所以.当且仅当时等号成立故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知m∈R，命题p：关于x的方程在(1，+∞)有两个不相等的实数根；命题q：函数f(x)=的定义域为R．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围：（2）若命题p与命题q恰有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由在(1，+∞)有两个不相等的实数根，列出不等式组求解即可；（2）由函数的定义域为R，所以在R上恒成立，求出命题，由于命题与命题恰有一个是真命题，所以有真假或假真，列出不等式组求解即可.【详解】（1）因为在有两个不相等的实数根，所以，解得，所以若命题是真命题，所以实数的取值范围为；（2）由于函数f(x)=的定义域为R，所以在R上恒成立，所以，解得，所以命题：，因为命题与命题恰有一个真命题，所以有真假或假真，由（1）知命题：，当真假时，或，解得当假真时，，解得综上，或，所以实数的取值范围.18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质求出单调递增区间；（2）由（1）先求出，进而通过两角和的正弦公式将化简，最后得到答案.【详解】（1），令，所以函数单调递增区间为：.（2）由（1），，因为，所以，则，所以.19.已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且，（1）若，求A及tanC的值；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.【答案】（1）A=；tanC=；（2）.【解析】【详解】（1）因为，所以，由余弦定理可得：，而，所以,所以.（2）由正弦定理得，所以，则,因为ABC是锐角三角形，所以，则，所以，所以三角形周长.20.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示．小球从A点出发以5V的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6V的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设弧度，小球从A到F所需时间为T．（1）试将T表示为的函数，并写出定义域；（2）当满足什么条件时，时间T最短．【答案】（1），；（2）当时，时间T最短.【解析】【分析】（1）通过过点O作OG⊥BC于G，利用OG＝1、OF、EF＝1、AE＝θ及时间、路程与速度之间的关系即得结论；（2）通过（1）求导可知T′（θ），进而集合函数的单调性即得结论．【详解】试题解析：解：（1）过O作于G，则，，，．所以，．（2），．记，，当θ∈（，θ0）时T′（θ）＜0，即T（θ）在区间（，θ0）上单调递减，当θ∈（θ0，）时T′（θ）＞0，即T（θ）在区间（θ0，）上单调递增，∴当cosθ时时间T最短．【点睛】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知函数，其中a>0且a≠1．（1）若0<a<1，解不等式f()>f(x)，（2）若a>1，关于x的方程在[，+∞)有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根据给定条件确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可；(2)令，原问题等价转化成方程在上有解的问题解决即可.【详解】(1)当0<a<1时，函数在上单调递减，则由f()>f(x)得：，因，则，于是不等式化为：，解得，所以原不等式的解集为；(2)当a>1时，函数在上单调递增，则时，，令，则关于x的方程在[，+∞)有解，等价于方程在上有解，令，，当时，在上单调递增，，方程在上有解，当且仅当，解得，而，于是得，当时，而二次函数图象开口向上，则，方程在上有解，当且仅当，解得，而，于是得，综上得：，所以实数m的取值范围是.22.已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）设点和是曲线上不同的两点，且，若恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）当时，,求导判断函数得单调性，进而可以求出最值；（2）不妨设，进而由题意可得设，构造函数，利用导数研究函数在的最小值即可求出结果.【详解】（1）当时，，的定义域为，当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以是的极大值点，也是的最大值点，故.（