高考数学二轮复习简易通 1-5 平面向量 理科

第五辑平面向量[通关演练](建议用时：40分钟)1．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq\f(sinB,sinC)的值为()．A.eq\f(8,5)B.eq\f(5,8)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,5)解析由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).答案D2．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,6)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,5)，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)，\f(2,7))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)，\f(4,21)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，－\f(2,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，－\f(4,21)))解析设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)－(4,6)＝(x－4，y－6)，又eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋6y＝0，,5x－4－3y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,7)，,y＝－\f(4,21).))答案D3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()．A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)解析a·(b－a)＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,1×6)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案B4．在平面四边形ABCD中，满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为()．A.eq\r(3)B．3C.eq\r(7)D．7解析S＝eq\f(1,2)×AB·ACsin60°＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案A6．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，则△ABC的面积为()．A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)解析由正弦定理可知，eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(\r(3),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,3)或C＝eq\f(2π,3)，所以A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)或A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6).所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sineq\f(π,2)＝eq\f(\r(3),2)或S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),4).答案C7．已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线解析根据题意知eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．答案B8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝eq\f(1,3)AB，则eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))等于()．A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－1 D．1解析eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(4,3)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1＋eq\f(4,3)－eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)×1×2×eq\f(1,2)＝1.答案D9．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝()．A.eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(\r(2),2)解析在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BC·sin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)·sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由题图，知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.答案C10．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为()．A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)解析|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝eq\r(2)，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝eq\r(2)cos〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－2eq\r(2)·cos〈a＋b，c〉，所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－2eq\r(2)＝(eq\r(2)－1)2，所以|a＋b－c|min＝eq\r(2)－1.答案A11．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析由题意，知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.答案112．已知△ABC的三边成公比为eq\r(2)的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析设△ABC的三边a，b，c成公比为eq\r(2)的等比数列，∴b＝eq\r(2)a，c＝2a.则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋2a2－4a2,2\r(2)a2)＝－eq\f(\r(2),4).答案－eq\f(\r(2),4)13．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________.解析因为〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos60°＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，又eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))2))，即eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(1＋3＋9)＝eq\f(13,4)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),2).答案eq\f(\r(13),2)14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝________.解析在△ABC中，∵cosA＝eq\f(3,5)>0，∴sinA＝eq\f(4,5).∵cosB＝eq\f(5,13)>0，∴sinB＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65).由正弦定理，知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，则c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(14,5).答案eq\f(14,5)15．定义平面向量的一种运算：ab＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题