湖南省长沙市麓山教育共同体2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题 Word版含解析

2023-2024-1麓山共同体高一上第一次联考试卷高一年级数学试卷总分：150分时量：120分钟一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.【详解】且，则；且，则，所以.故选：A2.若不等式的解集为，则实数（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可.【详解】由题意可知和是方程的两个根，且，利用根与系数的关系可得.故选：B.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C4.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．5.已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.【详解】令由题可知：则，即故选：C6.若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题等价于当时，，数形结合求出二次函数在时的最大值即可.【详解】不等式在时有解，等价于当时，.由二次函数的图象知，当时，，所以.故选：A.7.若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案.【详解】原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.因为恒成立，所以.故选：C.8.定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.且【答案】D【解析】【分析】由题意，，由，得或，分类讨论集合B中元素个数即可.【详解】，，，又，或，方程的解为；方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，或或，故只需要排除，若，①当，即时，时方程的解为，时方程的解为，或，成立，②若是方程的根，则，方程的解为和，，成立，③若1是方程的根，则，方程的解为和，，成立，0不可能是方程的根，综上所述，当且仅当或时，，故的取值范围是且.故选：D．二､多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，有错选得0分，全部选对得5分）9.已知，那么下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.【详解】选项A，∵，∴，，∴，故A正确；选项B，取，，满足，但，故B错误；选项C，∵，∴.又∵，由成立，则∴，则有，∴，故C正确；选项D，∵，∴，∴，故D正确；故选：ACD.10.下列说法中，以下是真命题的是（）．A.存在实数，使 B.所有的素数都是奇数C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】由已知结合真命题的定义逐一验证每一选项即可.【详解】对于A：因为方程有实数根，所以存在实数，使，所以A选项是真命题；对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题；对于C：因为时有，当时有，所以，，所以C选项是真命题；对于D：因为当时有，所以，，所以D选项是真命题.故选：ACD.11.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于的不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：12.若x，y满足，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．三､填空题（每小题5分，共20分）13.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．【答案】【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.14.若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据条件得到，得到取值范围.【详解】，故，则，又，故.故答案为：15.已知正数，满足，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：16.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式即可得出.【详解】关于x的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，当时，不等式化为，此时无解，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，综上，实数a的取值范围是.故答案为：.四､解答题17.解下列不等式．（1）．（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，解一元二次不等式．（2）分式不等式转化为整式不等式，解二次不等式即可.【小问1详解】不等式，即，解得，所以不等式解集为.【小问2详解】不等式，即，等价于，解得，所以不等式解集为18.已知集合.（1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出，再列出不等式组计算即可.（2）分和两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可.【小问1详解】由题意，，解得，.由“”是“”的充分不必要条件，得，则且等号不能同时取到，解得，故实数的取值范围为.【小问2详解】当时，得，即，符合题意；当时，得，即，由，得或，解得或，或；综上所述，实数的取值范围为.19.已知，.（1）若不等式恒成立，求的最大值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）12；（2）4.【解析】【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答.（2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答.【小问1详解】因为，，则，而，当且仅当，即时取等号，依题意，不等式恒成立，于是所以m的最大值为12.【小问2详解】若，，，则，当且仅当，即，时取等号，于是，而，解得，所以的最小值为4.20.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【答案】（1）（2），118000元【解析】分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，，且，则，则【小问2详解】由（1）可知，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当米时，元.21.解关于的不等式:.【答案】答案见解析【解析】【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集；【详解】原不等式可化为..（1）当时，有.（2）当时，式，∵，①当时，，∴.②当时，，，此时解集为.③当时，.∴.（3）当时，式，∵，∴.∴或.综上所述，原不等式的解集为:当时，为或；当时，为；当时，为；当时，为；当时，为.22.已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为且当时,恒有(1)求出不等式的解(用表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求的取值范围；(3)若不等式对所有恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用求得关于表达式，进而求得不等式的解集.（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得的表达式，进而求得的取值范围.（3）根据（1）中求得的表达式化简不等式.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）依题意可知，即①，由，故①式