江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

南昌一中20232024学年度上学期高二期中考试数学试卷试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.椭圆的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，所以，焦点坐标为.故选：A2.已知向量与向量平行，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故选：C3.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先根据两直线平行，解得a的值，再利用充分不必要条件、必要不充分条件的去判断.【详解】由，可得，解得．故选：D.【点睛】本题主要考查充分不必要条件、必要不充分条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.已知、是空间中两个不同的平面，、是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】利用空间中线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，若，，则或，A错；对于B选项，若，，则或、相交，B错；对于C选项，若，，则或或、相交（不一定垂直），C错；对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，若，，，则平面、的一个法向量分别为、，且，故，D对.故选：D.5.圆上到直线的距离等于1的点有A.1个 B.3个 C.2个 D.4个【答案】B【解析】【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．【详解】由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2，∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．6.已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用点差法可表示出，由可求得，根据椭圆关系可求得离心率.【详解】设，，则，，两式作差整理可得：，，，即，.故选：D.【点睛】结论点睛：求解圆锥曲线中的中点弦问题时，常采用点差法，针对不同曲线，弦中点与弦所在直线斜率的关系如下：（1）椭圆中，；（2）双曲线中，；（3）抛物线中，.7.在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的正三角形，是正方形，则四棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F,取AD的中点E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥PABCD的外接球的体积.【详解】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，连结，如图，在等边中，AD的中点为E，所以,又平面平面,是交线，所以平面,且，设，外接球半径为R,则在正方形中，，在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以,所以.故选：D8.点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据椭圆的定义转化为，即求的最小值，即为圆心与的距离减半径即可.【详解】设椭圆的左焦点为，则求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为所以的最小值为所以的最小值为故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.【详解】解：圆的圆心，半径,圆的圆心，半径，两圆有四条公切线，两圆外离，又两圆圆心距，，解得或，故选：AD.10.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（）A.D1C∥平面A1ABB1 B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DB D.平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【解析】【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.故选：AD11.已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（）A.1 B. C.﹣2 D.﹣1【答案】BCD【解析】【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，故选：BCD【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.12.已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点（点不与点重合），则下列结论中正确的有（）A.离心率 B.的周长为15C.若，则的面积为9 D.直线与直线斜率的乘积为定值【答案】ACD【解析】【分析】由椭圆方程知，即可求离心率判断A，利用椭圆定义求周长判断B，利用勾股定理及椭圆定义求得，进一步求出面积判断C，利用斜率公式及点在椭圆上化简求解判断D.【详解】由，可知.对于A：，故A正确；对于B：记，则，的周长为，故B错误；对于C：记，由题意，所以，所以，故C正确；对于D：设，，则，，于是，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.与双曲线有公共的渐近线且过点的双曲线方程是______.【答案】【解析】【分析】根据题意结合共渐近线的双曲线可设，代入点运算求解即可.【详解】设所求双曲线的方程为，因为点在双曲线上，可得，即，所以双曲线的方程是.故答案为：.14.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，当直线经过点时，；当直线经过点时，；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．15.如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解.【详解】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接，则的最小值为，在中，可知，由余弦定理得，所以的最小值为.故答案为：.16.设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是______.【答案】【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解.【详解】由椭圆及双曲线定义得：，，即，，因为，所以，即，所以，因为，所以，即，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知两条直线与的交点，求：（1）过点且过原点的直线的方程；（2）在（1）条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意联立直线方程求点的坐标，进而可得直线方程；（2）根据题意可设直线的方程为，结合点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】由，解得，即直线过点和原点，所求直线方程为.【小问2详解】因为直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式得，解得，故所求直线方程为或.18.已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解.（2）利用三棱锥体积公式，结合割补法计算即可.【小问1详解】在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.由分别为的中点，得，又是的中点，则，于是，因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，所以平面.【小问2详解】由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，菱形中，，则，因此，所以，即三棱锥的体积为.19.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知过点直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）结合线段的垂直平分线以及求得圆心，再求得半径，由此求得圆的方程.（2）根据的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线为，由解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，由，即直线与圆相交所得弦长为符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于，所以，所以.综上所述，直线的方程为或.20.如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)略；(2)【解析】【分析】（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为，所以，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，由图形可知二面角的平面角是钝角，设二面角平面角为，所以，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点A和,且（其中为原点）,求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；（2）设A，B，则由，可得，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围.【详解】（1）解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,故双曲线方程为．（2）解：将代入得由得且设A，B,则由得，又，,即22.已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值（为坐标原点）．【答