2024年高考数学复习：28 离心率归类训练（解析版）

28离心率归类训练 1 7 【题型八】多曲线交点1:和抛物线 【题型十】多曲线交点3:双曲线和椭圆 【题型一】判断横放竖放求参的离心率为();【经验总结】依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面：1、通过讨论，确定焦点在x轴还是在y轴上判断(即俗称的横放还是竖放)。2、“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑【变式演练】1.已知双曲线M:的离心率为2,则双曲线M的渐近线方程是()A.y=±√3xC.y=±3x,,【分析】先由离心率的值求出a的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程【详解】因为双曲线的离心率为2,A.6【答案】D【分析】c.,即可得出答案.【详解】所以曲线C:mx²+3y²=1为双曲线，即m<0,所以,,,,3.设e是椭圆x²+my²=1(m>0)的离心率，.则实数m的取值范围是()【答案】B【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论.【详解】当椭圆焦点在当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为即【典例分析】.解得,椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为()【答案】B【分析】根据题意得a+c=2b,进而得5c²+2ac-3a²=0,即5e²+2e-3=0,再解方程即可得答案.【详解】解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为a+c,椭圆的短轴长为2b所以根据题意得a+c=2b,解得所以两边平方得a²+c²+2ac=4b²=4a²-4c²,解得等式两边同除以a²得5e²+2e-3=0,【经验总结】直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率离心率的公式：椭圆，;双曲线(竖放)【变式演练】1.已知双曲线C的右焦点到它的一条渐近线的距离为4,且焦距为10,则C的离心率为()【答案】C【分析】即可求解.【详解】中F、F₂分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是()【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出IPF1和|PF₂I,再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【详解】l,c.【详解】,或或【题型三】补连另一焦点利用定义【典例分析】N两点.其中M在第一象限.则椭圆C的离心率的取值范围为【答案】D【经验总结】椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。【变式演练】若|,∠BAF₂=0,当时，C的离心率的最小值为()【答案】D得AA【答案】B【分析】:设椭圆的左焦点F',由已知条件知四的值域得到的范围，然后由求解.【答案】DFQ过F(-c,0),F'Q过F'(c,0),【题型四】余弦定理1:基础型,【经验总结】一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。【变式演练】则C的离心率为()A.√2B.√3C.√6【答案】B结合双曲线的定义求IF₂A|、IFA|,在△AFF₂中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.2.设点F,F₂2分别为双曲线C)的左右焦点.点A,B分别在双曲线C的,则双曲线C的离心率为()EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),A)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(rz),F)₂=AEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),B)AFEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(u),₂)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uur),A)F₂=AEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),F)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(r),₂)+AF₂EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(u),,)ur∴(m+2a)²+(6m-2a)²=25m²,整理得(m-a)(3m-2a)=0,,..的左、右焦点分别为F,F₂,过F的直线1与双曲线左心率为()A.√2B.√3C.2D.双曲线的定义，求得M|M=4a,可得m,再由勾股定理可得a,c的关系，即可得到所求离心率.【题型五】余弦定理2:勾股定理用两次【典例分析】如图，0是坐标原点，P是双曲线E:右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO,PF分别交E于Q,R两点，已知QF⊥FR,且IQF|=2|FRI,则E的离心率为()【答案】B【分析】:令双曲线E的左焦点为F',连线即得。PFQF',设|FR|=m,借助双曲线定义及直角FPR用a表示出|PF],|PF'1,再借助Rt。F'PF即可得解.【详解】:如图，令双曲线E的左焦点为F',连接PF',QF',RF',由对称性可知，点O是线段PQ中点，则四边形PFQF'是平行四边形，而QF⊥FR,于是有设|FR|=m,则IPFl=FQ|=2m,IPF|=2m-2a,|RF'|=m+2a,|PR|=3m-2a,在Rt₂F'PR中，(2m)²+(3m-2a)²=(m+2a)²,解得或m=0(舍去),所以双曲线E的离心率为.故选：B【经验总结】焦点三角形或者焦点弦，有垂直(或者在圆上)可以构造勾股定理，特别是焦点弦，俩交点，可以构造两个勾股定理。【变式演练】的左右焦点分别为F,F₂,过F的直线交双曲线C【答案】A由PF²=PF;QF₂→PF·(PF-QF)=0→PF₂·PQ=0→PF⊥PQ,2.已知F是双曲的左焦点，圆O:x²+y²=a²+b²与双曲线在第一象限的交点为P,若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是()【答案】A【分析】:根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】:由题意可设右焦点为F,因为a²+b²=c²,且圆O:x²+y²=a²+b²,所以点P在以焦距为直径的圆上，则∠FPF=90°,A.√2B.√3【典例分析】A.(1.√2)【答案】B:,在△FOA中，由余弦定理可知，即【经验总结】【变式演练】则椭圆C的离心率为(B)c.o.,利用余弦定理，可得a=3k,在。NFF2中，利用余弦定理，即可求椭圆C整理得a=3k,,即4c²=18k²,即2c²=9k²=a²,2.已知梯形ABCD满足AB//CD,∠BAD=45°,以A,D为焦点的双曲线厂经过B,C两点.若CD=7AB,则双曲线I的离心率为()【答案】A【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a,c结论.之间的关系即可得到【详解】:如图：连接AC,BD,则BD-AB=AC-CD=2a,设双曲线的焦距AD=2c,实轴长为2a,设AB=m,则CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m,∠BAD=45°,∠ADC=135°,在△ABD中，由余弦定理及题设可得：(2a+m)²=m²+4c²-2√2mc,在△ACD中，由余弦定理及题设可得：(2a+7m)2=49m²+4c²+14√2me,离心率.【题型七】中点型【典例分析】【分析】:依据题给条件得到关于a,c的关系式，即可求得椭圆C的离心率.【经验总结】【变式演练】1.已知0为坐标原点，双曲线C:的右焦点为F(c,0),直线x=c与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段曲线C的离心率为()A.B.√2C.√3【答案】A,,,支于A,B两点.点M为线段BF的中点，且AF=AB.若(则双曲线C的离心【答案】A【详解】:点M为线段BF的中点，且AF=AB,则AM⊥BF,,BF|-|BF₂|=2a,∴|AF|+|BF|-|AB|=4a,∴m=8a,∴|FB|=4a3.已知F,F2分别是椭圆C:)的左、右焦点.若椭圆C上存在点P,使得线段PF的垂直平分线恰好经过焦点F₂,则椭圆C的离心率的取值范围是()【题型八】多曲线交点1:和抛物线【答案】B,,【变式演练】【答案】DB线交于点D,记,则∠PF'F=α的离心率为(),,3.已知抛物线x²=2py(p>0)的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为B【答案】C【典例分析】的一个交点为P,若直线PF与另一条渐近线平行，则C的离心率为()A.3B.2C.√3【答案】D【分析】:将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出P点坐标，进而可得直线C的离心率.【详解】:不妨设P为第一象限的交点.联立方程组可得P的坐标为【变式演练】直线1,1₂交双曲线E于A,B,C,D)的左、右焦点，过点F,F3分别作四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD为,则双曲线E的离心率为()o.【分析】:利用双曲线的定义，几何关系以及2.已知双曲b>0与圆x+y²=B在第二象限相交于点M,F,分别为A.√2直角三角形，故可求M点坐标，将M点坐标代入双曲线方程即可求得a与b关系，故而求,即b⁴即b⁴-a⁴=a²c²,即线在第一象限和第三象限的交点分别为M,N,设四边形FNFM的周长C与面积S满足则该双曲线的离心率的平方为()A.2+√2B.8+4√2C.2+2√2【答案】A整理可得：b²c²-a²b²=b²y²+a²y²整理可得：b²c²-a²b²=b²y²+a²y²,【典例分析】已知有相同焦点F、F2的椭圆线的离心率之积的范围为()【答案】A【分析】由椭圆和双曲线的方程有相同的焦点，得出a-1=m+1 , 【变式演练】则【答案】A圆和双曲线的定义，不妨设P在第一象限，求出IPFI,IPF2l,(F,F₂为焦点),在△PF;F₂2中利用余弦定理，求出a,m,c关系，进而得出椭左右焦点分别为F(-c,0),F₂(c,O)c²=a²-b²=m²+n²不,,椭圆与双曲线的离心率分别为e,e₂,则象限的一个交点，且设e₁,e₂分别为椭圆双曲线离心,为A.√2B.2√2C.3√2【分析】设椭圆的长半轴长为a₁半焦距为c,双曲线的实半轴长为a₂,半焦距为c,根据椭圆和公式可得最后利用柯西不等式即可得到.【详解】:设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,双曲线的实半轴长为a₂,半焦距为c,【典例分析】【答案】A据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围.故该双曲线离心率的取值范围是(1,√2),故选：A【变式演练】F₂作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,过点P作x轴的垂线A.2B.√2【答案】A离等于到AP的距离，列式可求离心率.,由即,化简整理得e²-e-2=0,化简整理得e²-e-2=0,(a>0,b>0)的在右焦点分别为F(a>0,b>0)的在右焦点分别为F、只、A为双曲线的左顶点，以FF₂为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且线的离心率为()则该双曲【答案】C,根据双曲线定义，得到在△PF;F²,根据双曲线定义，得到在△PF;F²,,,得出结果.不妨取点M在第二象限，因为以OF不妨取点M在第二象限，所以MF;⊥OM,则kum·kow=-1,,;,,,所以双曲线的离心率为【题型十二】双曲线特性2:内心【典例分析】点E在y轴上，且EA//x轴.若。BDE的内心到y轴的距离,则C的离心率为().【答案】B平分线定理，得到a,b关系后即可求出离心率.EA⊥BD,所以。BDE的内心G在线段EA上.因为G到y轴的距离为【变式演练】1.设F,F2分别为双曲)的左右焦点，点P(x,a)为双曲线上的△PFF2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为()【分析】:先求出△PFF₂的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出△PFFZ的内心所以重心坐标为设△PF;F₂的内心为D,内切圆与PF,PF2的切点分别为A,B,与x轴切点为C,则PA=PB,FA=FC,F₂B=F₂C,且点D与点C横坐标△PFF₂的重心和内心的连线与x轴垂直，所以,解得：c=3b,即C²=9(c²-a²),2.已知双曲(a,b>0)的左右焦点记为F,F₂,直线1过F₂且与该双曲线的一的离心率为()o.【详解】:令双曲线的半焦距为c,则F(-c,O),F₂(c,O),由对称性不妨令与1平行,令△PFF₂的内切圆O'与△PFF2三边相切的切点分别为A,B,C,令点A(x,O),如图，,3.如图，已知双曲的左、右焦点分别为F,F2,过右焦点作平行于【答案】A【分析】:设双曲线的左、右焦点分别为F(-c,O),F₂(c,O),设双曲线的一条渐近线方程为,,可得直线AF的方程为,联立双曲线的方程可得点A的坐标，设IAFFm,IAF₂=n,运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于a,c的方程，结合离心率公式可得所求值.【详解】:设双曲线的左、右焦点分别为F(-c,O),F₂(c,O),设双曲线的一条渐近线方程为可得直线AF₂的方程为,与双曲线在三角形AFF中由,(0为直线AF₂的倾斜角),③③故已知双曲线)的左，右焦点分别是F,F₂,点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x=a上，且满足,λ∈R.若5HP+4HF;+3HF₁=Ö,则双曲线C的离心率为()A.3B.4C.5【分析】:根据条件可确定H在∠FPF₂的角平分线上，且H是△PFF₂的内心，由向量关系由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，则有SAPBC·PA+SAPA.【变式演练】若△FPF₂的内切圆的半径r满足,在△FPF₂中，利用余弦定理及面积公式可再由已知结合正弦定理得到关系式,结合b²=a²-c²,将关系式转化为a,c的关在△F;PF₂中，利用椭圆定义知|,由余弦定理得又△FPF₂的内切圆的半径为r,利用等面积法可知所以即又b²=a²-c²,整理得4ac=3a²-7c²两边同除以a²,则4e=3-7e²,解得或e=-1(舍去)A.A.,其中O为坐标原点，则椭圆的离心率为()若B(x,y₁),A(x₂,y₂)有BF=a+exj,A.√2B.2√2,,因为S₂=2S,