多缝干涉的光栅衍射

多缝干涉的光栅衍射

随着科学技术的快速发展，传统的物理教育内容和方法的改革为传统物理教育和手段的改革打开了广阔的天地。从教育内容的创新到教育模式的多样性，我们可以进行。计算机计算机对物理现象规律的模拟和模拟，尤其是需要物理实验才能观察到的现象，非常重要，值得不断尝试。光栅衍射是波动光学中衍射理论的教学难点,单纯的数学推证效果并不佳.虽然可以通过一些演示实验来加强教学效果,但由于受时间、声地、条件等方面的限制,难以实现“直观性与抽象性的统一”的教学原则.基于以上原因,本文以光栅衍射理论为基础,使用数学软件MathCAD及蒙特卡罗随机抽样的方法,通过计算机作图形象而逼真地模拟出多缝光栅的衍射过程,并结合其他物理实验,制成CAI课件,直接用于课堂教学.1衍射i多缝干涉衍射光栅是由大量等间距的狭缝组成的集合体,当一束平行光垂直入射在光栅上时,在各个狭缝上发生衍射,衍射强度分布相同,而且衍射的主最大彼此重合,同时,缝间又发生了多缝干涉效应.所以光栅衍射同时包含有光的衍射和光的干涉两方面的问题.如图1所示,设波长为λ的单色平面光垂直入射到N缝的光栅上,光栅缝宽为b,光栅常数为d,根据多缝干涉和单缝衍射理论,相应于衍射角θ的观察点P处的合光强为I=I单缝衍射⋅I多缝干涉=I0[sinββ]2[sinNφ2sinφ2]2.(1)Ι=Ι单缝衍射⋅Ι多缝干涉=Ι0[sinββ]2[sinΝφ2sinφ2]2.(1)其中β=πbλsinθβ=πbλsinθ;φ=2πλdsinθφ=2πλdsinθ;sinθ=xx2+f2√sinθ=xx2+f2.(2)在式(1)、(2)中,令N=1,可得单缝衍射强度分布.它来源于单缝衍射,是整个衍射花样的轮廓.令b→0,则得多光束干涉强度分布.它来源于缝间干涉.因此光栅衍射是单缝衍射和缝间干涉两个因子的乘积.对式(1)进行理论分析,可知光栅衍射花样分布具有这样一些主要特征:(1)与单缝衍射相比,多缝衍射的花样中出现了一系列新的强度最大值和最小值.其中较强的亮线叫主最大,较弱的亮线叫次最大.(2)主最大的位置与缝数无关,仅决定于相应的衍射角θ,且主最大的宽度随N的增大而减小,其强度正比于N2.(3)相邻的主最大之间有N-1条暗纹和N-2个次最大.(4)对于给定的光栅,光栅常数d和狭缝宽度b都是给定的.当d/b=整数时,单缝衍射的每个最小值都落在某些主最大的位置上,从而使这些谱线消失,即出现谱线缺级.利用数学软件MathCAD及抽样舍取法进行计算机摸拟,能够准确的演示光栅衍射的主要特征.2基于mathcad的计算机模拟现代光学理论证实,光具有波粒二向性,这也是一切实物粒子的共性.干涉、衍射是说明物质波动性的典型现象.模拟光的衍射和微观粒子的衍射侧重点有所不同,但可以通过同一个数学模型来实现.因此,利用光栅衍射光子几率分布来类比光波通过光栅时的衍射规律具有合理性.根据式(1)可得归一化后光栅衍射光子相对几率分布函数为I′=[sin(πbsinθλ)πbsinθλ]2⋅[sinN(πdsinθλ)πdsinθλ]2.(3)Ι′=[sin(πbsinθλ)πbsinθλ]2⋅[sinΝ(πdsinθλ)πdsinθλ]2.(3)设入射光波长λ=0.5×10-4mm,光栅常数d=0.042mm,b=d/3=0.012mm,根据式(3),利用数学软件MathCAD作出光栅衍射强度分布,如图2所示.根据光栅衍射强度分布计算出各条谱线位置光子的几率分布,可用计算机模拟不同光栅的衍射规律.将计算机屏幕某一矩形范围内作为绘图区域,并沿x方向分为3000等份,同时将y分为2000等分,(由于相对几率分布与y轴坐标无关,因此y轴等分可以随意),计算每一部分所对应的概率并建立2000个元素的数组保存;另建立2000个元素的数组保存各区域光子出现几率的累加值,并在开始时令其全部为0.计算机摸拟程序产生一个大小在0～xmax(本文依据图2取xmax=0.03mm)的伪随机数开始,即可对应出相应的位置的相对几率值,将这一几率值与保存几率的累加值数组中的相应元素相加并保存下来.根据几率累加值大小的不同分别进行两种不同的操作;若几率值大于等于1,则就确定了一个光子在观察屏上出现的位置的x坐标,另产生一0～ymax的随机数作为y坐标,就可以在计算机屏幕相应位置处绘制一个小黑点不定来表示光子,并同时将几率值减1,再进行下一个大小在0～xmax的伪随机数的产生,并重复上述过程.若几率累加值小于1,则绘制小黑点,也不进行减1的操作,继续产生新的大小在0～xmax的伪随机数,并重复上述过程.当绘制的小黑点数目达到预先设定值时,程序停止.不同光栅情况下单色光的衍射模拟图如图3所示.利用上述方法也可演示复合光的色散现象,模拟色散光的方法为将λ的取值范围分为7个子区间,依次分别用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色的光点表示.在程序内部,利用抽样舍取法获取光子在观察屏上的位置之前,先对用户输入的波长进行抽样,程序要求用户输入从λ1到λ2的一个波长范围(连续谱复合光),则用[λ1,λ2]区间均匀分布的随机