分形盒维数抗噪能力分析

分形盒维数抗噪能力分析

1分形维数的识别网格的初衷是不规则、分数和破碎的物体。可以理解，局部和一般元素的相似性是局部和一般元素的相似性。格式的两个重要特征是无标度性和自相性。在分形理论中,分形维数是一个非常重要的参数,它可以定量地刻画混沌吸引子的“奇异”程度,在非线性行为的定量描述中得到了较为广泛的应用。分形维数主要包括:Hausdorff维数、盒维数、自相似维数、信息维数、关联维数等。其中,盒维数和关联维数的应用较为广泛。在机械故障诊断方面,不同的故障状态下,非线性因素对机械振动信号的影响是不同的,如果能在一定程度上辨识非线性因素,对于提取机械系统的故障特征和识别系统的故障类型是很有帮助的。分形维数有效的反映了系统的非线性特性和吸引子的复杂程度。众所周知,噪声会影响分形维数的大小,使其无法准确的反映系统的分形特征。为了得到系统真实的分形维数,就必须对原始信号进行滤波处理。为了消除噪声,人们设计出越来越多的滤波器,使用了越来越复杂的滤波方法。这些滤波手段虽然消除了噪声,提高了分形维数的准确性,但是却增加了信号处理的难度、降低了实时性。针对噪声对分形维数的影响,本文重点对分形盒维数的抗噪能力进行了研究,发现分形盒维数具有一定的抗噪性。在使用较为简单的滤波方法时,计算得到的分形维数虽然不是真实的维数,但是仍然包含了信号的非线性特征,能在一定程度上反映系统吸引子的“奇异”程度。因此,在某些情况下,这样的分形盒维数仍然可以使用,起到反映系统分形特点的作用。2波形块的维数及其计算2.1分形盒子的维数设X是Rn的非空有界子集,记N(X,ε)表示最大直径为ε且能覆盖X集合的最少个数,则X的盒维数定义为:2.2网格计数的算例设离散信号y(i)⊂Y,Y是n维欧氏空间Rn上的闭集。用尽可能细的ε网格划分Rn,Nε是集合Y的网格计数。由于式(1)中的极限无法按定义求出,所以在计算时需要采用近似的方法。以ε网格作为基准,逐步放大到kε网络,其中k∈Z+。这样,令Nkε为离散空间上的集合Y的网格计数,则由式(2)和式(3)可以计算得到。式中:j=1,2,…,N/k;N为采样点数。k=1,2,…,M,M<N。网络计数Nkε为:式中:Nkε>1。在lgkε-lgNkε图中确定线性较好的一段为无标度区,设无标度区的起点和终点分别为k1、k2,则:最后,用最小二乘法确定该直线的斜率:盒维数dB为:3分散盒子维数的抗噪声研究3.1噪声对分形盒维数的影响一维布朗运动随时间变化的轨迹具有分形特性,取采样点数为N=2000,得到布朗运动信号如图1所示。在原始的布朗运动轨迹信号上叠加均值为零的高斯白噪声,改变信噪比SNR,求其在不同噪声强度影响下的分形盒维数,如图2所示。由图2可知,当信噪比较小时,分形盒维数较大,由于大噪声的影响,分形盒维数无法反映出信号的真实分形特征;而在信噪比大于30dB后,分形盒维数基本趋于稳定,此时的盒维数才是信号真正的分形盒维数。不妨将得到真实分形盒维数所对应的最小SNR点称为H点。对于一维布朗运动轨迹信号,H=30。叠加噪声后,如果信噪比高于H,分形盒维数几乎不会受到影响;当叠加噪声后的信噪比在1到H之间时,分形盒维数随着信噪比的减小而增大。对[1,H]区间内的波形进行一次曲线拟合,可得到如图3所示结果。曲线拟合的斜率为K=-0.0104,平均误差为0.455%。由此可见,在[1,H]区域,分形盒维数与信噪比之间有明显的线性关系。3.2不同信号的分形盒维数的比较非周期信号leleccum是电网监视的电压变化曲线信号,取采样点数N=2000,改变信噪比,求其在不同噪声影响下的分形盒维数,如图4所示。比较图4和图2可以发现,两条曲线的形态有明显的相似性。由此可知,随着噪声强度的变化,不同信号的分形盒维数的变化趋势是相似的。有所不同的是,对于leleccum信号,H=40。当信号叠加噪声后,如果信噪比高于H,分形盒维数的数值几乎不会受到影响,此时的分形盒维数反映了leleccum信号的真实分形维数;当信噪比在1到H之间时,分形盒维数随着信噪比的减小而增大。对[1,H]区间内的波形进行一次曲线拟合,得到的结果如图5所示。曲线拟合的斜率为K=-0.0109,平均误差为0.783%。由此可见,在[1,H]区域,分形盒维数与信噪比之间确实存在明显的线性关系。3.3振动信号的随噪声强度的变化采集轴承振动信号,取采样点数N=2000,为了得到原始的振动信号,对采集的信号进行去噪滤波,采用“sym5”小波基函数,以极大极小阈值原则对信号进行自适应滤波处理。以滤波后的振动信号为基础,添加噪声,改变信噪比,求其在不同噪声影响下的分形盒维数,如图6所示。将图6与图2、图4比较,3条曲线的形态有明显的相似性。由此可知,随着噪声强度的变化,轴承振动信号的变化趋势与其他分形信号相似。有所不同的是,对于该轴承振动信号,H=30。对振动信号叠加噪声,如果信噪比高于H,分形盒维数的数值几乎不会受到影响,此时的分形盒维数反映了振动信号的真实分形维数;当信噪比在1到H之间时,分形盒维数随着信噪比的减小而增大。对[1,H]区间内的波形进行一次曲线拟合,得到的结果如图7所示。曲线拟合的斜率为K=-0.0119,平均误差为0.625%。由此可见,在[1,H]区域,轴承振动信号的分形盒维数与信噪比之间确实存在明显的线性关系。3.4关于分形盒维数对大量信号的分形盒维数进行计算和抗噪性研究,发现在改变信噪比SNR时,分形盒维数具有一定的抗噪性。这种抗噪性表现为:当SNR较大时,信号的分形盒维数基本不受影响,仍然可以正确地反映出信号的分形特征;当SNR属于区间[1,H]时,信号的分形盒维数都随着SNR呈线性变化。由式(1)可知,分形盒维数的定义中有两个很重要的变量,一个是盒直径ε;另一个是在盒直径为ε时所对应的覆盖X集合的最小盒子数N(X,ε)。在盒子大小确定的情况下,影响分形盒维数的就是覆盖X集合的最小盒子数。从几何学和空间理论的角度考虑,分形盒维数度量了信号填充空间的能力,反映了信号的复杂程度,刻画了信号的自相似特性。因此,当原有信号叠加噪声时,如果信噪比较大,覆盖信号的盒子数没有明显的增加,噪声不足已影响信号的复杂程度,也不会明显增强信号的空间填充能力,所以信号的分形特征仍是主导因素,计算得到的分形盒维数依然可以正确的反映信号的分形特点。然而,当信噪比减小到一定程度时,信号的空间填充能力和复杂程度受到了噪声的影响,分形盒维数逐渐变大,但是由于白噪声的随机均匀性对信号的影响是线性的,覆盖信号的盒子数呈现线性的增长趋势,所以分形盒维数也呈线性变化,此时的分形盒维数仍然可以在一定程度上反映信号的分形特征。4故障模式下分形维数检测对6205-2RS轴承进行实验,在实验中,轴承有3种状态:正常状态、内圈故障状态和外圈故障状态(如图8所示)。轴承在1797r/min的额定转速下工作,利用振动加速度传感器测取轴承的振动信号,在采样频率为12kHz、采样点数为2000点的条件下,得到轴承采样信号。选取正常状态和两种故障状态数据各20组,采用“sym5”小波基函数,以极大极小阈值原则对信号进行自适应滤波处理,结果如图9所示。然后对小波滤波后的数据逐一计算分形盒维数,将全部数据的计算结果进行整理,求不同状态下的数学期望及其误差,可以得到不同故障模式下的分形盒维数及其误差范围,如表1所示。由表1可知,滤波后的分形盒维数可以作为故障的特征向量,对轴承故障进行诊断。如果采用高斯低通滤波方法,截止频率为2kHz,对采样信号进行简单的低通滤波处理,然后求其分形盒维数,可以得到如表2和图10所示结果。由表2可知,只对信号进行简单的低通滤波,计算得到各状态分形维数范围,同样可以达到区别轴承状态、判断故障类型的目的。任意抽取一个轴承,对其进行测试,为排除误差,确保正确性,采集3组数据,其中1组振动信号的波形及滤波结果如图11所示。经过小波滤波后,计算这3组采样信号的分形盒维数分别为:1.3499、1.3422、1.3504。对照表1里的数据,由于3组数据的分形盒维数都属于轴承外圈故障(1.3482±0.0115)范围,所以可以判断该轴承故障状态为外圈故障。经过简单的低通滤波后,计算3组采样信号的分形盒维数分别为:1.5355、1.5298、1.5314。对照表2里的数据,由于3组数据的分形盒维数都属于轴承外圈故障(1.5347±0.0102)范围,所以同样可以判断该轴承故障状态为外圈故障。比较表1和表2可以发现,由于噪声的影响,各状态下分形盒维数的值都增大了,而误差范围变化不大。由于分形盒维数具有一定的抗噪性,对信号的滤波要求不高。因此,虽然只是经过了简单的滤波处理,该分形盒维数不能准确的反映轴承信号真实的分形特征,却依然可以作为故障诊断的依据,达到