26春 典中点 八年级数学下（R版）答案

荣德基主编课时练答案详解详析的根指数是3,不是二次根式，∴二次根式有4个.分分点方法判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“√厂”;(2)被开方数是非负数.2.A【点拨】由题意得3-x≥0且x-1≠0,解得x≤3且x≠1.6.【解】(1)无论x为何实数，(x+1)²都是非负数.(2)由得x>3. 仓点仓点技巧含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.√3x+5y-2-m+√2x+3y∴M(10,—4),将点M先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为(10-4,-4+4),即2024)=2025=√2025²,b=√2026²-2√2025²+1,c=√2026×2024=√(2025+110.-3【点拨】解不等式得x>m,解不等式得x>2.∵不等式组的解集为x>2.符合条件的所有整数m的和是-3.11.【解】(1)根据二次根式有意义的条件可得a-2026≥0,解得a≥2026.(2)由(1)知a≥2026,(3)由(2)易得a-2026=20252,a+a+b=3a.简的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.4.50【点拨】∵√16-n有意义，∴16-n≥0,即n≤16.12或15或16.∴满足条件的自然数n的和为0+7+12+15+16=50.5.2c【点拨】∵a,b,c是△ABC的三边长，∴a—b+c>7.【解】(1)原式=5-24=-19.答案详解详析(2)原式(3)原式=-1+1+2—(√2-1)=3-√2.(4)原式=8xy.(5)原式=|x²+1|=x²+1.8.C【点拨】∵√45n是一个整数，∴45n是一个完全平方数.∵45n=3×3×5×n,∴n的最小正整数的值是5.9.B【点拨】∵m,n为两个连续奇数，0<m<n,∴n=2026=√(m+2)²+√m²+2026=m+22m+2028.∵m为奇数，∴2m为偶数.∴p为偶数.√(x-5)²=|x+1|+|x-5|,由绝对值的几何意义可得，|x+1|+|x-5|表示的是数轴上表示数x的点到表示数—1和数5的两个点的距离之和，∴当-1≤x≤x=6,此时|x+1|+|x-5|=6.∵若对任何实数x,不∴√(x+1)²+√x²-10x+25的最小值要大于或等于11.3-√7【点拨】∵16—6√7=9+7—6√7=3²-2×3×√7+(√7)²=(3-√7)²,∴16-6√7的算术平方根是2—x+3=1,即当x分别取2,3,…,2025时，y的值均为1,∴当x分别取1,2,3,…,2025时，所对应的y值的总和是3+2024×1=2027.a+b+c+d=1,∴0<a<1.∴a²<√3b²+1+√3c²+1+√14.【解】.钟摆摆动的周期约为∴在6min内，该座钟大约发出了420次滴答声.16.【解】(1)1(2)∵三角形的三边长分别为2,5,m,∴m的取值范围是3<m<7.m-3+7-m=4.∴x=5(舍去);∴x的取值范围为5≤x≤8.第1课时二次根式的乘法为连续整数),∴a=5,b=6.3.C【点拨】设两个正方形的边长是x,y(0<x<y),则x²=6,y²=24,∴x=√6,y=√24.∴阴影部分的面积为(y-x)x=(√24-√6)×√6=6.4.C【点拨】∵|k+1|+|k—4|=5,∴-1≤k≤4.0,1,2,3.∴符合条件的所有整数k的和是-1+0+1+2+3=5.当x=3时，原式=√3.(所取x值不唯一).故选D.5×√2=10√10,解得A=2√5;B×√10×10=√2×10×D=10√10,解得D=√5.∴A+B+C+D=12.【解】(1)由题意可知h≈20×3=60(m).(2)该玩具最低的下落高度∴最少经过约3.5776s落地就可能会伤害到楼下的行人.13.【解】(1)3-√11(答案不唯一)1.A【点拨】最简二次根式的两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.8.3【点拨】∵a是正整数，√3a+6是最简二次根式，值为3.9.【解】(1)√2+1(答案不唯一)(2)3+√6专项培优1利用二次根式的非负性求解2.【解】由题意可知(①+②)÷3得x+y=-1.(x+y)"一”=(—12024=1.又∵c是三角形的最大边长，∴这个三角形的周长为a+b+c=8+14=22.∴a—6=0,b—8=0,解得a=6,b=8.解得19.5≤I≤20.5.∴该三角形为等腰三角形.阶段综合培优测(n为大于或等于1的正整数).b为正整数),∴a=8,b=8²+1=65.∴a+b=8+65=73.√2026xy=2026,∴√xy(√x+√y)√y)(√xy-√2026)+√2026(√0.∴(x+√y+√2026)(√xy-√2026)=0.∴正整数对(x,y)可以是(1,2026),(2026,1),(2,1013),(1013,2).∴满足已知等式的正整数对(x,y)共有4个.(2)原解得原式当a=-1,b=-3时，原式=(一1)×√-3×(-3)=-3.15.【解】∴跑完100m所用的时间为∴该运动员的跑步速度为5√2m/s,跑完100m所用的 一√36×5=-√180.第1课时二次根式的加减1.C2.D3.0(答案不唯一)6.【解】(1)原式=4、每秒3个单位长度的速度向左运动，∴经过xs后，M点表示的数为4x-9√2,N点表示的∴经过xs后，M点表示的数为4x-9√2,N点表示的综上所述，当时，原点O恰为线段MN的三等分点.第2课时二次根式的混合运算2.∴表示实数a的点会落在数轴的段②上，故选B.则a+b=1+1=2.4.A【点拨】∵4.A【点拨】∵一(√5+3),∴a与b互为相反数.12.【解】(1)一(√5+3),∴a与b互为相反数.5.√5-2【点拨】(√5-2)2027(√5+2)²026=(√5-2)×(√5-2)²026×(√5+2)²D26=(√5-2)×[6.√5+√3【点拨】由题意得c-4≥0,4-c≥0,解得c=4,7.【解】(1)原式,解得7.【解】(1)原式6=15.(2)原 6=15.(2)原 (3)原式=3+2√(3)原式=3+2√6+2-3+2=2√6+4.∵x,y都是有理数，∴x²-2y-8,y-4也是有理数.当x=-4,y=4时，x+y=(一4)+4=0.9.B【点拨】a=3+√8—(√8+√7)+(√7+√9.B【点拨】a=3+√8—(√8+√7)+(√7+√10.C【点拨】=a=√6-√2,b=15-1,段EH上有一点N,且EH,则N表示的数为7√2.∵10.C【点拨】=a=√6-√2,b=15-1,答案详解详析11.2【点拨】∵1985,化简得x²+y²=98,∴(x+y)²=x²+y²+2xy=98+2=100.又∵n为正整数，10,解得n=2.故①正确.②当a,b,c皆为负数时，,故③正确.当a>0,b<0,c<0④正确.14.【解】(1)长方形空地ABCD的周长=2×(√108+√48)=2×(6√3+4√3)=20√3(m).因此，如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为8160元.易得m²-n²=8.联立得解得√x+1,∴x+6+3x+2-2√(x+6)∴10x=-5,解得x=-0.5.经检验：x=-0.5是原方程的解.专项培优2二次根式的化简求值1.【解】由题意得n²-4≥0,4-n²≥0,n-2≠0,解得n=-2,则m=-1.(2)根据题图可知-2<a<-1,0<b<1,—a-1+b+a+b=2b-1.a—b=(√6-2)一(√6+2)=-4.2√m(m+1)=2m+1+2√m(m+1),∴解得m=505.(2)∵1≤a≤2,∴o≤a-1≤1.∴0≤√a-1≤1.专项培优3比较含有二次根式式子大小的方法点方法利用作差法比较两个式子的大小时，若点方法利用作差法比较两个式子的大小时，若B=√(x+2)(x+1)=√x²+3x+2.章末培优全章热门考点整合应用7.B【点拨】原式=(√3-√2)²024×(√3+√2)²024×8典八年级数学下R版答案详解详析数部分为a,小数部分为b,∴a=1,b=3—√2-1=2—√2,∴(2+√2a)b=(2+√2)(2—√2)=2.9.【解】(1)原式=√6+√18-√2-√6-3√2=3√2-√2-(4)原式=3-2√6+2+(12√2-4√3)÷√3=3-2√6+13.D【点拨】∵三个小正方形的面积分别为18,12,2,∴三个小正方形的边长分别为√18=3√2,√12=即3<2√3<4,∴3-2<2√3-2<4-2,即1<2√3-2<2,故这个数落在数轴上的第②段.18.【解】(1)设长方体盒子的高为xcm,则长为6xcm,宽由题意可得6x·3x=36,解得x=√2(负值已舍去),当a<3时，原式=3—a+7—a=10-2a;当a>7时，原式=a-3+a-7=2a-10.7.(1)【解】根据题意得(2)【证明】由题意得S₁=S₂,∴a分分点步骤证明勾股定理的三个步骤：(1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少；(2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式；(3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理.BC=8,∴AB²=AC²+BC=6²+8²=10².∴AB=10.AC=10-6=4.设CD=x,解得x=3,∴CD=3.构造等边三角形AMN,连接BN,∴AN=NM=AM=(如图②)时，BN最大，此时AP取最大值，最大值为BN的长.如图②,过点M作MT⊥x轴于点T.易知√3(负值已舍去).由题知OA=OB=2,∴OT=3,AB=最大值为6.①②①∴在4s内，点P在线段BC上.根据勾股定理得PC+AC²=AP²,即(8-2t)²+6²=(2t)²,解得②当∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上.在Rt△ACP中，根据勾股定理得AP²=AC+PC²=6²+(2t—8)²,在Rt△ABP中，根据勾股定理得AP²=14.【解】(1)如图①,过点E作EM⊥AB于点M.①①交于点T.交于点T.∴易得∠CAE=∠CBT.②(3)BE′的最小值为【点拨】如图③,将AC绕点A逆时针旋转60°得到AN,连接NE'.由旋转的性质可得AN=AC,AE′=AE,∠CAN=∠EAE′=60°,∴∠E'NA=∠ECA=90°.∵N是定点，∴点E'在过点N且与AN垂直的直线上运动.∴当BE'⊥NE'时，BE'有最小值.过点B作BQ⊥NE′于点Q,延长BC交直线NE'于点P,连接PA.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°AN⊥NE′,∴AN//BQ.∴∠ABQ=180°-Rt△APC.∴CP=3.CP=3.③③值为答案详解详析114.12【点拨】∵BC=23,BD=13,∴CD=23—13=10.连接AD,如图，由题意得AD=AC,AE垂直平分CD,5.【解】易得△ABC是等腰直角三角形.解得AC=BC=√2m(负值已舍去).故C′C=BC′-BC=√3-√2≈1.70.32(m).8.2026+675√5【点拨】∵在Rt△ABC中，∠BAC=1+√5=3+√5.∵△ABC有三个顶点，∴2026次旋转中每三次一个循环.∵2026÷3=675……1,∴2026次旋转共经历675个循环还余1.∴△ABC第2026次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点B.∴2026次旋转后，点B共向右移动的总长为675(3+√5)+2=2027+675√5.∵第一次的起点为-1,∴右边的点表示的数是2026+675√5.∴绳子的总长度为18dm.(2)如图所示.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD²=AB²-∴滑块B向左滑动的距离为9dm.(2)如图，过点N作NG⊥BC,交BC的延长线于点G.第1课时勾股定理的逆定理分点分点易错已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形.在利用公式a²+b²=c时，一定要注意c是最大边，即∠C=90°.6.【解】(1)△ACD是直角三角形.∴由勾股定理得AC=5m.又∵CD=3m,AD=4m,(2)图中阴影部分的面积AD×CD=直角三角形面积的和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度、三边长度等.AE²+CE.∴△ACE为直角三角形，且∠E=90°.CD,∴∠BAE=∠BOD.由勾股定理得AB²=1²+2²=.∵m是大于1的奇数，∴b=m.12.【解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴易知∠P′AP=∠BAC=60°.∴△APP'为等边三角形.(2)将△QAC绕点A逆时针旋转60°得到△Q′AB,连接∴△AQQ′为等边三角形.∴Q'B=13(负值已舍去).∴QC=13.∴由线段AM,MN,BN围成的三角形是直角三角形.(2)点Q的位置如图所示.(3)设正方形C的边长为x,∴x²=m²+n².即正方形C的边长也是有理数.第2课时勾股定理的逆定理的应用BC=12m,∴AC=√AB²+BC²=√9²+12²=15(m).AD².∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴四边114(m²).∴这块菜地的面积为114m².3.C【点拨】A.AB²=2²+4²=20,正确，故不符合题意；∴AC²+AB²=BC.∴∠BAC=90°,正确，故不符合题5,错误，故符合题意；D.设点A到直线BC的距离为h.∵BC=25,∴BC=5(负值已舍去)..h=2,即点A到直线BC的距离是2,正确，故不符合题意.**250m,AM=200m,BM=150m,∴AB²∴∠AMB=90°.∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长，即为150m.CB=18cm,AB=30cm,∴AC+BC=AB².∴△A是直角三角形，且∠ACB=90°.∴△ABC的面积= 的距离7.【解】(1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.理由如下：过点C作CD⊥AB于点D,如图.∵48m<50m,∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.(2)设点E,F在直线AB上，且CE=CF=50m,如图.易知DF=DE,∴DF=14m.答：有2.8s可以接收到5G信号.专项培优4勾股定理中的折叠问题【点拨】∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边ACx,BE=BC—CE=4-x.在Rt△BFE中，由得(4-x)²=x²+2²,解得形ABCD是长方形，AB=8cm,AD=4cm,∴CD//AB,CF)²+4²=AF²=CF²,解得CF=5cm.∴5×4=10(cm²).6.4【点拨】如图①,当点F与点C重合时，由折叠的性Rt△B'CD中，由勾股定理得B'D=12,∴AB′=AD-B′D=1.如图②,当点E与点A重合时，由折叠的性质知，AB′=AB=5,∴B′在AD上可移动的最大距离为5-8.【解】(1)∵四边形ABCD是长方形，AB=5,AD=12,即(12-CE)²+8²=CE,解得DF=AD—AF=13-3=10.BC=CD=10,∠D=∠B=∠C=90°.由折叠的性质知AB=AF,BE=EF,∠B=∠AFE=90°,∴ACE²+CG²=GE²,即5²+(10-x)²=(5+x)²,解得x=10.B【点拨】连接MB,MB′,如图，由折==11.【解】(1)AP=EF(2)点Q的位置确定，连接EQ.∵四边形ABCD是边长为12的正方形，∴AQ=FQ.设BQ=x,则FQ=解得x=9,∴BQ=9.专项培优5利用勾股定理解决最值问题12,AB=15,所以BC=AB²-AC=81,所以CF,所以当CF的值最小时，EF取得最大值.由垂线段,所以EF的最大值为2.C【点拨】如图，在AB上取点N′,使BN′=BN,连接MN′,CN′,作CH⊥AB于点H.因为BD平分∠ABC,所以∠N'′BM=∠NBM.又因为BN′=BN,BM=BM,MN=CM+MN′≥CN′,根据垂线段最短的性质知，当点N′与点H重合时，CN′的值最小，此时CM+MN的MN的最小值为3.【解】如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE(点D,E分别与点P,C对应),连接DP,BE,DE.∴△APD为等边三角形.PA+PB+PC有最小值，最小值为故PA+PB+PC的最小值为5√13.解得x=2.4.【解】(1)设每一级台阶的高为x解得x=2.答：每一级台阶的高为2dm.(2)易知四级台阶的平面展开图为长方形，如图.其中宽为18dm,长为(2+4)×4=24(dm),连接AC,易知蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程是此长方形的对角线AC的长，∴由勾股答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为5.【解】(1)15(2)侧面展开图如图①所示，则AC=BD=3×4=12(cm).易知点M,N分别为BC,AD的中点时，AM+BN的值即为彩条的最短长度，所以CM=DN=10÷2=5(cm),2.∴AM的长为2.所以由勾股定理得AM=BN=13cm,所以彩条的最短长度是13+13=26(cm).①(3)展开玻璃杯的侧面，如图②,作点A关于MN的对称点A′,连接A'B,易知A'B的长即为蚂蚁爬行的最短路径的长，作BC⊥A'A于点C,则BC=15cm,A'M=AM=2cm,CM=所以CA'=CM+A'M=36cm.所以A'B=39cm,所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm.A,D,B三点共线时，AD+BD的值最小，此时最小值为AB的长.∴√x²+4+√(12-x)²+9的最小值为13.90(m).∴该球机夜间在公路OM上所能监控到的部分的长度为180m.由题知AB=160m,AC=200m,点C在点B的正东方(2)由题意可知BC⊥CD,CD=50m.而AC+CD=200+50=250(m).∴小亮跑的路线更短.角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个重要的方法.7.【解】(1)(6,8,10);(9,12,15)(答案不唯一)(2)∵x²+y²=(2n)²+(n²-1)²=4n²+n2n³+1=(n²+1)²=z²,∴(x,y,z)为勾股数.【点拨】由折叠的性质可得AD=AB=2,CE=DE,AE,即2²+(3-x)²=x²,解得10.【解】过点B作BF⊥AD于点F,则易得四边形DEBF为长方形，(CD+8)²+4=CD²+16CD+64+4.由勾股定理得AB²+AC²=BC,解得CD=6;CD)²+4=CD²-16CD+64+4.由勾股定理得AC²=AB²+BC,当∠ACB=90°时，易知点C在线(8-CD)²+4=CD²-16CD+64+4.由勾股定理得AB²=AC²+BC,综上，当CD长为6或4或时，△角形.综上，当CD长为6或4或时，△角形.21.1.1四边形及其内角和1.B2.B21.1.1四边形及其内角和1.B2.B3.四边形的不稳定性4.140°5.4π6.A7.D【点拨】如图，设AE,CD交于点F.∵∠CFE=360°-360°-(∠B+∠C)-∠1=180°-(180°-∠A)-∠1=180°-∠2-∠A,整理，得180°+∠A-∠1=180°-∠2-∠A,即2∠A=∠1-∠2.(2)∵正多边形的一个内角为108°,∴这个正多边形的一个外角为72°9.C【点拨】∵第一次回到点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为72÷6=12.∵多10.(n-3);12【点拨】从n边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线.∵过n边形的一个顶点有7条对角边形对角线的总条数等于边数，8.0°【点拨】如图所示，∠EDG=180°—75°=105°,∠DGF=180°—x.在四边形DEFG∠DGF=180°—x.在四边形DEFG9.9.【解】(1)∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC∴易得∠1+∠2=360°-(∠BCD+∠ADC).∴根据(1)的结论有∠MDA+∠NAD=240°.∵AE,DE分别是∠NAD,∠MDA的平分线，(2)设这个多边形为n边形，由题意，得(n-2)×180°=∴小明求的是十二边形的内角和.∴这个正多边形的一个内角是150°.**【模型求解】【解】由(1)可知，∠E+∠F=∠EBC+21.1.2多边形及其内角和=∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E21.1.2多边形及其内角和6.45°【点拨】∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,6.45°【点拨】∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,【构造模型】【解】连接CD,如图①.①②①由(1)得∠B+∠E=∠1+∠2.CF,由(1)可得，∠FCE+∠CFD=∠FDE+∠CED,角的和为(n-4)×180°=180°n—720°.21.2.1平行四边形及其性质第1课时平行四边形的性质3.B【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//∵∠ADC的平分线交BC于点E,∴∠ADE=∠CDE.7-5=2.故选B.∠BAC=a,∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=2α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD,AD//BC,AB//CD.3a.∵AB//CD,∴∠D+∠BAD=180°,即114°+3α=6.8【点拨】设AE交BF于点O.由作图可知AB=AF=5,AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,AE垂直平分BF.∴∵四边形ABCD是平行四边∠AEB.∴AB=BE.∴BF垂直平分AE.∴AO=OE=7.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，(2)【解】由(1)知BF=DE.∵四边形ABCD是平行四边形，8.B【点拨】如图①,当点E在线段AD上时.∵AE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠EBC=∠AEB.∴∠ABE=是48cm,∴2(3x+3x+2x)=48,解得AE+ED=3x+2x=5x=15cm;如图②,当点E在AD的延长线上时，同理可得AB=AE.∵AE:ED=3:2,∴设AE=3xcm,ED=2xcm,∴AB=3xcm,AD=AE—ED=3x-2x=xcm.∵□ABCD的周长为48cm,∴2(3x+x)=48,解得x=6,∴AD=6cm.综上所述，边AD的长是6cm或15cm.①9.B【点拨】连接CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC.∴CE=AE=4.10.A【点拨】设∠EBC=a.∵四边形ABCD是平行四边平行四边形，∴AC//BD,OB=OC=4cm,DO=PO.∵P是边AC上的一个动点，∴当DP⊥AC时，DP最∴∠AOC=90°,∴AO=√5²-4²=3(c【点拨】(1)∵A(-2,0),∴OA=2.又∵OA=OB,(2)如图，过点D作x轴的平行线交y轴于点F,过点C作y轴的平行线交FD于点E,则∠PDF=∠PAO,m),∴OP=|m|.∴FP=|m|.∴OF=2|m|=|2m|.∴点D的坐标为(2,2m).∵四边形ABCD为平行四边CE//y轴，∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4.∴点O到这条直线的距离为4.∴OC长度的取值范围为OC≥4.14.(1)【解】(答案不唯一)作图如图所示.(2)无数；两条直线都经过平行四边形对角线的交点(3)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).又∵∠A₁IE=∠DIH,∠B₁GH=∠CG第2课时平行四边形性质的综合及平行线之间的距离4.20【点拨】连接EF,由平行四边形的性质可得AB//5.12;3【点拨】先根据平行线间的距离相等得到,即可求得△ACD的面积，再由平行线间的距离相等即可求解.过点D作DH⊥AF,交FA的延长线于点H,如图.点方法应用平行四边形的边角性质的“两注意”:点方法应用平行四边形的边角性质的“两注意”:(1)注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.(2)在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不要再通过三角形的全等去证明.7.B【点拨】根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等.9.C【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC,BO=OD,不能得到AO=BO,故①错误；∵四边形又∵OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,∴OE=OF,故②正确；∵BE=DE,B平分BD.∵点F在EO的延长线上，∴EF垂直平分BD,故③正确；同理可得△BON≌△DOM.又∵BO=DO,∴S,故④正确.故10.√3或2√3【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，√OC-OP²=3√3.∴BP′=BP'C=2√3.综上所述，BP的长为11.【解】(1)0<t<3(2)由题意得AE=2tcm,BF=3(t-1)cm,∵AG//BC,∴△ACF和△ACE的高相(2)过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH=OD=4,∠QHA=当AQ=AP时，(4-x)²+4²=(2x-2)²,,解得(负值已舍去).(3)过点Q作QH⊥x轴于点H,过点C作CT⊥x轴于点∴Rt△QHP为等腰直角三角形，连接AQ.∵CD//x轴，21.2.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定(1)4.对角线互相平分的四边形是平行四边形5.BE=DF(答案不唯一)6.37.【证明】∵△ABD,△BCE都是等边三角形，同理可证AD=EF,∴四边形ADEF是平行四边形.三角形，且周长为12m,∴AB=AC=BC=4m,∠A=∠AGF=∠B=60°.∴△AGF是等边三角形.∴FG=AG.∵PD//AC,∴∠PDB=∠A=60边三角形.∴DP=PG.∴PD+PF=PG+PF=FG=AG.∵FG//BC,PE//AB,∴四边形BGPE是平行四边9.A【点拨】甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形，OF.∵OB=OD,BN=DM,∴OB—BN=OD-DM,ON=OM.∴四边形EMFN是平行四边形.乙方案：在(ASA).∴MO=NO.∴四边形EMFN为平行四边形.∴∠PHC=90°=∠ACO.∵PD//OY,PE//O形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°.合，此时OH的最小值=OC=2,即a+2b2,OA=4,∴BC=AC=√4²-2²=2√3.易知∠HCP=30°,3.∴OH的最大值是OC+CH=2+3=5,即a+2b的最大值是10.∴a+2b的最大值和最小值的和=11.(2,3)或(-2,—3)或(-2,1)12.413.(1)①【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OE=OF.∴四边形AFCE为平行四边形.②【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA.∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形.由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形，(2)【解】若四边形AFCE是平行四边形.理由：又∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.若四边形AFCE是平行四边形.理由：又∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.第2课时平行四边形的判定(2)5.(1)【证明】∵C是线段AB的中点，又∵∠A=∠ECB,∴△DAC≌△ECB(ASA).又∵CD//BE,∴四边形BCDE是平行四边形.边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC,AD//BC.∴BM=DN.∴CM=AN.∴四边形ANCM是平行四边形；乙：由作图可知，AM平分∠BAD形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC,AD//∴BM=DN.∴AN=CM.∴四边形ANCM是平行四边形.故选C.7.B【点拨】连接EF,如图.∵四边形ABCD为平行四边的中点，∴EQ=CQ.又∵∠BQE=∠FQC,∴△BEQ≌△FCQ(ASA).∴BE=CF.∴四边形BCFE为平行四边BE=CD-CF,即AE=FD,∴四边形ADFE为平行四边14+3=17(cm²).故选B.8.C【点拨】如图，连接EG.∵四边形ABCD是平行四边BG.又∵AE//BG,∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG,AB//EG.同理四边形DCGE是平行四边与△GEH的面积分别为□ABGE与□EGCD面积的一EFGH的面积始终为□ABCD面积的一半，是定值.选项A:EF,FG等边长随F,H移动变化，周长不定，错误.选项B:∠EFG的大小随F位置改变，错误.选项D:FH长度随F,H移动变化，错误.综上，四边形EFGH的面积是定值，CF⊥BD.∴∠CFD=90°=∠BEA.∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL).∴CF=AE,故①正确；∵CF=AE,∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF,故②正确；∵Rt△DCF≌Rt△BAE,∴∠CDF=∠ABE.∴CD//AB.又∵CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；由以上易得出：△CDF≌△BOC等，故③错误.综上，正确的结论是①②④.点方法判定平行四边形的方法选择已知条件1.证另一组对边也相等一组对边平行1.证另一组对边也平行10.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABFE是平行四边形，四边形CDEF是平行(2)【解】如图，连接AN,DN.易证四边形ABNM和四边形CDMN都是平行四边形.SS11.【解】(1)第一次相遇的时间为(2)设运动时间为ts.∵等边三角形ABC的边长为10cm,当四边形ANDM为平行四边形时，∵△ABC为等边三角形，AM=(4t—10)cm,AN=(3t-10)cm.当四边形ANDM解得.此时易得理易得△BMN和△MCD都是等边三角形，此时CM=(4t-20)cm,AN=(3t-10)cm.7.5(s),10>7.5,∴t=10点;当运动的时间为,点D在BC上，离B21.2.3三角形的中位线4.√13【点拨】如图，取BC边的中点G,连接EG,FG.∵E,F分别为AB,CD的中点，∴EG是△ABC的中位5.140°【点拨】连接BD.∵点E,F分别是边AB,AD的BC²=225,则BD²+CD²=BC,∴∠BDC=96.(1)【证明】∵D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中∴四边形DEFG为平行四边形.(2)【解】∵四边形DEFG为平行四边形，合时DN最大，此时DN=DB=√AD²+AB²=√5²+12²=13,∴EF的最大值为6.5.当N与A重合9.3【点拨】连接CF并延长交AB于点G.∵E,F分别为AC,BD的中点，∴DF=BF,CE=EA.∵AB∴∠FDC=∠FBG.又∵∠DFC=∠BFG,∴△FDC≌分点方分点方法三角形中位线“定理”及“应用”(1)定理：有两个含义，一个表示位置关系，一个表示数量关系.(2)应用：在三角形中已知两边的中点时，可考虑构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理计算或证明，应用这个定理时，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，用哪个结论应根据具体情况，灵活使用.10.4【点拨】如图，连接BF交AE于点G,由折叠的性质可知，AE垂直平分BF,∴∠BGA=∠BGE=90°,GBC于L,过点E作EQ⊥AF,交AF的延长线于点Q,如图.∵AS//BE,∴∠BEA=∠EAS.∵∠BDE=90°,∠ALC=∠BLS,∴∠BCF=90°如图，连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.∵F是AD的中点，同理HE//CD,13.(1)【证明】如图①,延长AF,AG与直线BC分别相交于点M,N.∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB=90°.∵BD是△ABC的外角平分线，又∵BF=BF,∴△ABF≌△MBF(ASA).同理可证CN=AC,AG=NG,①②①长AG,AF与直线BC分别相交于点P,Q.同(1)可证△ABF≌△QBF,△PCG≌△ACG,专项培优6构造平行四边形解题的应用类型又∵BE=BE,2.【证明】如图，连接BF,DE,连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形BEDF是平行四边形.3.【证明】如图，连接MF,FN,NE,EM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AECF是平行四边形.同理可得MF=EN,∴四边形MENF是平行四边形.∴EF与MN互相平分.3,∴AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC=3.∠DAB,BE平分∠ABC,∴∠DAE=∠EAB,∠CBE=∴四边形ECTF是平行四边形.5.【证明】延长DE交AB于点M,如图.∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABG是等边三角形.【结论应用】如图，延长∴△ABG是等边三角形.【结论应用】如图，延长CD和FE交于点H,由题易得△DEH是等边三角形，∵△ABG是等边三角形，∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°,∴四边形CGFH是平行四边形.∴六边形ABCDEF的周长为(5+8)×2-3-1=22.专项培优7构造三角形中位线的常用方法1.【解】如图，延长BD交AE于点N.∵四边形ABCD是平行四边形，∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD,同理可得∠ADM=∠CBF=∠ABF,∴四边形EFBM是平行四边形，∴EF=MB.6.(1)【解】如图，过点A作AF//BD,交CD的延长线于平行四边形.∵AD∵AD为∠EAB的平分线，7.【证明】如图，过点E作F,交BC于点F,交BC于点H.∴四边形ABHF为平行四边形.∴易得∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.(2)如图，延长AB至点M,使得BM=AB,连接CM.由(1)得∠BEF=∠BFE,证明：∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°,又∵BE=BF,(3)【解】△CGD是直角三角形.证明：连接BD,取BD的中点P,连接PM,PN.∴△CGD是直角三角形.阶段综合培优测5.D【点拨】如图，分别延长AE和BC交于点G.∵四边分∠DAF,∴∠DAE=∠FAE.∴∠FAE=∠G.∴AF=*故选D*F为顶点的四边形是平行四边形.①当点F在线段BM综上所述，当时，以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.中点.过点C作CG⊥PQ于点G,过点P作PH⊥MQ于10.①②③【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，/ADC=60°,∴AD//BC,/ABC=/ADC=∠AEB.∴△ABE为等边三角形.∴∠AEB=60°,AB=BE=AE.∵,∴易得EC=AE=BE=∴OE//CD,故②正确；易得CO=√3,DC=AB=2,2OD=2√7=√7AB,故③正确；∵O是AC的中点，,故④错误.②【证明】∵DN⊥EC,CG⊥DE,,故④错误.∴四边形AECF是平行四边形.12.(1)【解】如图①,取AC的中点K,连接DK,又∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH,∠CDB=(2)【证明】如图②,连接CD并延长使DH=CD,连接(2)【证明】如图②,连接CD并延长使DH=CD,连接位线，6.(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，13.(1)【证明】在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，13.(1)【证明】在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，∵BE//DF,∴四边形BEDF是平行四边形.∴△OCD,△DCF都是等边三角形.∵四边形ABCD是矩形，7.A【点拨】连接OE.∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4,AO=CO=BO=DO,∠ADC=90°【点拨】∵四边形OABC是矩形，∴OC//AB.9.2a-90°【点拨】延长AE,交BC的延长线于点G,如图所示.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠D=CD边的中点，∴DE=CE.又∵∠AED=∠GEC,∴△ADE≌△GCE.∴AE=GE.又∵EF⊥AE,∴EF垂直平分线段AG.∴AF=GF.∴∠FAE=∠G.∵AD//BC,∴AD=BC=√3,AD//BC,∠ABC=EG值的最小，即BE+EG值的最小，最小值为AG的11.【解】(1)四边形EGFH是平行四边形.理由：∵四边形ABCD是矩形，∵G,H分别是AB,DC的中点，∴四边形EGFH是平行四边形.(2)AE的长度为【点拨】连接GH交AC于∵四边形ABCD是矩形，由(1)易得BG=CH,∴四边形BCHG是平行四边形.C①②①12.(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，由折叠可知∠ACE=∠BCA,EC=BC,(2)【解】①当四边形ACDE为矩形时，如图①,①①∴易得AC=√2;②当四边形ACED为矩形时，如图②,②②为顶点的四边形是矩形时，AC为顶点的四边形是矩形时，AC③③∴易得BC=2√3;②当∠ADE=90°时，如图④.④④又∵∠B=30°,AB=3,由折叠可知∠AEC=∠B=30°,∴∠AOE=60°.由(1)可知OA=OC,∴∠OAC=∠O'CA=30°.情况二：如图⑥,设AE与CD相交于O',⑥⑥第2课时矩形的判定1.A2.A3.AC⊥BD4.205.606.【证明】(1)∵AF//BC,∴四边形ADBF是平行四边形.∴∠ADB=90°.∴四边形ADBF是矩形.7.C【点拨】在AB的延长线上截取BM=AB,连接CM,∵AB//CD,AB⊥BD,∴CD⊥BD.∴易得四边形BNCD是矩形.∴BN=CD=3,CN=BD=4.∴NM=BM一故选C.8.C【点拨】如图，由端点分别在两条平行线上的所有线POBQ是矩形，∴PQ=BO=6,BQ=边形EFGH是矩形.∴EH=GF.易知AB=2AE,CD=2CG,AB=CD,∴AE=CG.又∵∠A=∠C=90°,∴Rt△AEH≌Rt△CGF(HL),故②正确.由翻折可知，CF=NF.∴AD=AH+DH=NF+HN=HF,故③正∴AB=2×4.8=9.6,故⑤正确.∵EF=8,2AE=AB=②③⑤,共4个.平分线上.分两种情况讨论：①如图①,当点G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交AD于M,连接GD.∵GC=GB,∴GH⊥BC.∴易得四边形ABHM是矩AD.∴GD=GA.又由旋转可得AD=AG,∴AD=AG=GD.∴△ADG是等边三角形.∴∠DAG=60°.可得∠DAG=60°,∴旋转角θ=360°-60°=300°.故答①11.(1)【证明】∵∠BOC+2∠OBC=180°,∠BOC+∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形.(2)【解】由(1)可知，OA=OB=OC,四边形ABCD是矩∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.∴四边形OBEC是平行四边形.∴S平行四边形2S△12.【解】(1)8—2t(2)存在.易得四边形ABOC是矩形，解得t=3,∴BP=2×3=6,∴P(6,6);①②①当点P在线段AC上时，如图②,AP=2t-8.解得t=5,∴AP=5×2-8=2.∴PC=6—2=4,综上，点P的坐标为(6,6)或(8,4).3.A【点拨】∵四边形ABCD由作图可知EA=EB,∴∠ABE=∠A=30°.∴∠EBD=∠ABD一4.C【点拨】设AD与y轴交于点E.∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB.∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形.∴BD=AD=8,∠ADB=60°.∵O是菱形ABCD的.,AC⊥BD,BC=CD=5.2OC=6.7.(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形，(2)【解】∵四边形ABCD是菱形，又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.仓点仓点方法利用菱形的性质解决问题的方法利用菱形的性质，可解决实际问题中有关菱形边、角的计算(或证明线段、角的相等)问题，一般是根据菱形的性质，将有关的边、角的求解问题，转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.8.A【点拨】如图，取OD的中点H,连接HP.∵四边形√EH+HP=√6²+2²=2√10.9.2√7【点拨】如图，连接BD交AC于点O.∵四边形边三角形.∴∠CAB=60°,AC=6.∴OA=3.∴OD=10.【点拨】连接OE,A'D.∵四边形ABCD是菱形，则BD=6k.∴OA=OC=5k,OB=OD=3k.∵线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在OB′=OB=3k.∴易得∠A′=AE.如图，过点B作AC的平行线MN,过点E作关于BE′,E′F,由对称性得BE=BE'′,EE'⊥MN,E'H=EH,∴BE+BF=BE′+BF≥E'F,当且仅当E′,B,F三点共线时，BE′+BF(即BE+BF)值为E'F的长.如图，设AC与BD交于点O,延长EE易得四边形易得四边形12.(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形，(2)【解】∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=足分别为M,N,如图.由旋转可得PD=PQ,13.【解】(1)BP=CE;CE⊥AD∴△ABC和△ADC都为等边三角形.(3)四边形ADPE的面积为8√3.3.D【点拨】根据作图可得AB=AD=BC=CD,∴四边4.AB=AC(答案不唯一)5.80【点拨】∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD为AF,∴∠D=∠AFD.∵∠AFC+∠AFD=1∠AFC.易得△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°.又∵∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°,∴∠C=(2)【解】四边形AECF是菱形.理由如下：∴四边形AECF是平行四边形.∵BF=DE,∴AF=CF.∴四边形AECF是菱形.7.D【点拨】根据甲的作法作出图形，如图①所示.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠DAC=∠BCA.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC,AE=EC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE=作法作出图形，如图②所示.∵四边形ABCD是平行四边形ABEF是平行四边形.∴四边形ABEF是菱形，故8.B【点拨】设AC与EF交于点O.∵MN垂直平分∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE=OF.又∵OA=OC,AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形，①正确.∵四边形∴3∠ACB=90°,∠ACB=30°,但题干未给出此条件，∴AF不一定平分∠BAC,③错误.设CF=AF=x,则BF=8-x.在Rt△AAF²,即4²+(8-x)²=x²,解得x=5,即AF=5.∵AC=√AF²-OA²=√5²—(2√5)²=√25—20=√5.∵OE=OF,∴EF=2OF=2√5≠2√3,④错误.综上，①②正确.9.A【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD,∴四边形ABCD是矩形，OD=OC.又∵DF//CF,∴四边形OCFD为菱形.∵G是CD的中点，P是菱形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值.过点D作DM⊥AC于点M,过点G作GP⊥AC于点P,则GP//MD.∵矩形ABCD的面积为12,AC=6,.DM=12,解得DM=2.∵G为CD的中点，∴易得GP为△DMC的中位线.,即PG的最小值为1.10.(一4,3)【点拨】如图，作BH⊥OA于点H.∴AO=AB=5.∵四边形OABC11.(1)菱形(2)√3【点拨】设EF与AD交于点O.∵∠BAC=60°,四边形AEDF是菱形，∴∠EAD=12.(1)【解】在平移过程中，重叠部分的形状可能为三角①④④(2)①【证明】分别过点B,D作BE⊥CD于点E,DF⊥CB于点F,如图⑤,∴易得△BCE,△CDF均是等腰直∴四边形ABCD是平行四边形.又∵BC=DC,∴四边形ABCD是菱形.5.3【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,6.(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，又∵DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)【解】连接AC交BD于点O,如图.∵四边形ABCD为正方形，BD=10,∴BD垂直平分AC,OA=OC=OB=答案详解详析33∵四边形AECF的周长为4√34,7.D【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD,∠ADC=90°.又∵MC=MD=AD,∴△MDC是等边三角形.∴∠MDC=60°.∵∠ADC=∴∠MAD=75°.∴∠BAM=15°.同理可得∠ABM=8.A【点拨】∵正方形ABCD的边长为1,∴BD=√2,ACBD,∴四边形OGEF为矩形.∴EF=OG.∵∠DBC=45°,9.【点拨】如图，设CD与y轴交于点G,AB=x,易知DG=OA,AD=AB=OG=x.∵点B的坐标为(1,0),∴OA=x-1.由折叠知AF=AD=x,DE=EF.∵点F的坐标为(0,3),∴OF=3.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²=OA²+OF²,∴x²=3²+(x-1)²,解得4—a,FG=OG-OF=5-3=2.Rt△EFG中，由勾股定理得EF²=EG²+GF²,∴(4—a)²=a²+2²,解得.∴点E的坐标为到△ADH,连接NH,∴AH=AM,BM=DH=3,易得HN.易得∠ADB=45°,∴∠NDH=∠EGB=90°.∴四边形EFBG为矩OF.∴DE=FG,即①正确；∵△ABE≌△ADE,∴∠BFG=∠ADE,即②正确；延长DE,交FG于点AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小.易得AD=CD=3,∠ADC=90°,∴AC=√AD+CD=3√2.∴FG的最小值为√2,即④不正确.综上，①②③正确.故答案为①②③.12.(1)【解】△OBE为等边三角形.理由：∵四边形ABCD为正方形，∴△OBE为等边三角形.(2)【证明】如图，过点A作AF⊥AE交BE的延长线于点∵△OEB为等边三角形，∵四边形ABCD为正方形，∵四边形ABCD是正方形，又∵CP=CP,∴△CDP≌△CBP(SAS).【数学思考】∵四边形ABCD是正方形，又∵DC=AB,易得∠DCA=∠ABD=45°,5.3【点拨】由题意得OE=OF=又∵DC=AB,易得∠DCA=∠ABD=45°,∴当EF=BD时，四边形DEBF是正边长为6cm的等边三角形，∴BD=6cm.由EF=BD得∵易得∠DBC=45°,6.(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∵易得∠DBC=45°,∵EF//DC,∴四边形EFDC为平行【拓展探究】【解】2OM+FG的最小值为5√【拓展探究】【解】2OM+FG的最小值为5√13.DH,如图.∵四边形ABCD是正方形，∵易得∠FBG=∠FBH=90°,FB=FB,BG=BH,∴当点H,D,F三点共线时，DF+FH有最小值，即此时2OM+FG有最小值，最小值为DH的长.∵正方形ABCD的边长为10,G为AB的中点，∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴四边形EFDC是正方形.8.C【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=AB,∠ABC=∠BAD=90°.∵E,F点，∴AE=BF.∴△ADE≌△BAF(SAS).故①正确；∴∠ADE=∠BAF.∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠∠ADE=90°.∴∠AGE=90°.∴AABCD的边长为2a,则AE=a,∴DE=√5a.∴AG=∴2OM+FG的最小值为5√13.BD,DE//AC,∴四边形OCED是平行四边形∴2OM+FG的最小值为5√13.BD,DE//AC,∴四边形OCED是平行四边形.在正方形OCED是正方形.∴即点E到边CD的距离为0.5.QM=PQ=MN,∠PNM=90°.∴平行四边形PQMN是正方形.故③错误.综上①②正确，∴正确的个数为2.故9.1:2【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,AD的中点，∴AB=AM=DM=DC.∠MBC=∠MCB=45°.∴BM=CM.∵N,E,F分别是∴四边形MENF是菱形.又∵∠BMC=90°,∴四边形10.(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，由折叠得AD=A'D,AE=A′E,∠ADE∴四边形AEA'D是菱形.∵∠A=90°,∴四边形AEA'D是正方形.由折叠知B'C′=BC,∠B=∠B′=∴∠EQF=∠EPD=90°.由题意知∠DCA=45°,∴EQ=EP,∠QEC=∠PE∴矩形DEFG是正方形.(2)【解】如图①,在正方形ABCDA①①(3)【解】∠EFC=120°或30°.【点拨】①当DE与AD90°-30°=60°.在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得∠EFC=360°-90°—90°—60°=120°;②当DE∠CDE=30°.综上所述，∠EF③专项培优8特殊四边形中的折叠问题∴∠GOA=90°.∴∠AGO=30°.由折叠可知∠EGF=2.(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，(2)【解】△PDH的周长不发生变化.证明如下：过点B作BQ⊥PH,垂足为Q,∵四边形ABCD为正方形，∵BP=BP,∠A=∠BQP,由(1)知∠APB=∠BPH,又∵BH=BH,∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH=QH.∴△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8.故△PDH的周长不发生变化.3.【解】作FH⊥BD于点H.由折叠的性质可知，FG=FA.由题意得BD=DG+BG=8.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°,∴△ABD为等边三角形.∴AD=BD=8.设AF=x,则FG=x,DF=8-x.在Rt△DFH中，易知∠FDH=60°,∴∠DFH=30°.在Rt△FDH中，由勾股定理得FH=(8-x)²—x²-12x+48.即即,解得4.(1)【证明】如图，由折叠可知，EF垂直并平分BD,设BD与EF交于点O,则BF=DF,OB=OD.又∵∠EOD=∠FOB,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵BF=DF,∴四边形BFDE是菱形.5.3或3√3【点拨】如图①,四边形A'CEF是平行四边形，且点A′与点F在直线AC的同侧.∵AC=6,点E为AE=3,∵四边形A'CEF是平行四边形，∴A'F//CE,A'F=CE.∴A'F//AE,A'F=AE.∴四边形A'EAF是平行四边形.∴AF=A'E=3.如图②,四边形A'CFE是平行四边形，且点A′与点F在直线AC的异侧，作CGLAB于点G.∵∠AGC=90°,∠A=303.由折叠得A'E=AE=3,∵四边形A′CFE是平行四边∴∠AFC=∠AGC=90°.∴AF=√AC²-√6²-3²=3√3.综上