一种基于herari变换的图像去噪算法

一种基于herari变换的图像去噪算法

0系数图像去噪中的剪切波方法传统的小波只能反映信号的零维异构体，也就是说，它只能表达奇怪点的位置和特征，难以表达图像的更高维特征。因此,小波变换并不适合图像的去噪。为了克服小波的局限性,多尺度几何分析(MultiscaleGeometricAnalysis,MGA)被提出,发展MGA的目的是为了检测、表示、处理某些高维空间数据。目前人们提出的MGA方法主要包括曲线波(Curvelet)、轮廓波(Contourlet)等。最近Guo和Labate通过具有合成膨胀的仿射系统构造了剪切波(Shearlet),它能够对图像进行稀疏表示且产生最优逼近。本文提出了一种Shearlet变换分解和重构的实现方法,并将其运用到图像去噪中。在图像去噪中应用Monte-Carlo方法对子带系数进行估计,实现对子带的收缩去噪。实验结果表明,该方法能够很好地抑制和去除噪声,同时也能很好地保留图像边缘等细节特征。1Shearlet变换理论Shearlet变换最初是由Guo和Labate根据小波理论衍生而来。当维数n=2时,具有合成膨胀的仿射系统为:MAB(ψ)={ψj,ℓ,k(x)=|detA|j/2ψ(BℓAjx−k)|ΜAB(ψ)={ψj,ℓ,k(x)=|detA|j/2ψ(BℓAjx-k)|j,l∈Z;k∈Z2}(1)其中:ψ∈L2(R2),A和B是2×2可逆矩阵,|detB|=1。如果MAB(ψ)满足Parseval框架(紧框架),则MAB(ψ)的元素称为合成小波,其中矩阵A和尺度变换相关联,B和保持面积不变的几何尺度相关联。当时,称为Shearlet。对∀ξ=(ξ1,ξ2)∈R^2,ξ1≠0,令ψˆ(0)(ξ)=ψˆ(0)(ξ1,ξ2)=ψˆ1(ξ1)ψˆ2(ξ2/ξ1)(2)ψ^(0)(ξ)=ψ^(0)(ξ1,ξ2)=ψ^1(ξ1)ψ^2(ξ2/ξ1)(2)其中:suppψˆ1∈[−1/2,−1/16]∪[1/16,1/2],suppψˆ2∈[−1,1]。ψ^1∈[-1/2,-1/16]∪[1/16,1/2],suppψ^2∈[-1,1]。假设:且对j≥0,有∑ℓ=−2j2j−1∣∣ψˆ2(2jω−ℓ)∣∣2=1∑ℓ=-2j2j-1|ψ^2(2jω-ℓ)|2=1;|ω|≤1(4)|ω|≤1(4)可以得到,对任何(ξ1,ξ2)∈D0,有∑j≥0∑ℓ=−2j2j−1∣∣ψˆ(0)(ξA−j0B−ℓ0)∣∣2=∑j≥0∑ℓ=−2j2j−1∣∣ψˆ1(2−2jξ1)∣∣2∣∣ψˆ2(2jξ2/ξ1−ℓ)∣∣2=1(5)∑j≥0∑ℓ=-2j2j-1|ψ^(0)(ξA0-jB0-ℓ)|2=∑j≥0∑ℓ=-2j2j-1|ψ^1(2-2jξ1)|2|ψ^2(2jξ2/ξ1-ℓ)|2=1(5)其中:D0={(ξ1,ξ2)∈R^2,|ξ1|≥1/8,|ξ2/ξ1|≤1}D0={(ξ1,ξ2)∈R^2,|ξ1|≥1/8,|ξ2/ξ1|≤1}。函数{ψˆψ^(0)(ξA−j00-jB−ℓ00-ℓ)}形成D0的一个剖分,如果图1(a)所示。由ψˆψ^1、ψˆψ^2的支撑条件可以看到函数ψj,ℓ,k具有以下的频域支撑:suppψˆ(0)j,ℓ,k⊂{(ξ1,ξ2)|ξ1∈[−22j−1,−22j−4]∪[22j−4,22j−1],|ℓ2−j+ξ2/ξ1|≤2−j}suppψ^j,ℓ,k(0)⊂{(ξ1,ξ2)|ξ1∈[-22j-1,-22j-4]∪[22j-4,22j-1],|ℓ2-j+ξ2/ξ1|≤2-j}即每个元素ψj,ℓ,k支撑在梯形对上,近似大小为22j×2j,方向沿着斜率为l2-j的直线(见图1(b))。由上面的讨论,得到:{ψ(0)j,ℓ,kj,ℓ,k(0)(x)=23j/2ψ(0)(Bl0Aj00jx-k)|j≥0,-2j≤l≤2j-1,k∈Z2}(6)是L2(D0)∨={f∈L2(R2)|suppf^⊂D0}的一个Parseval框架。同样可以构造一个L2(D1)∨的Parseval框架,其中D1是垂直锥D1={(ξ1,ξ2)∈R^2||ξ2|≥1/8,|ξ1/ξ2|≤1}D1={(ξ1,ξ2)∈R^2||ξ2|≥1/8,|ξ1/ξ2|≤1},令,且ψ(1)由式(7)给定:ψˆ(1)(ξ)=ψˆ(1)(ξ1,ξ2)=ψˆ1(ξ2)ψˆ2(ξ1/ξ2)(7)ψ^(1)(ξ)=ψ^(1)(ξ1,ξ2)=ψ^1(ξ2)ψ^2(ξ1/ξ2)(7)则集合:{ψ(1)j,ℓ,kj,ℓ,k(1)(x)=23j/2ψ(1)(Bl1Aj11jx-k)|j≥0,-2j≤l≤2j-1,k∈Z2}(8)是L2(D1)∨的Parseval框架。2高频系数的图像去噪Shearlet变换的分解由以下两步构成,多尺度剖分和方向局部化。1)多尺度剖分。用Haar小波对图像进行分解。对于图像f,分别得到低频系数f′j和各个尺度下的高频系数f0,f1,…,fj(j为分解的尺度)。2)方向局部化。为了得到不同方向的高频分量,对各个尺度下的高频系数采用带方向和尺度变化的窗函数进行剖分,如图1(a)所示。对每个尺度上的高频系数的D0和D1区域分别选择2j+1+1个窗函数W,使得满足∑d=01∑ℓ=−2j2j∣∣W(d)j,ℓ(ξ1,ξ2)∣∣2=1∑d=01∑ℓ=-2j2j|Wj,ℓ(d)(ξ1,ξ2)|2=1图2给出了本文j=0和j=1尺度下两个窗函数的例子。Shearlet变换重构算法包括以下几步。1)子带重构。将分解得到的Shearlet系数进行方向局部化的反变换,于是不同尺度下的子带分别重构可以得到Δf0,Δf1,Δf2…,将其相加即可得到重构后的高频系数f′2。2)图像重构。对分解后的低频系数f′j与重构后的高频系数f′2按位置进行合成,从而可以得到重构后的图像f′。综上所述,本文提出的基于Shearlet变换的图像去噪算法如下。1)对含噪图像进行Shearlet变换分解,得到低频系数和各个尺度的高频系数。2)用Monte-Carlo方法先估计各尺度子带的噪声方差,然后对各尺度的高频系数进行阈值处理,硬阈值函数定义为(其中λ=3σ):从而得到去噪后的高频系数。3)将去噪后的高频系数和分解得到的低频系数进行Shearlet变换图像重构,得到去噪后的图像。3图像进行去噪实验实验采用512×512(8位)的Lena、Barbara、Peppers、Goldhill4幅图像加入不同的噪声标准差Noisy为例进行仿真,分别应用小波去噪(WT)、Curvelet去噪(CURT)、Contourlet去噪(CONT),以及本文算法进行去噪,结果如表1所示。图3～4为利用各算法对含噪图像进行去噪的结果。由于小波变换对图像的非稀疏表示,使得小波域阈值收缩丢失了部分图像特征,去噪后的图像趋于平滑(见图3(c))。Contourlet变换中的LP分解和DFB都有下采样操作,使得Contourlet变换不具有平移不变性,从而在进行图像去噪时会引入伪Gibbs视觉误差,虽然能较好地保持图像边缘信息,但图像的主观质量有所下降(见图3(d))。Curvelet变换进行去噪能够获得很好的去噪效果,该方法能有效地去除噪声,但往往会“过扼杀”Curvelet系数,导致在消除噪声的同时丢失了图像的部分细节,图像出现模糊(见图3(e))。Shearlet变换能够对图像进行稀疏表示且产生最优逼近,因此本文算法可以获得较好的去噪效果(见图3(f))。从表1