第五章数控装置的轨迹控制

第五章数控装置的轨迹控制第五章数控装置的轨迹控制原理第一节概述轨迹控制过程：加工各种形状的零件轮廓时，必须控制刀具相对工件以给定的速度沿指定的路径运动，即控制各坐标轴依某一规律协调运动的过程。也叫插补过程。插补：在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点坐标、终点坐标和曲线方程，如何使切削加工运动沿着预定轨迹移动呢？数控系统根据这些信息实时地计算出各个中间点的坐标，通常把这个过程称为“插补”。插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的密化”。平面曲线的运动轨迹需要两个运动来协调；空间曲线或立体曲面则要求三个以上的坐标产生协调运动。第五章数控装置的轨迹控制原理插补是CNC装置的核心。插补的速度和精度直接影响CNC装置的控制速度和精度。提高插补速度和精度的措施：(1)多微处理器(2)插补算法力求简单，高效。(3)软硬件结合。第一节概述普遍应用的两类插补方法：脉冲增量插补和数据采样插补（一）脉冲增量插补/基准脉冲插补基本原理：这类插补算法是以脉冲形式输出。每插补运算一次产生一个进给脉冲，然后输出到伺服系统，驱动工作台运动。每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位。（即脉冲当量δ，脉冲当量是脉冲分配的基本单位）

应用：控制精度和进给速度较低，主要用于以步进电动机驱动的开环控制系统中。（二）数据采样插补/时间标量插补/数字增量插补基本原理：这类算法插补结果输出的是标准二进制数。一般分为粗、精插补两步完成。

粗插补：根据插补周期T和程编进给速度F，把轮廓曲线分割为一系列微小直线段ΔL=FT。

精插补：然后将这些微小直线段再做“数据点的密化”，即做直线的脉冲增量插补。应用：多用于直线和交流伺服电机驱动的闭环、半闭环数控系统中。第一节概述脉冲增量插补包括：逐点比较法（代数运算法或醉步法）

原理：数控装置在控制刀具移动过程中，不断比较刀具与给定轮廓的误差，由误差值决定刀具下一步运动方向，使刀具向误差减小的方向移动，且只有一个方向移动。

特点：运算直观、插补误差小于一个δ，(进给脉冲跟随插补频率)，输出脉冲均匀且速度变化小，调节方便。

应用：适于两坐标联动的机床。数字积分法（数字微分分析法DDA）原理：

特点：运算速度快，脉冲分配均匀，但(溢出脉冲频率与被积函数值大小有关)速度调节不便，插补精度需一定措施才能满足。应用：应用广泛，易于实现多坐标联动。比较积分法第二节脉冲增量插补一、逐点比较法插补原理

第二节脉冲增量插补一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：偏差判别：判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况。坐标进给：根据判别结果控制刀具向给定轮廓趋进。偏差计算：计算刀具当前位置与给定轨迹之间的新偏差，作为下一步偏差判别的依据。终点判别：判断刀具是否到达终点，若到达，结束插补；否则，继续以上四个步骤。

1.直线插补（1）偏差计算第一象限直线OE，起点O为坐标原点，直线的终点坐标E(Xe，Ye)，直线方程为：

P（X，Y）为动点坐标，与直线的位置关系有三种情况：动点在直线上方动点在直线上动点在直线下方第二节脉冲增量插补P1P(X,Y)P2OXYEXeY－XYe＝0（1）若P1点在直线上方，则

XeY－XYe>0（2）若P点在直线上，则

XeY－XYe＝0（3）若P2点在直线下方，则

XeY－XYe<0因此，可以构造偏差函数为

P1P(X,Y)P2OXYE图动点与直线位置关系第二节脉冲增量插补

F＝0时，表示动点在OE上，如点P，可向＋X向进给，也可向＋Y向进给。

F>0时，表示动点在OE上方，如点P1，应向＋X向进给。

F<0时，表示动点在OE下方，如点P2，应向＋Y向进给。

这里规定动点在直线上时，可归入F>0的情况一同考虑。

将F的运算采用递推算法予以简化，动点Pi(Xi，Yi)的Fi值为第二节脉冲增量插补P1P(X,Y)P2OXYE若Fi≥0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿＋X走一步，新点坐标值为Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi,第二节脉冲增量插补若Fi<0，表明Pi（Xi，Yi）点在OE的下方，应向＋Y进给一步，新点坐标值为Xi+1=Xi,Yi+1＝Yi＋1，新点的偏差为：新点偏差为：

(2)进给

第一象限直线偏差判别函数与进给方向的关系为：第二节脉冲增量插补

(3)终点判别

方法1：设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿X轴应走的步数为Xe，沿Y轴走的步数为Ye，计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X或Y坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即∑＝0时，停止插补，到达终点。方法2：每走一步都判断是否成立，如果成立则插补结束。

(4)直线插补软件流程入口初始化:

+x走一步+y走一步F≥0?出口YYNN例5-1：加工第一象限直线OE，起点为坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。第二节脉冲增量插补图直线插补轨迹过程实例表5-1直线插补运算过程第二节脉冲增量插补2.圆弧插补偏差计算

设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点A（Xs，Ys），终点B（Xe，Ye）。设圆上任意一点为（x，y），则下式成立：第二节脉冲增量插补取偏差函数F为：若F>0，则动点位于圆弧外侧。若F=0，则动点在圆弧上。若F<0,则动点在圆弧内侧。设第一象限动点的F值为，则若动点沿-x方向走一步后，则：

若动点沿+y方向走一步后，则：动点坐标值第二节脉冲增量插补（3）终点判别

圆弧插补终点判别与直线插补终点判别方法同。（2）进给

第一象限逆圆偏差判别函数F与进给方向的关系如下：，沿-x方向走一步：F<0，沿+y方向走一步：第二节脉冲增量插补（4）圆弧插补软件流程图例3-2现欲加工第一象限逆圆弧AB，如图所示，起点A（5，0），终点B（0，5），试用逐点比较法进行插补。

圆弧插补过程：3.象限处理与坐标变换（1）直线插补的象限处理对于第二象限的直线，x的进给方向与第一象限不同，在偏差计算中只要将xe、ye取绝对值，代入第一象限的插补公式即可插补运算。第三、第四象限也是一样。所以不同象限的直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。四个象限各轴插补运动方向如下图所示：图5-8四象限直线偏差符号和进给方向第二节脉冲增量插补图5-9四个象限圆弧进给方向（2）圆弧插补的象限处理

YYNR2NR1SR2SR1

XX

NR3NR4SR3SR4

a)逆圆弧b)顺圆弧第二节脉冲增量插补圆弧插补计算过程：参：表5-3xy平面内圆弧和直线插补的进给与偏差计算第二节脉冲增量插补（3）圆弧自动过象限

圆弧过象限，即圆弧的起点和终点不在同一象限内。若坐标采用绝对值进行插补运算，应先进行过象限判断，当X＝0或Y＝0时过象限。需将圆弧分成两段圆弧，到X＝0时，进行处理，对应调用插补程序。（4）坐标变换第二节脉冲增量插补

6.逐点比较法合成进给速度v逐点比较法的特点：脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发向X轴，就是发向Y轴。

fMF为脉冲源频率(Hz)(1/s)，fx，fy分别为X轴和Y轴进给频率(Hz)

X轴和Y轴的进给速度(mm/min)：

合成进给速度：

式中，若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对应切削速度最大，相应的速度称为脉冲源速度vMF（脉冲源速度与程编进给速度相同）。合成进给速度与脉冲源速度之比为：

由式可见：实际并非总是v=vMF：v与fMF、插补算法、零件轮廓的线型和α角有关。根据上式可作出v/vMF随α变化的曲线。如图3-14所示，v/vMF=0.707～1，vmax/vmin=1.414，一般机床来讲可以满足要求，认为逐点比较法的进给速度是比较平稳的。

v/vMF

1

0.707

O450900α

图3-14逐点比较法进给速度DDA合成进给速度二、数字积分法DDA基本原理：如图所示，设有一函数Y＝f(t)，求此函数在t0~tn区间的积分，就是求出此函数曲线与横坐标t在区间（t0，tn）所围成的面积。如果将横坐标区间段划分为间隔为t的很多小区间，当t取足够小时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。

YY=f(t)

Yi

△t

t0t1ti+1tnt在数学运算时，取t为基本单位“1”，则上式可简化为：

YY=f(t)

Yi

△t

t0t1ti+1tnt二、数字积分法1.DDA直线插补(1)插补原理设有一直线OE，起点在原点，终点为。分别表示动点在x、y轴方向的速度，根据积分原理，在x、y轴方向的微小位移增量为：

v对于直线函数来说，满足下式：其中：二、数字积分法动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔，分别以增量同时累加的过程。v因此坐标轴的位移增量为：返回第40页1.DDA直线插补X被积函数寄存器kxeX积分累加器y积分累加器y被积函数寄存器kye++X轴溢出脉冲y轴溢出脉冲xy平面直线插补原理图如下：返回第42页1.DDA直线插补假设取=1，经过n次累加后x和y分别或同时到达终点，则下式成立：n是累加次数，取整数，k取小数。即先将直线终点坐标Xe，Ye缩小到kXe，kYe，然后再经n次累加到达终点。另外还要保证沿坐标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补精度，应使下式成立其中：1.DDA直线插补如果存放Xe，Ye寄存器的位数是N，对应最大允许数字量为故有：为使上式成立，不妨取代入得

所以：因此，累加次数为：(2)终点判别：总累加次数n=2N，每累加一次减1直至为0，每次累加均进行终点判别。1.DDA直线插补

DDA直线插补软件流程初始化:+x走一步+y走一步溢出？入口YYNN溢出？出口T5-16DDA直线插补软件流程（P128）例5-3：设有一直线OA，起点在坐标系原点，终点的坐标为（4，6），试用DDA法直线插补此直线。YA(4,6)XYA(4,6)X解：Jx=4、Jy=6选择寄存器位数N=3，则累加次数vv2.数字积分法圆弧插补(1)插补原理第一象限圆弧AE，半径为R，起点为A（xs，ys），终点为E（xe，ye）。N（xi，yi）为圆弧上任意动点。动点移动的速度为v，则在两个坐标方向的分速度为vx，vy。如下图所示，圆弧的方程为：动点N的分速度为：

当V恒定时，则有：单位时间，x、y位移增量为：取累加器容量为，则各坐标的位移量为：比较（2）终点判别：两轴达到终点的时间不同，分别判断，每进给一次减1。X轴所需进给次数：Y轴所需进给次数：xy平面圆弧插补原理框图：X积分累加器Y积分累加器时钟脉冲X向溢出脉冲Y向溢出脉冲插补运算开始，累加器清零，X寄存器存放Y坐标。Y寄存器存放X坐标。X方向有溢出时，要在寄存器中减1，Y方向有溢出时，要在寄存器中加1。比较N

DDA圆弧插补软件流程：初始化:-x走一步+y走一步溢出？进给了△x?入口YYNN溢出？出口

NY

进给了△y?

YYNN（1）圆弧插补中被积函数寄存器存放的坐标值与对应坐标轴积分器的关系恰好相反,即（2）圆弧插补中被积函数是变量，直线插补的被积函数是常数。（3）圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器。对于直线插补，如果寄存器位数为n，无论直线长短都需迭代2n次到达终点。DDA圆弧插补与直线插补的主要区别为：2B(0,5)例：设有第一象限逆圆弧AB，起点为A（5，0），终点为B（0，5），设寄存器位数为3。试用DDA法插补此圆弧。表5-5DDA圆弧插补运算过程（P132）图DDA圆弧插补实例24返回第6页3.数字积分法插补的象限处理圆弧插补时被积函数是动点坐标，在插补过程中要进行修正，坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝对值是增加还是减少，来确定是加1还是减1。

四个象限直线和圆弧插补的坐标修改及进给方向如下表所示表5-6不同象限的脉冲分配及坐标修正（P132）4.DDA插补的合成进给速度及稳速控制（1）合成进给速度

数字积分法的特点：脉冲源每产生一个脉冲，x、y轴均作一次累加计算，超过寄存器容量时，溢出则进给。例如插补直线：

各坐标的进给速度(mm/min)：式中：fMF—脉冲源频率

Hz(1/s)fx，fy—X，Y方向的平均

进给频率上式可见：

若脉冲源频率fMF不变，则v与有关。即L越大，v越大，脉冲溢出越快，走刀块，否则相反。若L=(1～2N),则v的变化范围为(0～1)vMF,这是实际加工决不允许的。

合成进给速度为:式中：L—被插补直线长度；若插补圆弧，L为圆弧半径R。4.DDA插补的合成进给速度及稳速控制1)按进给速度率数FRN代码编程（2）稳速控制令FRN=v0/L，由得故可按FRN来调整fMF，使v=v0，达到匀速的目的。使v=v0

4.DDA插补的合成进给速度及稳速控制规格化数：直线插补时，当被积函数寄存器JVx、JVy中所存放的数值xe、ye的最高位为1时，称为规格化数，反之，若最高位为零，称为非规格化数。“左移规格化”：将被积函数寄存器JVx、JVy中存放的数值各位循环左移，直至最高位为1，右边各位填补0的过程。直线插补左移规格化数的处理方法：将X轴与Y轴被积函数寄存器里的数值同时左移（最低位移入零），直到其中之一最高位为1时为止。2)左移规格化4.DDA插补的合成进给速度及稳速控制若被积函数左移n位成为规格化数，其函数值扩大2n倍，为了保持溢出的总脉冲数不变，就要减少累加次数。（终点判别计数器右移，使终点计数器JE使用长度减少n位，实现累加次数减少的目的）。

如果直线终点坐标为（10，6），寄存器与累加器位数是8，其规格化前后情况如下所示：

规格化前规格化后

Xe=00001010Xe=10100000

Ye=00000101Ye=01010000

JE=00001111