2021-2022学年人教A版（2019）高二数学上学期期中达标测试卷（基础A卷）

2021-

2022学年人教A版（2019）高二数学上学期期中达标测试卷（基础A

卷）

一、选择题

1.若非零向量a,1满足|a|=|b|,（勿-。）》=0,则a与》的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.1500

2.在三棱柱ABC中，。是四边形B8C。的中心，且A4；=a,AB=b,AC=c,则

AQ=（）

3.如图所示，在长方体ABCD-A4GR中，AB=BC=2,AAl=y/2,E,尸分别是面人隹^口，

面8CCg的中心，则E,F两点间的距离为（）

4.己知直线4:ar+y-l=0与直线4：x-y+5=0互相垂直，则点（1,2）到直线人的距离为（）

A.lB.2C.V2D.2&

5.若直线3x+4y+m=0与圆/+y2-2x+4y+l=0没有公共点，则实数,*的取值范围是（）

A.—5<m<15B.m<—5或加>15C./n<4或相>13D.4<〃z<13

22万

6.已知焦点在x轴上的椭咋+?=1的离心率为守则实数…

A.2B.8C.4+2V2D.4-20

7.已知双曲线J-g=l（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线/:y=2x+10,双曲线的一个焦点在

直线/上，则双曲线的标准方程为（）

222

A.二上=13x3y2

B-c.--------------1*-Ml

52020525100

8.如图所示，过抛物线/=2Px（p>0）的焦点F的直线I交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若

|BC|=0|B尸且|A尸|=4+2/,则P的值为()

2

二、多项选择题

9.已知方程f+J+36+缈++〃一1=0,若方程表示圆，则。的值可能为（）

A.-2B.OC.lD.3

22

10.已知方程—一+工=1表示曲线C则下列为真命题的是（）

4Tr-1

A.当lvrv4时，曲线C不一定是椭圆B.当"4或，<1时，曲线C一定是双曲线C.

若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则/>4

11.如图，在四棱锥P-zlBCD中，底面ABCQ为矩形，AD=4,AB=2,平面平面

ABCD,△抬Z）为等腰直角三角形，且NB4£）=3,0为底面ABC。的中心，8为PO的中点，F

2

在棱以上，若二=2,2e[0,l],则下列说法正确的有（）

PA

A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为叵

7

B.异面直线P0与AD所成角的余弦值为巫

21

C.若平面OEF与平面。EF夹角的正弦值为好，则2

52

D.若平面0E尸与平面DE尸夹角的正弦值为亚，则人亚

52

12.某建筑公司在挖掘地基时，出土了一件文物，该文物外面是红色透明蓝田玉，里面是一个球形

2222

绿色水晶宝珠，其轴截面如图，轴截面边界由椭圆c,:方+方=1的右半部分与椭圆G:5+营=1

的左半部分组成，其中a2=/+c2,q>b>c>0.设点片，片，心是相应椭圆的焦点，A，4和4,

名分别是轴截面边界与x,y轴的交点，阴影部分是宝珠的轴截面，若宝珠的体积是卑，”，

玛在宝珠表面上，是等边三角形，则下列为真命题的是（）

B.C2的离心率大于椭圆G的离心率

c.G的焦点在y轴上

D.C?的长、短轴的比值大于椭圆q的长、短轴的比值

三、填空题

13.若a=(l,2,2),8=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面，则4=.

14.设椭圆4+亡=1(0>6)的右焦点为凡右顶点为A,已知_L+」_=也，其中

a23\OF\\OA\|M|

O为坐标原点，e为椭圆的离心率，则椭圆的方程为.

15.己知圆G：f+y2=],圆G：(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.

22

16.已知点M(6,3)是直线/被双曲线上-汇=1而截得的线段A8的中点，则直线/的方程是

2550

四、解答题

17.已知过点P(0,-2)的圆用的圆心为(“,0)(“<0),且圆M与直线x+y+2应=0相切.

(1)求圆M的标准方程；

□万

(2)若过点Q(0,l)且斜率为％的直线/交圆M于A,8两点，且的面积为"，求直线/

的方程.

18.如图，在四棱锥P-4BC£)中，Q4_L平面A8C£>,底面A8CD是菱形，AB=2,ZBAD=60°.

B

(1)求证：3Z)J_平面PAC；

(2)若24=他，求PB与AC所成角的余弦值.

22

19.如图，己知椭圆++方=1(。>%>0)的左右焦点分别为百，心，焦距为2,设点Ra力)满足

Va；鸟为等腰三角形，且归用=忻图.

(1)求该椭圆的方程.

(2)过x轴上的一点M(m,O)作一条斜率为左的直线/,与桶圆交于4,8两点，问是否存在常数

k,使得|AM『+|MB『的值与〃?无关？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

20.已知P是以耳，心为焦点的双曲线C：，-£=l(a>0力>0)上的一点，且•尸耳=0,

|/=2|网.

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于邛，2两点，若丽.西=-4(。为坐标原

点)，2PR+PP；=。,求双曲线的标准方程.

21.如图所示的几何体中，BE工BC,EA±AC,BC=2,AC=2夜，ZACB=45°,AD/IBC,

BC=2AD.

(1)求证：AE_L平面ABC。；

(2)若NABE=60。，点F在EC上，且满足所=2FC,求平面FAQ与平面AOC的夹角的余弦

值.

22.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/.

(1)求抛物线上任意一点。到定点N(2p,0)的距离的最小值；

(2)过点厂作一直线与抛物线相交于A,B两点，并在准线/上任取一点M,当M不在x轴上时，

证明：kL是一个定值,并求出这个值(其中心.次分别表示直线的斜

kMF

率).

参考答案

1.答案：B

解析：设。与办的夹角为0.由(2«-))•方=0得2a•b=BP21a||i|cos0=\b^=\a\'\b\9

cos0=—，...9=60°.

2

2.答案：D

解析：祁=；(辜+福)=万(平+福+稻)=-ga+gz>+gc,故选D.

3.答案：C

解析：以点A为原点，AB所在直线为x轴，A。所在直线为y轴，9所在直线为z轴建立空间直

luunI7~H—77迎

角坐标系，则点E(l,l,4，F2,1%,所以IE尸1=(2-iy+(l-l)2+q一五=三，故选

C.

4答案:C

解析：由已知得，=-a,号2=1，又/］上q，

—6rx1=—1,解得a=l.

此时直线4的方程为x+y-l=O,

・•.点(1,2)到直线/,的距离d="yr=0,故选C

Vl2+12

5.答案：B

解析：圆x2+y2—2x+4y+l=0的圆心为(1,一2),半径为2,

由题意得，圆心到直线3x+4y+%=0的距离员告叫>2,5或相>15.故选B.

-V9+16

6.答案：B

解析：由题意，得“=而，6=2,则c=5/^W,所以椭圆的离心率e=£=近M=解得

ayjm2

m=8.故选B.

7.答案：A

解析：・.•双曲线的一个焦点在直线/上，当y=0时，x=-5,即双曲线的左焦点坐标为(-5,0),

.-.c=5.V双曲线二-与=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线/:y=2x+10,.心=2.又

ab~a

°2=/+62,../=5,^=20,.•.双曲线的标准方程为三一汇=1.

520

8.答案：B

解析：过2作准线的垂线初?’，垂足为",则忸叫=|5尸|,由|8。=也|8尸|,得直线/的倾斜角

为45°.设4(%,%),由|AF|=4+2夜，得％1AF|=2+2血，.•.%=2+2夜+3.又

\AF\=x0+^,.•.2+2&+p=4+20,:.p=2.

9.答案：AB

解析：由(3.)2+/-4(#+&-1)>0,得所以满足条件的只有-2与0.故选AB.

10.答案：ABCD

解析：对于A,当f=9时，曲线C是圆，所以A为真命题；对于B,当r>4时，曲线C是焦点在

2

y轴上的双曲线，当时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，所以B为真命题；对于C,若曲线

'4-?>0

C是焦点在x轴上的椭圆，则-1>0,解得所以C为真命题；对于D,若曲线C是

2

4-r>r-l

焦点在)，轴上的双曲线，则

4-/<0

八，解得f>4,所以D为真命题.故选ABCD.

r-l>0

11.答案：BC

解析：=

:.PA±AD,

Q平面PAD_L平面ABCD,

平面皿)c平面A8C£)=A£),%u平面PA。，

平面ABC。，

Q底面ABC。为矩形，r./W,AD,AP两两垂直.

以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则A(0,0,0),5(2,0,0),0(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),

Liimiuuu

・•.PO=(l,2,-4),AD=(0,4,0),

ULUUUUIU

uuuuun\po-AD\

.1cos〈P。,AD)|=-wc-titfflL

\PO\^\AD\

__________8__________2后

=肝+22+(_4)己“2=丁'

••・异面直线P。与AO所成角的余弦值为也，故A错，B对.

21

由题易得E(0,2,2),平面PAD,

取平面PAO的一个法向量m=(1,0,0).

PA

Q—=2,AG[0,1],PA=4,

PA

.■.E4=4/l,/.F(0,0,42),

设平面OE尸的法向量为〃=(x,y,z),

LILIUUUU

易知0E=(-1,0,2),FO=(1,2,-4X),

ruura

OEn=0,—x+2z=0,

则ULUI

/。〃=0,x+2y—42z=0,

令x=2,得，z=(2,24—1,1),

Q平面OE/与平面。石尸夹角的正弦值为日，

.[cos〈/n,〃〉|=

而|cos(m,〃〉|=———=/

I«I-I«I,4+(2/1-1)2+1

2平，解得马,

也+(2/-1)2+]

故C对，D错.

故选BC.

12.答案：AC

22

解析：由a>6>c>0,可得椭圆£:=+4=1的焦点在x轴上，即与为右焦点，则椭圆

ab

C2：0+，=l的焦点在），轴上，且|d|=6.设宝珠的半径为R,则3兀/?3=等，得R=2,得

FtF2=4,即d2-d=4,又由是等边三角形，得。鸟=^x4=2百，即c=26,即

a2-b2=U,加—12=4,得6=4,a=2币,所以G的离心率是需=浮，故选项A为真命

题；G的离心率为=；<亨•故选项B为假命题；易知G的焦点在y轴上，故选项C

为真命题；c,的长、短轴的比值为之，c的长、短轴的比值为也，之<也,故选项D为假命题.

石2V32

13.答案：1

解析：b,c共面，

二.存在实数机，n,使得c=〃?o+肪，

1=m+2%

.二<4=Am-n,解得2=1.

4=2m+2«,

14.答案：3+口

113e3c

解析:由---1---=---化简得/=4C2.又C/-C2=〃=3,所以

\OF\\OA\\FA\a(a-c)

c2=l,所以/=4,所以椭圆的方程为三+f=l.

43

15.答案：x+l=O

解析：圆G：d+y2=1,圆心为（0,0）,半径为1;

圆G：（x-4）2+y2=25,圆心为（4,0）,半径为5.

易知两圆内切，切点为（-1,0）,又两圆圆心都在x轴上,

所以两圆公切线的方程为x=-l,即x+l=0.

16.答案：4x—y—21=0

K

-=

解析：设&西,乂）,8（々,必），则2?520

%

毛一-

,2550

2222

--------=2?一I?，’2（区一”2）（“1+工2）=（乂—、2）（乂+%）,由”（6,3）是线段AB的中点，得

%1+x2=12,%+必=6，代入上式，得4（玉一"2）=X-%，又易知工产马,.,・勺~卫=4.于是

直线/的方程为＞-3=4。-6）,即4%-y-21=0.又结合图形（图略）易检验知此方程适合题意.

故所求直线I的方程是4x-y-21=0.

17.答案：（1）设圆M的标准方程为（工-。）2+9=/（4工0/＞0）,

则圆心（〃,0）到直线x+y+2&=0的距离为必+乎1，

V2

a2+4=r2,

由题意得＜|〃+2夜|解得4=0或。=40（舍去），所以，=4,

~^2~=r，

所以圆M的标准方程为f+）,2=4.

（2）设直线/的方程为y=fcv+l,则圆心M到直线/的距离为得二,

14k2+3

.•MB|=2\k2+l

又点P（0,-2）到直线I的距离d=—=

°1।.r>।J1->14k~+333y/l,a,

：•S.PAB=}lAB]d=}X2小不~-x.=——,解得K=l,.-.^=±l,

，zY化+17lc+12

则直线/的方程为y=±x+l.

解析：

18.答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC_LBZ).

因为E4_L平面ABC。，3Z)u平面ABC。，

所以必_L必.

又因为ACcB4=A,所以B£)J_平面PAC.

(2)设ACcBD=O.

因为44£>=60。，AB=2,

所以80=1,AO=CO=5

如图，以。为坐标原点，直线。8,0C分别为x轴，y轴，过点。平行于抬的直线为z轴，建立

空间直角坐标系Oxyz,

UliUUUl

所以PB=(l,6,-2),4c=(0,26,0).

设PB与AC所成角为Q,

Ulluuu—

NlliQiriaci6V6

贝ijcos3=-utfatm-=-T=-------产=——，

|PBIIAC|2V2X2V34

即PB与4c所成角的余弦值为远.

4

解析：

19.答案：⑴根据题意，有2c=2,c=l,故收一”+“=4,

[a2-b2=\

解得厂，故所求椭圆的方程为二+乙=1.

b=V343

(2)设4(3,%),8(%,%)，易得直线/的方程为y=&(x—机)，

y=k(x-m)

由W(3+4k2)x2-Sk2/nx+4k2nr-12=0.

----1-----=1

43

8k2m4k2m2-12

所以玉+x,=

春记中23+4公

故+|AW

=(1+/)[(%一⑹,+(w-〃)]

2

=(1+公)[(玉+x2)-2X1X2-2"?(X[+x2)+2〃?[

=-l+k-rF(-24k2+18)〃/+96k2+721.

(3+的力)」

令一24r+18=0,得*=3,即女=士且.

42

此时|M4『+|M8『=7,与"无关，符合题意.

解析：

20.答案：(1)不妨设点尸在第一象限.

•.•|所42|明，|所卜|叫=2%

.•.|P^|=4a,|PF2|=2a.

222

vPFtPF^=0,(4a)+(2a)=(2c),

;.e=£S

a

22

（2）由（1）,知双曲线的方程为二-二=1,则渐近线的方程为y=±2x.

ar4tr

不妨设6（X，2xJ,6（工2,-2入2），尸（乂了），

—­—•279

\*OP}-OP2=-3A;x2=_■—,XyX2=—.

2x+x

x=t2

-S-

,：2Pq+PP=0,/.<

22(2%-%)

y=

•.•点P在双曲线上一5

化简，得再毛=手

9a292c

-----=—,ci=2,

8---4

。2

双曲线的标准方程为土-匕=1.

28

解析：

21.答案：(1)证明：在△A6C中，BC=2,AC=20,ZACB=45°,

由余弦定理可得452=BC2+AC2—2XBCXACXCOS45O=4,所以AS=2(负值舍去)，

因为AC2=A82+8C2,

所以△ABC是直角三角形，ABYBC.

又BE工BC,ABcBE=B,

所以BC_L平面ABE.

因为AEu平面ABE,所以3C_LAE,

因为E4J_AC,ACr>BC=C