重难点11全等三角形中“手拉手”模型（解析版）

重难点11全等三角形中“手拉手”模型【知识梳理】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；【考点剖析】例1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°∵BD=12∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5∴AB=BD+AD=12+5=17【变式1】某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC与BE的位置关系．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中，BA=BC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE，理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△BAE≌△CAD，∴∠CAD＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴DC⊥BE．【变式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.解析:∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD例2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.解析：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BC=BD+CD∴BC=CE+CD（2）∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∵BD=BC+CD∴CE=BC+CD【变式1】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.解析：（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点）即∠ADB=∠CDE在△DAB和△DCE中，DA=DC∠ADB=∠CDEDB=DE∴△DAB≌△DCE.（2）∵△DAB≌△DCE∴∠A=∠DCE=60°∵∠ADC=60°∴∠DCE=∠ADC∴DA∥EC.【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OC∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP（2）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2023春•安岳县期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD为（）A．77° B．62° C．57° D．55°【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠D＝∠B＝28°，根据三角形内角和定理求出∠EAD，进而求出∠BAD．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∴∠D＝∠B＝28°，∴∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝180°﹣95°﹣28°＝57°，∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝57°+20°＝77°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．2．（2022春•驻马店期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（）A．55° B．50° C．45° D．60°【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAC．3．（2022春•吉州区期末）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对①进行判断；利用全等三角形的性质得到∠ADC＝∠ABE，由于AB与AE不确定相等，所以∠ABE与∠AEB不确定相等，加上∠BDC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝45°﹣∠AEB，则可对②进行判断；利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对③进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，所以①正确；∴∠ADC＝∠ABE，而AB与AE不确定相等，∴∠ABE与∠AEB不确定相等，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝45°，∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，∴∠BDC与∠BEC不确定相等，所以②错误；∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，∴∠BFD＝∠DAB＝90°，∴DC⊥BE，所以③正确；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，∵△ADC≌△ABE，∴AM＝AN，∴AF平分∠DFE，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．4．（2022春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56° B．60° C．62° D．64°【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．二．填空题（共2小题）5．（2022秋•东阿县校级月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝40°．【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠2＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+15°＝40°．故答案为：40°．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE．6．（2022秋•潮安区期末）如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：①②④．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CEB，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解答】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，∵∠DBC＝∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CEB（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，必须根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解答题（共6小题）7．（2022秋•张店区校级期末）如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．【分析】根据旋转的性质可得∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，进而推出∠ADE＝∠ADB，再根据AD＝CD得∠DAC＝∠C，由三角形外角性质得∠ADB＝∠DAC+∠C，最后根据∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）即可求解．【解答】解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．【点评】本题主要考查旋转的性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（2022秋•海口期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F.（1）求证：△BDE≌△ADF；（2）如图2，若DM＝DN，连接BM、NA，求证：BM＝AN．【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，再由同角的余角相等得∠BDE＝∠ADF，以此可通过ASA证明△BDE≌△ADF；（2）由（1）可知BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，则可通过SAS证明△MBD≌△NAD，再根据全等三角形的性质即可求证BM＝AN．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴∠DAF＝45°，BD＝CD＝AD＝，∴∠B＝∠DAF＝45°，∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∠ADE+∠ADF＝∠MDN＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）；（2）由（1）知，BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，在△MBD和△NAD中，，∴△MBD≌△NAD（SAS），∴BM＝AN．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题关键．9．（2023•定西模拟）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）易证∠ACD＝∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD＝BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，进而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解题．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝60°；（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．10．（2022秋•临淄区期末）阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．【分析】（1）利用SAS证明△EBC≌△DBA即可；（2）利用SAS证明△EBC≌△DBA，得EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，再利用三角形内角和定理可得答案；（3）过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F，由（2）中全等知BH＝BF，则MB平分∠DMC，得∠DMB＝．【解答】解：（1）EC＝AD；∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，∴∠ABD＝∠CBE，在△EBC和△DBA中，，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：设AD与BE交于点O，∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度，∴∠EBC＝∠DBA＝α，∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，∵∠EOM＝∠DOB，∴∠EMD＝∠EBD＝60°，（3）不变，理由如下：过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F，∵△EBC≌△DBA，∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，∴BH＝BF，∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝，∴∠DMB的度数大小不变．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，证明△EBC≌△DBA是解题的关键．11．（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠BCE，由对顶角的性质可得出答结论；（2）同理可证△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，则可得出结论；（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，证出BG＝GH，证明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性质得出BC＝CH，则得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可证△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．12．（2022秋•长安区校级期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、